Связь неопределенного и определенного интегралов

[мат-ламер]

ewert в сообщении #1586182 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1583206 писал(а):

Тогда зачем мы затевали всю эту канитель с множеством?

За дифурами.

Я что-то не помню, что когда я изучал диффуры в университете, для множества решений диффуров использовалось специальное название. Допустим, мы имеем такую запись: $\int \cos x dx = \sin x +C$ . Что у нас тут слева? Если слева мы имеем неопределённый интеграл, как множество первообразных, то где у нас справа множество? Если кто-то считает, что $C$ - это множество всех действительных чисел, то, во-первых, почему бы его не обозначить как $R$ ? А во-вторых, как складывать это множество $R$ с функцией $f(x)=\sin x$ ? Но можно вообще отказаться от понятия неопределённого интеграла (как строгого математического объекта) и обойтись лишь понятием первообразной. Будем называть первообразной любую функцию, производная которой совпадает с исходной. Тогда эту запись можно понимать, что производная от функции $f(x)=\sin x+C$ совпадает с функцией $g(x)=\cos x$ . На мой взгляд такое понимание гораздо проще для впервые изучающего анализ. Открыл как-то школьный учебник Пратусевича. Там тоже неопределённый интеграл определяется как множество первообразных. После чего долго и нудно доказывается, что сумма неопределённых интегралов есть неопределённый интеграл от суммы функций. То есть строго доказывается равенство множеств. Если при первом знакомстве с анализом интеллектуальные усилия растрачивать на это, то на освоение духа анализа уже времени не останется. А для диффуров тоже множество решений вводить необязательно. Просто под решением диффура понимать любую функцию, которая ему удовлетворяет.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):

Допустим, мы имеем такую запись: $\int \cos x dx = \sin x +C$ . Что у нас тут слева? Если слева мы имеем неопределённый интеграл, как множество первообразных, то где у нас справа множество? Если кто-то считает, что $C$ - это множество всех действительных чисел, то, во-первых, почему бы его не обозначить как $R$ ? А во-вторых, как складывать это множество $R$ с функцией $f(x)=\sin x$ ?

Справа у нас сокращенная запись множества, полностью выглядящая как $\{\sin x + C | C \in \mathbb R\}$. Пишем $C$ потому что могут быть аналогичные записи с двумя и более константами, каждая из которых встречается в выражении несколько раз, и важно, что одна и та же константа по всему выражению одинаковая, а разные - не обязательно.

[мат-ламер]

У меня вообще посты не про то, что правильно, а что неправильно. Что можно по-разному, я понимаю. Речь о том, как лучше излагать предмет в простых учебниках для впервые изучающих анализ. И на мой взгляд первые вводные книги по анализу должны излагать предмет максимально просто. За границей такой предмет называют даже не анализом, а "Сalculus".

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):

Я что-то не помню, что когда я изучал диффуры в университете, для множества решений диффуров использовалось специальное название.

Естественно, используется. Оно называется общим решением (хотя тут и есть терминологические нюансы).

мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):

Будем называть первообразной любую функцию, производная которой совпадает с исходной.

Если бы речь шла только об интегралах, то, в принципе, и ради бы бога. Но ведь интегралы -- не самоцель, это лишь техническое средство. И когда оно применяется в дифурах, за константами очень даже нужно следить.

[Утундрий]

ewert в сообщении #1586264 писал(а):

терминологические нюансы

Превращение интеграла в "квадратуру", чтобы не путать его с "общим интегралом"?

[мат-ламер]

ewert в сообщении #1586264 писал(а):

Оно называется общим решением (хотя тут и есть терминологические нюансы).

У Петровского нашёл понятие общего интеграла дифференциального уравнения, как уравнения $F(x,y,C_1,...,C_n)=0$ , зависящего от некоторых констант. У Понтрягина и Арнольда пока ничего не нашёл.

[мат-ламер]

Задался вопросом, а что пишут по обсуждаемому вопросу в учебниках и энциклопедиях. Напомню, что обсуждается вопрос, а надо ли рассматривать неопределённый интеграл как множество первообразных. В российской Википедии именно так неопределённый интеграл и определяется. Перешёл на англоязычную страницу. Она называется, как antiderivative (первообразная). Запросы "неопределённый интеграл" адресуются на эту страницу, причём на ней неопределённый интеграл определяется как синоним первообразной. Напомню, что в учебнике Зорича неопределённый интеграл не определяется как строгое математическое понятие. Хотя такой термин там используется как вид человеческой деятельности - нахождение первообразной. В учебнике Камынина неопределённый интеграл является синонимом первообразной. В учебниках Львовского, Шварца, Дьедонне, Картана, Рудина понятие неопределённого интеграла не нашёл. В книге Бурбаков по функциям действительного переменного тоже нет понятия неопределённого интеграла. Зато там есть понятие первообразной, которую они называют примитивной. В учебнике Терренса Тао также нет неопределённого интеграла.

Я думаю, что спорить тут смысла нет. Преподаватели имеют дело со студентами непосредственно. И они знают, как преподавать, исходя прежде всего из того, чтобы студенты понимали. И у разных преподавателей разные категории студентов.

[ewert]

Утундрий в сообщении #1586314 писал(а):

ewert в сообщении #1586264 писал(а):

терминологические нюансы

Превращение интеграла в "квадратуру", чтобы не путать его с "общим интегралом"?

Не в этом дело. А в том, что под общим решением проще всего понимать именно множество всех решений. Но можно и иначе -- можно называть общим решением формулу, содержащую произвольные постоянные и описывающую все решения. Так вот эти понятия не совпадают. И вовсе не из-за смыслового различия между "множеством" и "формулой" (это пустая формальность). Проблема в том, что такая формула не обязательно описывает буквально все решения. Классический пример: $y'=y^2$, и вроде как общим будет решение $y(x,C)=\frac{1}{C-x}$. Однако решение $y(x)\equiv0$ при этом оказывается потерянным.