2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 10:53 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите понять. Известно, что неопределенный и определенный интегралы - разные понятия. А как можно разглядеть связь между пределом последовательности интегральных сумм и разностью первообразных интегрируемой функции? Вывод формулы Ньютона-Лейбница знаю, но там используется уже выявленная ранее связь между площадью и первообразной. Я имею в виду, что $S(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t)dt$ - это площадь криволинейной трапеции с переменной правой границей. А откуда стало известно, что $S(x)$ - это первообразная $f(t)$? Или где можно про это почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
Stensen в сообщении #1570670 писал(а):
Вывод формулы Ньютона-Лейбница знаю, но там используется уже выявленная ранее связь между площадью и первообразной.
Видимо, зависит от изложения. У Рудина в этом месте ничего про площадь нет.

Увидеть, что $S(x) = S(x_0) + f(x_0) \cdot (x - x_0) + o(x - x_0)$ - на самом деле, довольно просто. Пишем $f(x) = f(x_0) + o(x - x_0)$, и пользуемся линейностью и ограниченностью (т.е. что интеграл от маленькой величины мал) интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 12:28 


22/10/20
1050
Stensen в сообщении #1570670 писал(а):
Известно, что неопределенный и определенный интегралы - разные понятия.
Лично мой взгляд - неопределенный интеграл (определенный как множество первообразных) является каким-то бесполезным объектом. Понятие первообразной - полезно. Теорема о том, что множество первообразных на связном промежутке - это однопараметрическое семейство функций с понятно каким свойством - полезная. Но сам неопределенный интеграл имхо бесполезен.

Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного. Зачем доказывать все эти теоремы о линейности, замене переменной и т.д. для неопределенного интеграла, если можно доказать это все 1 раз для определенного, а потом вместо неопределенного интеграла использовать интеграл с переменным верхним пределом (к этому моменту уже будет доказано, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных данной функции).

А теорема Ньютона-Лейбница скучная. Доказывается буквально устно, если известна теорема Барроу. Да и невооруженным взглядом видно, что терема Барроу гораздо фундаментальнее формулы Ньютона-Лейбница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 13:07 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Спасибо, пока понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 13:51 


11/01/21
29
Возможно, такие наводящие соображения будут интересны:
Изображение
Изображение
Пантаев Михаил Юрьевич. Матанализ с человеческим лицом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 13:59 
Аватара пользователя


26/11/14
754
Flood в сообщении #1570700 писал(а):
Возможно, такие наводящие соображения будут интересны:
Пантаев Михаил Юрьевич. Матанализ с человеческим лицом.
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 14:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):
неопределенный интеграл (определенный как множество первообразных) является каким-то бесполезным объектом. Понятие первообразной - полезно. Теорема о том, что множество первообразных на связном промежутке - это однопараметрическое семейство функций с понятно каким свойством - полезная. Но сам неопределенный интеграл имхо бесполезен.

Вы уж как-нибудь определитесь: полезен этот объект потому, что бесполезен или, наоборот, бесполезен потому, что полезен. Между прочим, множество и семейство -- это синонимы.

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):
Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного.

Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так. По очевидной причине -- это совершенно разные тематики. В связи с неопределённым интегралом интересуются исключительно техникой интегрирования, в определённом же наоборот -- техника неинтересна, а интересны общие свойства и приложения. Собственно, Вы предлагаете примерно следующее: сначала введём определённый интеграл, площадь и всё такое, а потом докажем, что площадь подграфика для синуса в четвёртой вычисляется понижением степени. Правда, и путь для аналогичной скорости вычисляется тоже понижением степени... Ну ничего, мы и это докажем! Флаг в руки.

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):
А теорема Ньютона-Лейбница скучная. Доказывается буквально устно, если известна теорема Барроу.

Это две совершенно разные теоремы, с очень разными условиями выполнимости.

Теорема 1 (Ньютон, Лейбниц).
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на $[a;b]$ и её производная $f'(x)$ интегрируема на $[a;b]$. Тогда $\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$.

Теорема 2 (Барроу).
Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a;b]$. Тогда интеграл с переменным верхним пределом $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ непрерывен на $[a;b]$ и, кроме того, если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0\in(a;b)$, то $F'(x_0)=f(x_0)$.

И доказываются они тоже совершенно- по разному. Теорема Ньютона-Лейбница доказывается действительно по щелчку, но вовсе не из-за Барроу, а из-за теоремы Лагранжа о конечных приращениях (благодаря ней всегда можно выбирать такие интегральные суммы, которые попросту равны полному приращению функции). Теорема же Барроу доказывается тупо через приращения и пределы отношения приращений.

(То, что названия теорем условны и любую из них можно было бы обозвать любой из этих фамилий, к делу отношения не имеет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 16:04 


22/10/20
1050
ewert в сообщении #1570705 писал(а):
Вы уж как-нибудь определитесь: полезен этот объект потому, что бесполезен или, наоборот, бесполезен потому, что полезен.
Я в своем посте вполне точно написал: бесполезен неопределенный интеграл. Понятие первообразной и теорему о множестве первообразных на связном промежутке считаю полезной.

ewert в сообщении #1570705 писал(а):
Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так. По очевидной причине -- это совершенно разные тематики.
По мне странно изучать неопределенный интеграл до определенного, поскольку первый полностью сводится ко второму. Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?
План такой:
1)Вводим определенный интеграл и доказываем его основные свойства
2)Доказываем теорему Барроу и Ньютона-Лейбница
3)Во всех задачах, где требуется найти неопределенный интеграл, заменяем значок неопределенного интеграла на интеграл с переменным верхним пределом (а в конце добавляем "+с" если больно уж так надо - я, например, никогда не добавляю).

ewert в сообщении #1570705 писал(а):
Теорема Ньютона-Лейбница доказывается действительно по щелчку, но вовсе не из-за Барроу, а из-за теоремы Лагранжа о конечных приращениях (благодаря ней всегда можно выбирать такие интегральные суммы, которые попросту равны полному приращению функции).
Я из Барроу доказывал. Берем непрерывную функцию $f$. Для нее корректно определен интеграл с переменным верхним пределом $F(x)=\int_a^xf$. Имеем: $\int_a^bf = F(b) = F(b) - 0 = F(b) - F(a)$. Величина $F(b) - F(a)$ не зависит от выбора конкретной первообразной $F$, т.к. они все отличаются на константу. Вот и все, теорема Ньютона-Лейбница доказана. Теорема Лагранжа нигде не использовалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
ewert в сообщении #1570705 писал(а):
Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так.
У Рудина неопределенного интеграла вообще нет.
EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):
а в конце добавляем "+с" если больно уж так надо - я, например, никогда не добавляю
А вот это зря, потому что в диффурах это $+C$ может внезапно стать $\cdot C$ или даже $\cdot^C$.
EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):
Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?
ИМХО матанализ тут слегка залезает на территорию алгебры. Чтобы заниматься символьным интегрированием никакая топология не нужна.
EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):
Я из Барроу доказывал
У вас получилась теорема слабее, чем у ewert - вам нужна непрерывность производной, а ewert достаточно дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 17:07 


22/10/20
1050
mihaild в сообщении #1570719 писал(а):
А вот это зря, потому что в диффурах это $+C$ может внезапно стать $\cdot C$ или даже $\cdot^C$.
Да я о более приземленных вещах. Имеется в виду, что если уж прям так сильно требуют найти именно множество первообразных, а не просто какую-то первообразную, то можно это "плюс цэ" и написать. Если понимать, что делаешь - то это все мелочи.

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):
ИМХО матанализ тут слегка залезает на территорию алгебры.
Мне тоже так приятно думать. Интегрирование и дифференцирование - это линейные операторы. Отсюда и получается вся эта история с факторгруппой, первообразными и смежными классами.

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):
У вас получилась теорема слабее, чем у ewert - вам нужна непрерывность производной, а ewert достаточно дифференцируемости.
Я это понимаю, но что поделать. Я у себя в голове представляю эту теорию так, что к этому моменту уже есть интегралы Лебега и Курцвейля-Хенстока, с помощью которых можно доказать в формулировке ewert (если даже не в более сильной). Просто матанализ по-дурацки выстроен, приходится по крупицам самому выстраивать теорию так, как надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 19:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihaild в сообщении #1570719 писал(а):
У Рудина неопределенного интеграла вообще нет.

Ну так книжка Рудина и непригодна для обучения первокурсников. Непонятно, для кого он её вообще писал. Подбор материала вроде вполне стандартный (в основном), но уж больно сильно в него намешаны элементы функана. Эта книжка если для кого и полезна, то только для тех, кто уже знает матанализ. Скажем, для вузовских преподавателей; но не для студентов (кроме особо продвинутых).

EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):
Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?

Ну-ну. Приведите какую-нибудь теорему про определённые интегралы, из которой выводились бы, скажем, подстановки Эйлера или Чебышёва. Не обязательно даже "легко"; пусть хоть как-нибудь выведутся.

Те же утверждения про неопределённые, которые Вы перед этим упоминали, на роль теорем не тянут. Линейность (что для определённого, что для неопределённого) -- это вообще ни разу не теорема, это просто по определению. Интегрирование по частям и замена переменных -- тоже, в общем, не теоремы, это скорее приёмы. И, между прочим, использовать в качестве базовых эти утверждения для определённого -- явный моветон хотя бы потому, что формулировки более громоздкие.

EminentVictorians в сообщении #1570722 писал(а):
Я у себя в голове представляю эту теорию так, что к этому моменту уже есть интегралы Лебега и Курцвейля-Хенстока, с помощью которых можно доказать в формулировке ewert (если даже не в более сильной).

Скажите, а у Вас никогда не возникал в голове вопрос: зачем Вас в детстве, собственно, заставляли учить таблицу умножения?.. Дали бы сразу какую-нибудь теорию групп: насколько всё сразу понятнее стало бы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):
Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного.

А чего-то не обнаружил у Зорича чёткого определения неопределённого интеграла. Наверное тут не всё просто. И если ввести строгое определение, то найдётся к чему придраться. Например, как определить неопределённый интеграл для разрывных функций типа $1 \slash x$ ?
ewert в сообщении #1570705 писал(а):
В связи с неопределённым интегралом интересуются исключительно техникой интегрирования, в определённом же наоборот -- техника неинтересна

Ну, это от учебника зависит. В курсе Фихтенгольца, например, много интересных определённых интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.11.2022, 23:14 


22/10/20
1050
мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):
Например, как определить неопределённый интеграл для разрывных функций типа $1 \slash x$ ?
Сначала фиксируем функцию $f(x)$ и связный промежуток $\Omega$. Первообразная $F(x)$ функции $f(x)$ на $\Omega$ - это функция, определенная на $\Omega$ такая, что $F'(x) = f(x) \forall x \in \Omega$. Далее доказываем, что все первообразные образуют понятно какое множество. А затем вводим понятие неопределенного интеграла как множества первообразных. На счет функции $1/x$. Сначала зафиксируйте связный промежуток. Без этого шага процедура поиска неопределенного интеграла не определена.

ewert в сообщении #1570748 писал(а):
Приведите какую-нибудь теорему про определённые интегралы, из которой выводились бы, скажем, подстановки Эйлера или Чебышёва.
А в чем проблема? Я помню как я изучал всю эту тему про интегрирование рациональных функций. Ничего кроме линейности, замены переменной и интегрирования по частям там не было. А эти факты переносятся с определенного интеграла.

ewert в сообщении #1570748 писал(а):
Скажите, а у Вас никогда не возникал в голове вопрос: зачем Вас в детстве, собственно, заставляли учить таблицу умножения?.. Дали бы сразу какую-нибудь теорию групп: насколько всё сразу понятнее стало бы!
Мне не нравятся такие аналогии. Выглядит как подмена понятий. Есть большая разница между навыками, востребованными для социальной адаптации ребенка и изучением математических теорий. Что касается математических теорий и меня лично, то я потратил большое количество времени и нервов на вещи, которые можно было бы изучить гораздо проще и понятнее. И такое положение дел во многом сложилось по причине того, что культивируются все эти идеи в духе "изучать надо от частного к общему", "чтож вы в детском саду учили таблицу умножения, а не теорию групп" и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение22.11.2022, 10:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):
А чего-то не обнаружил у Зорича чёткого определения неопределённого интеграла.

Да, Зорич формальное определение зажевал. Возможно, не захотел грузить читателя понятиями "множество функций" и затем сложением и умножением на число таких множеств. (Там действительно возникает формальная проблема, но только одна: в равенстве $\int0\cdot f(x)\,dx=0\cdot\int f(x)\,dx$ слева стоит множество всех констант, а справа -- множество, состоящее только из нуля; это вполне можно пережить).

По поводу разрывных функций у Зорича как раз всё совершенно однозначно. Он прямым текстом говорит, что первообразная и неопределённый интеграл имеют смысл только для сплошного промежутка.

мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):
В курсе Фихтенгольца, например, много интересных определённых интегралов.

Да, много. Но уже потом. Кроме того, Фихтенгольц здесь не показателен -- у него удельный вес примеров вообще гораздо выше, чем в других учебниках. (Собственно, только ради них его систематически и переиздают.)

EminentVictorians в сообщении #1570781 писал(а):
Мне не нравятся такие аналогии.

Это не аналогия, а точный аналог. Вы постоянно ставите телегу впереди лошади. Неопределённый интеграл -- существенно более простое понятие, чем определённый и при этом техника интегрирования -- штука весьма нетривиальная. Ссылаться при нахождении первообразных на гораздо более сложное понятие (при том, что эти сложности не имеют ни малейшего отношения к делу) -- абсолютно нелепо. Это не говоря уж о чисто методической стороне дела: теория определённого интеграла, как и любая другая, нуждается в примерах, а это означает, что к этому моменту стандартные приёмы интегрирования должны уже быть отработаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение22.11.2022, 11:32 


22/10/20
1050
ewert в сообщении #1570853 писал(а):
(Там действительно возникает формальная проблема, но только одна: в равенстве $\int0\cdot f(x)\,dx=0\cdot\int f(x)\,dx$ слева стоит множество всех констант, а справа -- множество, состоящее только из нуля; это вполне можно пережить).
Справа тоже множество всех констант.

Чтобы искусственно не усложнять, будем рассматривать функции вида $\mathbb R \to \mathbb R$. Рассмотрим пространство $D$ дифференцируемых функций и пространство $C$ непрерывных функций. Оператор дифференцирования $d: D \to C$ является линейным. Его ядром является множество $Const$ констант. Тем самым, имеем биективный оператор $s: D/Const \to C$. Обратный к нему - это и есть неопределенный интеграл: $s^{-1} = \int$. Таким образом, для произвольной функции $f \in C$ $$Const = \int 0_C = \int 0 \cdot f = 0 \cdot \int f = [0 \cdot \int f] = [g \equiv 0] = Const$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group