2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.03.2023, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
ewert в сообщении #1586182 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1583206 писал(а):
Тогда зачем мы затевали всю эту канитель с множеством?

За дифурами.

Я что-то не помню, что когда я изучал диффуры в университете, для множества решений диффуров использовалось специальное название. Допустим, мы имеем такую запись: $\int \cos x dx = \sin x +C$ . Что у нас тут слева? Если слева мы имеем неопределённый интеграл, как множество первообразных, то где у нас справа множество? Если кто-то считает, что $C$ - это множество всех действительных чисел, то, во-первых, почему бы его не обозначить как $R$ ? А во-вторых, как складывать это множество $R$ с функцией $f(x)=\sin x$ ? Но можно вообще отказаться от понятия неопределённого интеграла (как строгого математического объекта) и обойтись лишь понятием первообразной. Будем называть первообразной любую функцию, производная которой совпадает с исходной. Тогда эту запись можно понимать, что производная от функции $f(x)=\sin x+C$ совпадает с функцией $g(x)=\cos x$ . На мой взгляд такое понимание гораздо проще для впервые изучающего анализ. Открыл как-то школьный учебник Пратусевича. Там тоже неопределённый интеграл определяется как множество первообразных. После чего долго и нудно доказывается, что сумма неопределённых интегралов есть неопределённый интеграл от суммы функций. То есть строго доказывается равенство множеств. Если при первом знакомстве с анализом интеллектуальные усилия растрачивать на это, то на освоение духа анализа уже времени не останется. А для диффуров тоже множество решений вводить необязательно. Просто под решением диффура понимать любую функцию, которая ему удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.03.2023, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9143
Цюрих
мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):
Допустим, мы имеем такую запись: $\int \cos x dx = \sin x +C$ . Что у нас тут слева? Если слева мы имеем неопределённый интеграл, как множество первообразных, то где у нас справа множество? Если кто-то считает, что $C$ - это множество всех действительных чисел, то, во-первых, почему бы его не обозначить как $R$ ? А во-вторых, как складывать это множество $R$ с функцией $f(x)=\sin x$ ?
Справа у нас сокращенная запись множества, полностью выглядящая как $\{\sin x + C | C \in \mathbb R\}$. Пишем $C$ потому что могут быть аналогичные записи с двумя и более константами, каждая из которых встречается в выражении несколько раз, и важно, что одна и та же константа по всему выражению одинаковая, а разные - не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение21.03.2023, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
У меня вообще посты не про то, что правильно, а что неправильно. Что можно по-разному, я понимаю. Речь о том, как лучше излагать предмет в простых учебниках для впервые изучающих анализ. И на мой взгляд первые вводные книги по анализу должны излагать предмет максимально просто. За границей такой предмет называют даже не анализом, а "Сalculus".

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение22.03.2023, 09:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):
Я что-то не помню, что когда я изучал диффуры в университете, для множества решений диффуров использовалось специальное название.

Естественно, используется. Оно называется общим решением (хотя тут и есть терминологические нюансы).

мат-ламер в сообщении #1586218 писал(а):
Будем называть первообразной любую функцию, производная которой совпадает с исходной.

Если бы речь шла только об интегралах, то, в принципе, и ради бы бога. Но ведь интегралы -- не самоцель, это лишь техническое средство. И когда оно применяется в дифурах, за константами очень даже нужно следить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение22.03.2023, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12496
ewert в сообщении #1586264 писал(а):
терминологические нюансы
Превращение интеграла в "квадратуру", чтобы не путать его с "общим интегралом"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение22.03.2023, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
ewert в сообщении #1586264 писал(а):
Оно называется общим решением (хотя тут и есть терминологические нюансы).

У Петровского нашёл понятие общего интеграла дифференциального уравнения, как уравнения $F(x,y,C_1,...,C_n)=0$ , зависящего от некоторых констант. У Понтрягина и Арнольда пока ничего не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение23.03.2023, 12:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7067
Задался вопросом, а что пишут по обсуждаемому вопросу в учебниках и энциклопедиях. Напомню, что обсуждается вопрос, а надо ли рассматривать неопределённый интеграл как множество первообразных. В российской Википедии именно так неопределённый интеграл и определяется. Перешёл на англоязычную страницу. Она называется, как antiderivative (первообразная). Запросы "неопределённый интеграл" адресуются на эту страницу, причём на ней неопределённый интеграл определяется как синоним первообразной. Напомню, что в учебнике Зорича неопределённый интеграл не определяется как строгое математическое понятие. Хотя такой термин там используется как вид человеческой деятельности - нахождение первообразной. В учебнике Камынина неопределённый интеграл является синонимом первообразной. В учебниках Львовского, Шварца, Дьедонне, Картана, Рудина понятие неопределённого интеграла не нашёл. В книге Бурбаков по функциям действительного переменного тоже нет понятия неопределённого интеграла. Зато там есть понятие первообразной, которую они называют примитивной. В учебнике Терренса Тао также нет неопределённого интеграла.

Я думаю, что спорить тут смысла нет. Преподаватели имеют дело со студентами непосредственно. И они знают, как преподавать, исходя прежде всего из того, чтобы студенты понимали. И у разных преподавателей разные категории студентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь неопределенного и определенного интегралов
Сообщение25.03.2023, 09:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #1586314 писал(а):
ewert в сообщении #1586264 писал(а):
терминологические нюансы
Превращение интеграла в "квадратуру", чтобы не путать его с "общим интегралом"?

Не в этом дело. А в том, что под общим решением проще всего понимать именно множество всех решений. Но можно и иначе -- можно называть общим решением формулу, содержащую произвольные постоянные и описывающую все решения. Так вот эти понятия не совпадают. И вовсе не из-за смыслового различия между "множеством" и "формулой" (это пустая формальность). Проблема в том, что такая формула не обязательно описывает буквально все решения. Классический пример: $y'=y^2$, и вроде как общим будет решение $y(x,C)=\frac{1}{C-x}$. Однако решение $y(x)\equiv0$ при этом оказывается потерянным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group