Да, наличие частных производных еще не гарантирует дифференцируемость функции в точке, достаточным условием является наличие непрерывных частных производных.
Вы правы. Только это условие тут вам не поможет. Допустим, вы доказали что частные производные не являются непрерывными в нуле. Отсюда не следует отсутствие дифференцируемости в нуле самой функции.