Векторные и аффинные пространства

[EminentVictorians]

Я хочу определить аффинное пространство минуя векторное, а потом определить векторное, как частный случай аффинного. Собственные попытки предоставить не могу, совсем не знаю как это сделать. Хотелось бы стартовать как-то с упорядоченных пар точек аффинного пространства, потом рассмотреть какое-нибудь отношение эквивалентности на этих парах, получить вектор как класс эквивалентности. Но это максимум из того, что я могу родить.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: а зачем?

[EminentVictorians]

Lia в сообщении #1561982 писал(а):

а зачем?

А разве не было бы здорово, если бы любой вектор был бы упорядоченной парой точек? (точнее классом эквивалентности, но это мелочи)

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1561981 писал(а):

определить аффинное пространство минуя векторное

Рассмотрите множество точек с операцией $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$

[EminentVictorians]

alcoholist в сообщении #1562001 писал(а):

Рассмотрите множество точек с операцией $A,B,t\mapsto tA+(1-t)B$

Каждой паре точек на прямой $AB$ и числу $t$ ставится в соответствие точка - их взвешенная комбинация. Но пока не очень понятно, как это дальше развивать.

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562006 писал(а):

взвешенная комбинация

а значит и произвольные аффинные подпространства!

Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

[EminentVictorians]

alcoholist, а можно Вас попросить написать краткий план?

alcoholist в сообщении #1562008 писал(а):

Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

Я понимаю эту запись, но не вижу всю картину целиком.

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562013 писал(а):

краткий план

план побега чего?

[EminentVictorians]

alcoholist в сообщении #1562031 писал(а):

план чего?

Ну я имею в виду как построить аффинное пространство, ничего не зная о векторных пространствах. Какие есть операции, как они определяются.

-- 07.08.2022, 16:49 --

Я имею в виду примерно следующее: вот у нас есть пространство точек - это аффинное пространство. Классы эквивалентности упорядоченных пар точек назовем векторами. Для них справедливы аксиомы векторного пространства. Это векторное пространство и будем называть векторным пространством, ассоциированным с данным аффинным.

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #1562008 писал(а):

Теперь $(A,B)\sim (C,D)$ если $X+A-B=X+C-D$ для какой-то (а значит и для любой) точки $X$.

Докажите, что множество пар точек с таким отношением эквивалентности является векторным пространством. Вуаля. Что еще-то надо?

[EminentVictorians]

alcoholist в сообщении #1562035 писал(а):

Докажите, что множество пар точек с таким отношением эквивалентности является векторным пространством. Вуаля. Что еще-то надо?

Да я понимаю, что эти классы пар соберутся в векторное пространство. Проблема не в этом. Проблема не в том, чтобы доказать, а в том, чтобы определить.

Вот читаю я учебник алгебры. В нем говориться, что векторное пространство - это просто множество любых объектов с двумя операциями, удовлетворяющими списку требований. Т.е. вектор - это просто точка. Точка множества векторов.

Например, вектором может быть функция. Ее часто приводят в пример, когда хотят подчеркнуть, что абстрактный вектор - это не направленный отрезок, как было в геометрии в школе. Мол, забудьте про ассоциацию с направленным отрезком, теперь вектор - это просто точка. В каком месте функция похожа на направленный отрезок вообще. Ни в каком. Функция - это просто точка. Точка множества функций.

Дак вот. Все, что написано выше мне не нравится. Я не хочу мыслить вектор как точку. Я хочу мыслить вектор, как в школе, как направленный отрезок. Направленный отрезок (везде в рамках этой темы под направленными отрезками подразумеваются свободные векторы, т.е. строго говоря классы направленных отрезков) - это сдвиг в каком-то направлении. Сдвиг он всегда от чего-то к чему-то. Вот эти от и к олицетворяют идею вектора, как упорядоченной пары.

Откуда пошло, что векторное пространство функций нельзя представлять как пространство стрелочек? Есть функция. Есть сдвиг от одной функции к другой функции. Вот он вектор и есть.

Везде в учебниках, где я вижу словосочетание "векторное пространство" я хочу без ущерба для здоровья заменять его на словосочетание "аффинное пространство".

Я не хочу, чтобы аффинное пространство было ассоциировано с векторным (как в классическом определении). Я хочу чтобы векторное пространство было ассоциировано с аффинным.

Таким образом, мне надо определить, что такое аффинное пространство. На этом этапе никаких векторных пространств нету.

[Sinoid]

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

множества векторов.

Дык не множества векторов, а точка векторного пространства. Усе. Кто/что мешает начать рассматривать, скажем, все множество $n$-мерных векторов рассматривать как пространство (линейную оболочку) этих самых векторов, на первых порах, пока не привыкли, не употребляя с этим словом "пространство" эпитета векторное, а векторы этого самого множества, ставшего векторным пространством - его векторами?

-- 07.08.2022, 20:41 --

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

В каком месте функция похожа на направленный отрезок вообще. Ни в каком.

Смотря какая функция, смотря как в данном контексте принимается определенной функция. И т. д., и т. п.

[EminentVictorians]

Sinoid в сообщении #1562048 писал(а):

Дык не множества векторов, а точка векторного пространства.

Векторное пространство - это и есть множество векторов, разве нет? (ну по модулю того, что это четверка: носитель, поле и 2 операции, но это ерунда) Или я что-то не так понял?

[Sinoid]

EminentVictorians в сообщении #1562051 писал(а):

Векторное пространство - это и есть множество векторов, разве нет?

Во-первых, множество векторов - это еще не пространство. Чтобы оно таковым стало, на нем, на этом множестве, нужно определить еще известные операции. Во-вторых, даже так взять, да. Изоморфизм между точками и векторами строится почти бесплатно: достаточно вектор приложить к началу координат (не углубляясь в дебри). Так что, ну, хотите - называйте векторами, а я буду называть точками. От этого не меняется ровным счетом ничего, только, возможно, где и придется подкрутить какое-нибудь определение. Хотя в каком-нибудь другом случае мне, возможно, тоже будет удобнее называть векторами.

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1562042 писал(а):

Я хочу мыслить вектор, как в школе, как направленный отрезок.

А зачем? Вот у меня есть сфера, допустим, и касательные вектора в некоторой её точке...