Неопределенность при подсчете частной производной.

[Sazhnev19]

Возможно вопрос детский, но я решил спросить об этом на форуме, так как только зарегистрировался, и хочу попробовать задать вопрос.
Задача: проверить на дифференцируемость функцию
$ z = \ln(3+(x^{2} \cdot y)^{1/3})$
в точке $(0,0)$
При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0.
Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно, и не могу обосновать правильность этого метода. Если попробовать по определению:
$ \lim\limits_{y \to \ y_{0}} \frac{f(x_{0},y)-f(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}} $ в этом случае получается $ \lim\limits_{y \to \ 0} \frac{\ln(3) - \ln(3)}{y} $
С этим тоже непонятно как работать. Подскажите пожалуйста.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[alisa-lebovski]

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно

Можно. Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$, так что функция не дифференцируема в нуле.

[bot]

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0

А где там неопределённость? В числителе чистый ноль, а в знаменателе $y \to 0\quad (y\ne 0)$

[мат-ламер]

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

Если попробовать по определению:

Это не есть определение того, что спрашивается в задаче. Это определение чего-то другого. Неплохо бы для начала разобраться с определениями.

[мат-ламер]

alisa-lebovski в сообщении #1585056 писал(а):

Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$

Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить. Работает ли она для функций $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ или $g(x,y)=ax+by$ ?

[bot]

мат-ламер в сообщении #1585076 писал(а):

Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить

Неудивительно, что производная может зависеть от направления. Мне кажется тут хотелось сказать другое. Производные тут есть в любых направлениях, но не вычисляются по формуле через градиент, что и показывает недифференцируемость.
ЗЫ. Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить.

[alisa-lebovski]

мат-ламер в сообщении #1585076 писал(а):

Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить.

Да, это я напутала. Производная по направлению должна выражаться как $A\cos\varphi+B\sin\varphi$.

[мат-ламер]

Тут ещё такая идея может пригодиться. Если какое-то направление есть линейная комбинация каких-то базисных направлений, то в случае дифференцируемости функции производная вдоль этого направления должна быть линейной комбинацией производных вдоль этих базисных направлений. В нашем случае за базисные направления можно выбрать оси координат. Но на них наша функция постоянная. Значит производные вдоль этих базисных направлений нулевые. А вот производная вдоль некоего произвольного направления нашей функции отнюдь не нулевая, а явно зависит от угла этого направления.

-- Сб мар 11, 2023 18:50:51 --

bot в сообщении #1585078 писал(а):

Производные тут есть в любых направлениях, но не вычисляются по формуле через градиент, что и показывает недифференцируемость.
ЗЫ. Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить.

Извиняюсь, но сей текст сразу до меня не дошёл. Поэтому я в своём сообщении его продублировал. А не дошёл он до меня по причине, что в разных книгах градиент определяется по разному. В учебниках для физиков градиент определяется, как совокупность частных производных. В учебниках для математиков часто градиент есть дифференциал (производная) для функции $f:R^n\to R$ .

[bot]

bot в сообщении #1585078 писал(а):

Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить

Фихтенгольц, к примеру, вводит дифференциал, градиент а следом доказывает формулу вычисления частнуй производной по направлению при условии непрерывности частных производных. В подстрочном замечании отмечает, что это условие избыточно и может быть заменено на дифференцируемость. Контрпримеры к этой формуле при отсутствии дифференцируемости (но при наличии частных производных) есть в Демидовиче ($f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}$ - лень номер искать). Там же есть примеры дифференцируемых функций с разрывными частными производными.
Содержательных примеров использования "недоградиента" (то есть вектора с компонентами из частных производных) я не знаю.

[мат-ламер]

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно, и не могу обосновать правильность этого метода.

Идея использовать полярные координаты , как уже было сказано, сюда очень даже подходит. Если бы функция была дифференцируема в нуле, то учитывая её постоянность на осях координат, её дифференциал в нуле был бы нулевой. Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$ . Покажите, что он не нулевой, а зависит от $\varphi$ .

[Sazhnev19]

bot в сообщении #1585059 писал(а):

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0

А где там неопределённость? В числителе чистый ноль, а в знаменателе $y \to 0\quad (y\ne 0)$

Да, действительно там ноль, спасибо большое, я почему-то пропустил, что эквивалентный ноль побеждает стремление к нулю

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1585153 писал(а):

Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$

Маленькая опечатка. В числителе от $z(\rho,\varphi)$ надо ещё отнять $z(0,0)=\ln 3$ .

-- Вс мар 12, 2023 12:16:23 --

Sazhnev19
Я надеюсь, что вы поняли, что несмотря, что функция имеет частные производные в нуле, она там недифференцируема.

[Sazhnev19]

alisa-lebovski в сообщении #1585056 писал(а):

Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):

Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно

Можно. Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$, так что функция не дифференцируема в нуле.

Спасибо большое, да можно показать не дифференцируемость через разрыв, но функция непрерывна. Однако как оказалось производная $ \frac {df}{dy} $ очень даже считается)

-- 12.03.2023, 11:29 --

мат-ламер в сообщении #1585169 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1585153 писал(а):

Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$

Маленькая опечатка. В числителе от $z(\rho,\varphi)$ надо ещё отнять $z(0,0)=\ln 3$ .

-- Вс мар 12, 2023 12:16:23 --

Sazhnev19
Я надеюсь, что вы поняли, что несмотря, что функция имеет частные производные в нуле, она там недифференцируема.

Да, наличие частных производных еще не гарантирует дифференцируемость функции в точке, достаточным условием является наличие непрерывных частных производных. Спасибо большое!