Еще раз о востребованности теории категорий

[vpb]

krum в сообщении #1583394 писал(а):

Вот к примеру, вокруг теории категорий сколько кипеша было. А все улеглось и свелось к чистому факультативу. Просто народ разобрался в какой-то момент, что теория категорий это математический аппарат не для решения новых задач, а для пересказа уже решенных, и мода закончилась.

Позвольте таки вас поправить, поскольку я тут больше в курсе. На самом деле, учение о категориях бывает полезно, а иногда и просто необходимо (прошу поверить на слово). Но то, что вокруг них есть мода и хайп, не очень оправданные, это да. А то, что на форуме есть участник, который генерирует мегатексты, в которых категории упоминаются, и цели этого какие-то непонятные --- это вообще отдельное обстоятельство.

[krum]

vpb в сообщении #1583402 писал(а):

прошу поверить на слово). Но то, что вокруг них есть мода и хайп, не очень оправданные, это да. А то, что на форуме есть участник,

Простите, но на слово поверить не могу, поскольку имею свой опыт, который немного выходит за рамки данного форума и его отдельного участника:)

[vpb]

krum в сообщении #1583425 писал(а):

Простите, но на слово поверить не могу, поскольку имею свой опыт, который немного выходит за рамки данного форума и его отдельного участника:)

Однако, предъявить конкретное доказательство или аргумент было бы трудно. Ведь для этого я бы должен был привести какое-то понятие, утверждение, или доказательство, которое с категориями выходит проще и понятней, чем без них. И чтобы вы поняли этот фрагмент (понятие, утверждение или доказательство), и согласились, что с категориями выходит лучше. А из какой области этот фрагмент мог бы быть ? У вас область УрЧП или вроде того, может функан, а у меня --- алгебра. Я бы мог привести примеры из алгебры, или алгебраической геометрии, или алгебраической топологии (где категории и возникли, кстати), но для вас это будет, скорее всего, как китайская грамота. А я в УрЧП ни бум-бум. Да и нету там категорий, как я предполагаю.

Есть еще такая возможность, я в ЛС могу дать ссылки на собственные работы (тем самым раскрыв свое инкогнито), и вы сможете убедиться, что я таки понимаю, с чем их едят, а не только читал учебники или просто нахватался слов откуда-то. Если пожелаете.

(Это всё не значит, что я тут хочу доказать суперважность категорий. Они в некоторых частях математики важны, но в целом их роль довольно ограниченна.).

[Mirage_Pick]

vpb в сообщении #1583465 писал(а):

Есть еще такая возможность, я в ЛС могу дать ссылки на собственные работы (тем самым раскрыв свое инкогнито), и вы сможете убедиться, что я таки понимаю, с чем их едят, а не только читал учебники или просто нахватался слов откуда-то. Если пожелаете.

А можно ссылки на работы, необязательно ваши собственные (чтобы не раскрывать свое инкогнито) но где бы было видно, как теорию категорий используют в упомянутых вами областях?

[krum]

Несколько раз слушал доклады по функану и диф. геометрии в терминах теории категорий. Каждый раз это было как в учебнике Хелемского: можно сказать в категорных тьерминах, а можно и без них.Пару раз видел, как доладчик прикрывает тривиальные результаты категорным трындежом. Про приложения категорий в алгебре ничего сказать не могу, поскольку в алгебре ни фига не понимаю.

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1583526 писал(а):

Каждый раз это было как в учебнике Хелемского: можно сказать в категорных тьерминах, а можно и без них.

Бывают же и обычные терминологии, без которых точно так же можно обойтись. Мне кажется, теоретически, можно обойтись, например, без комплексных чисел, оперируя парами действительных чисел и парами действительных функций или как-то так. Но так ведь не делают. Потому что новый язык дает преимущество. Не в смысле, что он позволяет сделать что-то принципиально новое, что без него было бы невозможно (формально, можно обойтись вообще одними лишь аксиомами $\operatorname{ZFC}$). А в смысле, что он делает работу более удобной. По-моему, теория категорий ничем не отличается от любого другого формализма.

Вот буквально пару недель назад я сидел и тупил в монитор, листал какие-то статьи википедии. Натолкнулся на статью Группа Гротендика. (первый раз, до этого я про нее не слышал). Читаю:

Цитата:

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Я сделал паузу и подумал примерно следующее: "Свободная группа - это способ сделать из множества группу; а это левый сопряженный к забывающему $Grp \to Set$. А здесь мы хотим сделать из коммутативного моноида абелеву группу; очевидно, что надо просто заменить $Set$ на $Common$ (коммутативные моноиды), а $Grp$ на $Ab$, и группа Гротендика точно так же родится из забывающего функтора $Ab \to Common$. Я своими руками переоткрыл группу Гротендика! Я был очень рад этому. Конечно, можно сказать: "ты же понял только характеризацию, а давай-ка переоткрой явную конструкцию". Я согласен, так и есть. Но даже здесь у меня есть надежда, что теория категорий рано или поздно подарит мне аппарат, чтобы в той или иной степени своими руками мастерить явные конструкции (мой оптимизм в этом плане основан, например, на том, что все левые сопряженные функторы данному функтору изоморфны). Таким образом, у меня сформировался очень ясный образ того, что такое группа Гротендика. И неформальный образ тоже: "что-то типа свободной группы, но не максимально свободной, а по модулю коммутативного моноида".

Я еще раз отмечу, что я никого не агитирую. Просто у меня есть свое виденье на математику. Это, в первую очередь, инвариантные определения. Т.е. сначала мы фиксируем, что нам надо, а потом "строим" определение теми или иными средствами. По-моему, заниматься такой математикой гораздо приятнее, чем стартовать с непонятно откуда взявшихся определений и что-то делать дальше.

[Ende]

Выделена тема «Теория гомотопий, алгебраическая геометрия и другие вопросы»

EminentVictorians в сообщении #1583504 писал(а):

А можно спросить насчет алгебраической геометрии? Насколько сильно она связана с обычной алгеброй?

Можно, но в отдельной теме (которую я уже отделил). Формат форума предполагает, что в каждой теме обсуждается один вопрос. Хотите задать другой вопрос - создайте отдельную тему, нет же ничего проще. А то у Вас мысль брызжет во все стороны, а мне потом за Вами с ножницами бегай. Замечание за оффтоп.

[EminentVictorians]

Еще пара мыслей насчет теории категорий как языка.

1) Вспомним, что действие группы $X$ на множестве $Y$ - это гомоморфизм из $X$ в $S(Y)$ - группу биекций $Y$ на себя. Я сильно сомневаюсь, что такое определение хорошо ляжет на интуицию человека, впервые с этими действиями познакомившегося. Что такое "действие" в самом, скажем так, непосредственном смысле? Очевидно, это просто функция $g: X \times Y \to Y$ (действуем элементами множества $X$ на множестве $Y$). Кажется, что эти два предложения говорят о чем-то разном. Но если вспомнить о каррировании, то становится сразу ясно, что $X \times Y \to Y$ - это то же самое, что и $X \to Y^Y$. Как сделать структуру группы на $Y^Y$? Очевидно, все функции не подойдут - нужно взять только биекции (на себя). И по итогу получится в точности $S(Y)$. Вот и связь: гомоморфизм $X \to S(Y)$ это и по сути то же самое, что и $X \times Y \to Y$, где последнее уже очень хорошо соотносится с интуицией о действии. Это можно понять и стандартным способом, но с каррированием приятнее.

2) Что общего у колец (ассоциативных с единицей), алгебр (таких же), и топологических моноидов? Моя "некатегорная" реакция была бы примерно такая: "кольца обобщают алгебры, моноиды - очень слабая структура, а топология тут вообще при чем?". А оказывается, что все эти три объекта - это моноиды в соответствующих категориях (кольца - в категории абелевых групп с обычным тензорным произведением; алгебры - в категории модулей с тензорным произведением; топологические моноиды - в категории топологических пространств с их обычным произведением). И если я вдруг, ничего не зная про дифференциальные градуированные алгебры, решу с ними поразбираться, первым делом я увижу, что они тоже моноиды (в категории дифференциальных градуированных колец) и тем самым я получу в свое распоряжение, во-первых, всю общую теорию моноидов в моноидальных категориях, но самое главное, я смогу использовать интуицию, полученную на всех остальных моноидах, про которые я что-нибудь знаю. По-моему, это очень сильное свойство языка - предоставлять о некоторой вещи интуицию, полученную из других математических мест.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1583531 писал(а):

По-моему, заниматься такой математикой гораздо приятнее, чем стартовать с непонятно откуда взявшихся определений и что-то делать дальше.

Это да. Почёсывать всегда приятней, чем что-то делать.

[krum]

EminentVictorians в сообщении #1583531 писал(а):

непонятно откуда взявшихся определений

Типичное ощущение для самоучек. В учебниках, как правило, не объясняют, откуда берутся определения, каков их генезис и неформальный смысл. Это объясняют на лекциях и семинарах, это объясняют научные руководители. Это приходит с собственным опытом решения задач. Именно поэтому нельзя стать математиком просто начитавшись книжек. Да и не расчитаны на это книжки.

EminentVictorians в сообщении #1584189 писал(а):

Вспомним, что действие группы $X$ на множестве $Y$ - это гомоморфизм из $X$ в $S(Y)$ - группу биекций $Y$ на себя. Я сильно сомневаюсь, что такое определение хорошо ляжет на интуицию человека, впервые с этими действиями познакомившегося.

Студента физмат факультета сперва познакомят с $\mathrm{GL}$ и векторным пространством и еще с много чем, и "такое определение" покажется ему чем-то само собой разумеющемся. А на интуицию самоучки, который занимается бессистемно, и скачет с пятого на десятое, действительно, хорошо не ляжет.

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1584308 писал(а):

Студента физмат факультета сперва познакомят с $\mathrm{GL}$ и векторным пространством и еще с много чем

Так векторное пространство само через действие определяется... Я согласен, примеры тоже нужны. Но хочется именно инвариантный смысл. Можно хоть завалить этими примерами - инвариантное объяснение от этого не родится.

[krum]

EminentVictorians в сообщении #1584327 писал(а):

Так векторное пространство само через действие определяется...

приведите, пожалуйста, это определение

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1584349 писал(а):

приведите, пожалуйста, это определение

Я несколько месяцев назад об этом спрашивал здесь. Вот тема: topic150377.html А вот определение

EminentVictorians в сообщении #1562112 писал(а):

Попробую сформулировать. Рассмотрим множество $\mathbb A$, поле $\mathbb F$ и множество $M$, состоящее из отображений вида $\mathbb A \to \mathbb A$, на которое (т.е. на множество $M$) наложены следующие условия:

A. суммой отображений будем называть их композицию, относительно этой суммы $M$ есть группа преобразований множества $\mathbb A$, причем коммутативная;

B. тавтологическое действие группы $M$ на $\mathbb A$ транзитивно;

C. определена операция умножения отображения на скаляр из поля $\mathbb F$, удовлетворяющая следующим условиям:
1) $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$
2) $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$
3) $(\lambda \mu)a = \lambda (\mu a)$
4) $1a = a$

Тройку $(\mathbb A, \mathbb F, M)$ будем называть аффинным пространством. $M$ будем называть векторным пространством, ассоциированным с данным аффинным.

Но тут так-то тоже не очень хорошо. Действие должно быть еще и свободным, но это ладно. Проблема в пунктах 1-4 с умножением на скаляр. Я сходу не могу дать их инвариантную формулировку, но с очень большой долей уверенности могу сказать, что это возможно. (Отчасти, я решил вникнуть в теорию категорий из-за линейной алгебры. Хочу посмотреть, что получится, если приложить категорную машинерию к линейной алгебре. Я уже могу сказать, что немало всего получится, но пока про конечный вид теории не могу сказать)

[krum]

ну и каким образом из этого определения вытекает, например, тождество $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$ ?

EminentVictorians в сообщении #1584352 писал(а):

Хочу посмотреть, что получится, если приложить категорную машинерию к линейной алгебре. Я уже могу сказать, что немало всего получится,

Ничего не получится. Ни одной новой теоремы линейной алгебры, т.е. ничего такого, что не содержалось бы в учебниках не получится. Не говоря уже о том, что странно думать, что категорную интерпретацию линейной алгебры не дали до Вас

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1584360 писал(а):

ну и каким образом из этого определения вытекает, например, тождество $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$ ?

А разве оно сразу вытекает из обычного определения? По-моему, от обычного определения до доказательства этого равенства шагов не так уж и мало.

Я на самом деле хотел довольно простую вещь. Мне аффинные пространства кажутся более естественными объектами, чем векторные. Вот я и хотел смотреть на векторные пространства как на аффинные с выделенной точкой, а на вектора смотреть как на "свободные вектора", действующие на аффинном пространстве (т.е. как на классы эквивалентности "направленных отрезков"). "Направленные отрезки" разумеется в кавычках, т.к. от них требуется быть не отрезком, а скорее упорядоченной парой точек. Другими словами, мне хотелось видеть вектор как оператор, действующий на аффинном пространстве. Просто немного сместить акценты.

krum в сообщении #1584360 писал(а):

Ни одной новой теоремы линейной алгебры, т.е. ничего такого, что не содержалось бы в учебниках не получится.

Я же не претендую ни на какие новые результаты. Мне просто хочется, чтобы теория была более понятной.