2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение10.03.2023, 22:05 
Аватара пользователя


10/03/23
7
Возможно вопрос детский, но я решил спросить об этом на форуме, так как только зарегистрировался, и хочу попробовать задать вопрос.
Задача: проверить на дифференцируемость функцию
$ z = \ln(3+(x^{2} \cdot y)^{1/3})$
в точке $(0,0)$
При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0.
Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно, и не могу обосновать правильность этого метода. Если попробовать по определению:
$ \lim\limits_{y \to \ y_{0}} \frac{f(x_{0},y)-f(x_{0},y_{0})}{y-y_{0}}  $ в этом случае получается $ \lim\limits_{y \to \ 0} \frac{\ln(3) - \ln(3)}{y}  $
С этим тоже непонятно как работать. Подскажите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.03.2023, 22:45 
Админ форума


02/02/19
2668
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.03.2023, 11:27 
Админ форума


02/02/19
2668
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно
Можно. Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$, так что функция не дифференцируема в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0

А где там неопределённость? В числителе чистый ноль, а в знаменателе $y \to 0\quad (y\ne 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7140
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
Если попробовать по определению:

Это не есть определение того, что спрашивается в задаче. Это определение чего-то другого. Неплохо бы для начала разобраться с определениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7140
alisa-lebovski в сообщении #1585056 писал(а):
Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$

Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить. Работает ли она для функций $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ или $g(x,y)=ax+by$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
мат-ламер в сообщении #1585076 писал(а):
Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить

Неудивительно, что производная может зависеть от направления. Мне кажется тут хотелось сказать другое. Производные тут есть в любых направлениях, но не вычисляются по формуле через градиент, что и показывает недифференцируемость.
ЗЫ. Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
мат-ламер в сообщении #1585076 писал(а):
Мне кажется, что чуток формулировку тут нужно уточнить.
Да, это я напутала. Производная по направлению должна выражаться как $A\cos\varphi+B\sin\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение11.03.2023, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7140
Тут ещё такая идея может пригодиться. Если какое-то направление есть линейная комбинация каких-то базисных направлений, то в случае дифференцируемости функции производная вдоль этого направления должна быть линейной комбинацией производных вдоль этих базисных направлений. В нашем случае за базисные направления можно выбрать оси координат. Но на них наша функция постоянная. Значит производные вдоль этих базисных направлений нулевые. А вот производная вдоль некоего произвольного направления нашей функции отнюдь не нулевая, а явно зависит от угла этого направления.

-- Сб мар 11, 2023 18:50:51 --

bot в сообщении #1585078 писал(а):
Производные тут есть в любых направлениях, но не вычисляются по формуле через градиент, что и показывает недифференцируемость.
ЗЫ. Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить.

Извиняюсь, но сей текст сразу до меня не дошёл. Поэтому я в своём сообщении его продублировал. А не дошёл он до меня по причине, что в разных книгах градиент определяется по разному. В учебниках для физиков градиент определяется, как совокупность частных производных. В учебниках для математиков часто градиент есть дифференциал (производная) для функции $f:R^n\to R$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение12.03.2023, 07:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
bot в сообщении #1585078 писал(а):
Думается, что в случае недифференцируемости о градиенте лучше и не говорить

Фихтенгольц, к примеру, вводит дифференциал, градиент а следом доказывает формулу вычисления частнуй производной по направлению при условии непрерывности частных производных. В подстрочном замечании отмечает, что это условие избыточно и может быть заменено на дифференцируемость. Контрпримеры к этой формуле при отсутствии дифференцируемости (но при наличии частных производных) есть в Демидовиче ($f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}$ - лень номер искать). Там же есть примеры дифференцируемых функций с разрывными частными производными.
Содержательных примеров использования "недоградиента" (то есть вектора с компонентами из частных производных) я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение12.03.2023, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7140
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно, и не могу обосновать правильность этого метода.

Идея использовать полярные координаты , как уже было сказано, сюда очень даже подходит. Если бы функция была дифференцируема в нуле, то учитывая её постоянность на осях координат, её дифференциал в нуле был бы нулевой. Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$ . Покажите, что он не нулевой, а зависит от $\varphi$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение12.03.2023, 10:54 
Аватара пользователя


10/03/23
7
bot в сообщении #1585059 писал(а):
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
При подсчете $df/dy$ возникает неопределенность: и в числителе и в знаменателе получается 0

А где там неопределённость? В числителе чистый ноль, а в знаменателе $y \to 0\quad (y\ne 0)$

Да, действительно там ноль, спасибо большое, я почему-то пропустил, что эквивалентный ноль побеждает стремление к нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение12.03.2023, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7140
мат-ламер в сообщении #1585153 писал(а):
Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$

Маленькая опечатка. В числителе от $z(\rho,\varphi)$ надо ещё отнять $z(0,0)=\ln 3$ .

-- Вс мар 12, 2023 12:16:23 --

Sazhnev19
Я надеюсь, что вы поняли, что несмотря, что функция имеет частные производные в нуле, она там недифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенность при подсчете частной производной.
Сообщение12.03.2023, 11:26 
Аватара пользователя


10/03/23
7
alisa-lebovski в сообщении #1585056 писал(а):
Sazhnev19 в сообщении #1585005 писал(а):
Попробовал представить функцию в полярных координатах, но не уверен, что так сделать можно
Можно. Сделайте так, и покажите, что по разным направлениям (углам $\varphi$) будет разная производная по $r$, так что функция не дифференцируема в нуле.

Спасибо большое, да можно показать не дифференцируемость через разрыв, но функция непрерывна. Однако как оказалось производная $ \frac {df}{dy} $ очень даже считается)

-- 12.03.2023, 11:29 --

мат-ламер в сообщении #1585169 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1585153 писал(а):
Остаётся исследовать предел $\lim\frac{|z(\rho,\varphi)|}{\rho}$ при $\rho \to 0$

Маленькая опечатка. В числителе от $z(\rho,\varphi)$ надо ещё отнять $z(0,0)=\ln 3$ .

-- Вс мар 12, 2023 12:16:23 --

Sazhnev19
Я надеюсь, что вы поняли, что несмотря, что функция имеет частные производные в нуле, она там недифференцируема.

Да, наличие частных производных еще не гарантирует дифференцируемость функции в точке, достаточным условием является наличие непрерывных частных производных. Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group