Связь неопределенного и определенного интегралов

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1583055 писал(а):

Так и не понял, почему нельзя сказать, что неопределённый интеграл это функция

Я думаю, что в принципе можно. Пусть на множестве задана некая функция и некая мера (Жордана или Лебега - неважно). Тогда неопределённым интегралом можно назвать функцию множества, которая равна определённому интегралу от нашей исходной функции по данному множеству. Но тут дело в традициях преподавания. И в таком определении сначала вводится определённый интеграл, а уж затем неопределённый. И неопределённый интеграл есть единственная конкретная функция. Такое уместно в курсе теории функций. А если в начальных курсах анализа сначала вводится неопределённый интеграл, как функция, производная от которой есть исходная функция, то это уже есть простейшее дифференциальное уравнение, у которого решение не единственно. И тут естественно возникает некоторая константа и множество функций, как решение этого уравнения. И тут уже вопрос традиции, назвать ли неопределённым интегралом всё это множество функций или любую конкретную функцию из этого множества.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1583060 писал(а):

Тогда неопределённым интегралом можно назвать функцию множества,

а давайте не будем

[vpb]

Да можно, конечно, говорить, что неопределенный интеграл и первообразная --- это одно и то же, или что неопределенный интеграл --- это функция. Только как бы при этом чего не вышло дурного. Скажем,
$\int x^2\,dx=\frac{x^3}3$, верно ? Но с тем же успехом можно написать, что $\int x^2\,dx=\frac{x^3}3 +2$, ибо производная от $\frac{x^3}3+2$ есть $x^2$ . Левые части равны, значит равны и правые, значит $\frac{x^3}3=\frac{x^3}3+2$, откуда $0=2$, с чем вас и поздравляю.

Я бы сказал так. " Дети ! Обратите внимание, что часто неопределенным интегралом называют первообразную, и считают, что неопределенный интеграл --- это функция. Но это не совсем правильно. Если считать, что это функция, то может получиться вот так (следует пример, который я только что привел). Чтобы такого не вышло, условились считать, что неопределенный интеграл --- это первообразная, с точностью до прибавления постоянной функции, то есть числа. Ну, или математики иногда говорят, что неопределенный интеграл --- это множество всех первообразных, и пишут

$$\int f(x)\, dx=\{F(x)+C\mid C\in{\mathbb R}\}.$$

Или проще так:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C. $$

Так что в нашем случае правильная запись будет вот такая:

$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}3+C. $$

(В этом месте, если преподавание на математическом факультете, или на физфаке в крайнем случае, можно поговорить про сумму множеств по Минковскому, т.е. $A+B=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}$, а если студенты --- химики или попроще, то обойтись.)

[mihaild]

vpb, а как тут написать $\int \alpha \cdot f(x) dx = \ldots$? ($\alpha$ - вещественное число)

[vpb]

$$ \int \alpha f(x)\,dx=\alpha\int f(x)\,dx, $$

или можно

$$ \int \alpha f(x)\,dx=\alpha\int f(x)\,dx +C,$$

(потому что при $\alpha=0$ верхняя запись слегка некорректной получается. Но студенты на это, скорее всего, внимания не обратят).

[Padawan]

vpb в сообщении #1583089 писал(а):

Скажем,
$\int x^2\,dx=\frac{x^3}3$, верно ? Но с тем же успехом можно написать, что $\int x^2\,dx=\frac{x^3}3 +2$,

Эта запись означает, что производная функции справа равна функции под интегралом и ничего больше. Точно также можно было бы обеспокоиться равенством $\sin x=O(1) $ и $\sin x +2=O(1) $и сделать из него вывод $0=2$.

[Утундрий]

Пытаясь разгадать причину аномальной длительности подобных дискуссий, я остановился на гипотезе внезапного обнуления памяти. Действительно, казалось бы, ответ на обсуждаемый вопрос сводится к цитированию определения, дополненному, быть может, парой иллюстративных примеров. Что и было проделано в первых же сообщениях темы. Но обсуждение продолжается и продолжается, двигаясь по одному и тому же маршруту, оперируя теми же самыми аргументами.

Эту своеобразную зацикленность хотелось бы как-то объяснить. Может быть у кого-то есть версии помимо предложенной?

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1583113 писал(а):

я остановился на гипотезе внезапного обнуления памяти

А если не внезапное, а просто "склероз"? Лично я не помню, как нам определяли неопределённый интеграл.

krum в сообщении #1583061 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1583060 писал(а):

Тогда неопределённым интегралом можно назвать функцию множества,

а давайте не будем

Я не про то, что мы все как один ... Я про принципиальную возможность. Лично мне такая точка зрения на неопределённый интеграл импонирует и я её придерживаюсь. Она достаточна удобна и избавляет от некоторых обсуждаемых тут логических затруднений. Я не преподаватель и как-бы более свободен в своих взглядах.

-- Пт фев 24, 2023 21:16:11 --

Утундрий в сообщении #1583113 писал(а):

Действительно, казалось бы, ответ на обсуждаемый вопрос сводится к цитированию определения

Я понимаю ваши чувства. Обсуждаемый вопрос сильно похож на обсуждение термина "масса" в физике.

[svv]

vpb в сообщении #1583089 писал(а):

Скажем,
$\int x^2\,dx=\frac{x^3}3$, верно ? Но с тем же успехом можно написать, что $\int x^2\,dx=\frac{x^3}3 +2$, ибо производная от $\frac{x^3}3+2$ есть $x^2$ . Левые части равны, значит равны и правые, значит $\frac{x^3}3=\frac{x^3}3+2$, откуда $0=2$, с чем вас и поздравляю.

Ещё пример:
$\int 2\sin x\cos x\,dx=\int 2\sin x\,d(\sin x)=\sin^2 x$
$\int 2\sin x\cos x\,dx=\int 2\cos x\,d(-\cos x)=-\cos^2 x$
Забыл константы? Исправляюсь:
$\int 2\sin x\cos x\,dx=\sin^2 x+C$
$\int 2\sin x\cos x\,dx=-\cos^2 x+C$
Вычитая из первого равенства второе, получим $0=1$.

Для аккуратной работы следует, вводя произвольную константу, снабжать её уникальным индексом из даты и времени её введения (по UTC), например:
$\int 2\sin x\cos x\,dx=\sin^2 x+C_{24.02.2023,17:37:52}$
Больше одной константы в секунду не вводить.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1583164 писал(а):

Для аккуратной работы следует, вводя произвольную константу, снабжать её уникальным индексом из даты и времени её введения (по UTC), например:

А как дать понять читателю форума, что одной буквой обозначены разные константы? Например, какие индексы должны быть в формуле $\int \frac{dx}{x}$=\ln |x|+C ?

[vpb]

Padawan в сообщении #1583108 писал(а):

Эта запись означает, что производная функции справа равна функции под интегралом и ничего больше.

Однако, вы же сами пишете, что неопределенный интеграл -- это функция. Вот:

-- 24.02.2023, 22:14 --

Padawan в сообщении #1583055 писал(а):

Так и не понял, почему нельзя сказать, что неопределённый интеграл это функция

-- 24.02.2023, 22:28 --

То есть у вас в записи $\int x^2\,dx=\frac{x^3}3+2$ и слева функция, и справа функция. Равенство двух функций, отсюда и всякая ерунда получается. А запись $\sin x=O(1)$ --- она с самого начала носит условный характер, это не равенство двух функций, а некое свойство синуса (точнее, некое отношение между функциями $\sin x$ и $f(x)\equiv x$). Таким образом, тут точной аналогии нет.

В общем, я считаю, что если не различать понятия "функция", в обычном смысле, и "функция с точностью до константы" или "семейство функций", и студентам говорить, что неопределенный интеграл и первообразная --- это синонимы, и что неопределенный интеграл -- это функция, это чревато путаницей в ихних головах.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1583060 писал(а):

Тогда неопределённым интегралом можно назвать функцию множества, которая равна определённому интегралу от нашей исходной функции по данному множеству.

мат-ламер в сообщении #1583060 писал(а):

Такое уместно в курсе теории функций.

Должен оправдаться. То, что я написал, называют не "неопределённым интегралом", а "неопределённым интегралом Лебега". См., например, Натансон - ТФВП - п.9.4, или Дьяченко и Ульянов - "Мера и интеграл", п.26. А если понимать неопределённый интеграл, как множество первообразных, то тут могут возникнуть трудности с пониманием некоторых нюансов. Во-первых, в процессе вычисления сложного неопределённого интеграла мы складываем, вычитаем, умножаем множества с сохранением константы $C$ . А когда в конце мы переходим к вычислению определённого интеграла, то мы вычитаем два неопределённых интеграла и константа $C$ тут у нас пропадает. Я понимаю запись $\int \cos x dx = \sin x +C$ не как конкретную формулу, а как схему формул, которая показывает вид произвольной первообразной. А при подстановки в эту схему конкретного значения константы $C$ , можно получить одну конкретную первообразную. Слово "схема" взята из матлогики, где есть термин "схема аксиом".

мат-ламер в сообщении #1583155 писал(а):

Обсуждаемый вопрос сильно похож на обсуждение термина "масса" в физике.

Аналогия такая. В курсах общей физики (в частности в фейнмановских лекциях по физике) под массой понимают одно. А в более продвинутых курсах физики под массой понимают нечто другое.

Утундрий в сообщении #1583113 писал(а):

Действительно, казалось бы, ответ на обсуждаемый вопрос сводится к цитированию определения

И тут возникает вопрос, куда обращаться за эталонным определением. Как я писал, Зорич от конкретного определения неопределённого интеграла отмахнулся. И, наверное, это неспроста.

-- Сб фев 25, 2023 10:14:57 --

И тут ещё у изучающего анализ может возникнуть вопрос о целесообразности вводимых понятий. Хорошо, определили неопределённый интеграл как некое множество. Определили какие-то операции с этим множеством. И тут наступает момент вычисления определённого интеграла. Нужно ли нам всё это множество для его вычисления? И что мы с ним будем делать? Нет, нам нужно лишь какая-то одна первообразная из этого множества. Тогда зачем мы затевали всю эту канитель с множеством?

[vpb]

А вообще, всё фигня, кроме пчел. То есть данная проблема почти из пальца высосана. Это я вспомнил, как я сам преподавал (было это не особенно долго и очень давно).

Вопрос "что такое неопределенный интеграл" имеет два аспекта: чисто теоретический, и педагогический.
С чисто теоретической точки зрения можно ввести понятие неопределенного интеграла как семейства функций, или элемента факторпространства пространства всех функций по подпространству констант. Впрочем, к моим собственным интересам это отношения не имеет. С педагогической же точки зрения, видимо, вводить строгое понятие неопределенного интеграла имеет смысл лишь для математиков, а для остальных в первом приближении, действительно, считать, что первообразная и неопределенный интеграл --- почти одно и то же. Просто донести, в меру педагогического мастерства, что всякие записи типа $\int x^3+2x^2\,dx=\int x^3\,dx+2\int x^2\,dx$ имеют условный характер, да и всё. А попытка дать строгое определение, скорее всего, их наоборот запутает.

[Утундрий]

Можно наоборот вводить через него идею фактор-пространства. Не всё же остатками баловаться.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1583206 писал(а):

Тогда зачем мы затевали всю эту канитель с множеством?

За дифурами.