Связь неопределенного и определенного интегралов

[ewert]

EminentVictorians в сообщении #1570869 писал(а):

$$Const = \int 0_C = \int 0 \cdot f = 0 \cdot \int f = [0 \cdot \int f] = [g \equiv 0] = Const$$

Как минимум первое равенство неверно: у оператора интегрирования множество значений состоит, да, из классов эквивалентности. Однако определён-то он на обычных функциях, а никаких не на классах.

Но главное в том, что всё это бессмысленно. Произведение множества на ноль -- это только ноль просто по определению умножения множества на число.

[EminentVictorians]

ewert в сообщении #1570874 писал(а):

Как минимум первое равенство неверно: у оператора интегрирования множество значений состоит, да, из классов эквивалентности. Однако определён-то он на обычных функциях, а никаких не на классах.

$0_C$ - это и есть обычная функция - тождественно нулевая. Ноль пространства $C$.

ewert в сообщении #1570874 писал(а):

Но главное в том, что всё это бессмысленно. Произведение множества на ноль -- это только ноль просто по определению умножения множества на число.

Не ноль, а множество $Const$. Ноль поля умножить на вектор = нулевой вектор.

[ewert]

EminentVictorians в сообщении #1570875 писал(а):

Ноль поля умножить на вектор = нулевой вектор.

Множество -- это ни разу не вектор. И это, между прочим, означает, что множество неопределённых интегралов линейным пространством не является (складывать-то их можно, и нулевой элемент есть, и умножать эти множества можно на любые числа, но вот только не на ноль).

[mihaild]

ewert, в определении EminentVictorians неопределенный интеграл действует в факторпространство. Смежные классы при факторизации векторного пространства - это, конечно, множества, но на скаляры они умножаются не поэлементно. А то такими темпами у вас элементы $\mathbb Z_2$ нельзя будет на целые числа умножать:)

[ewert]

mihaild в сообщении #1570884 писал(а):

А то такими темпами у вас элементы $\mathbb Z_2$ нельзя будет на целые числа умножать:)

А между прочим и нельзя. Самое главное: а зачем?.. ведь внутри $\mathbb Z_2$ других целых нет.

Неопределённый интеграл можно, конечно, интерпретировать как факторпространство. Только никто этого не делает -- невыгодно. Во-первых, к этому моменту понятия факторизации нет, оно на этот момент ещё совершенно не нужно. Во-вторых: а что мы, собственно, факторизуем?.. Если множество всех непрерывно дифференцируемых функций, то это сильно сужает исходное определение первообразной.

Тут, конечно, есть общепринятый дефект в формальном определении первообразной -- никто никогда не задаётся (на этот момент) вопросом о том, для каких функций первообразная существует. Пока что просто предполагается, что существует и всё; это ничему не мешает.

[mihaild]

ewert в сообщении #1570890 писал(а):

ведь внутри $\mathbb Z_2$ других целых нет

Как это нет? Если определять $\mathbb Z_2$ как $\mathbb Z / 2\mathbb Z$, то элементы $\mathbb Z_2$ - это в точности множество четных и множество нечетных чисел. Но если поэлементно умножить одно из этих множеств на любое целое число, кроме $\pm 1$, то получится уже не множество из этих двух. Тем не менее, смежные классы можно умножать на элементы исходного кольца.

ewert в сообщении #1570890 писал(а):

Во-вторых: а что мы, собственно, факторизуем?.. Если множество всех непрерывно дифференцируемых функций, то это сильно сужает исходное определение первообразной.

Например множество всех функций, имеющих интегрируемую производную. Или множество абсолютно непрерывных функций, не очень важно.

[ewert]

mihaild в сообщении #1570904 писал(а):

Или множество абсолютно непрерывных функций, не очень важно.

Не то что неважно, а невозможно. Какая ещё такая "абсолютная непрерывность"?.. Вы не забывайте, в каком месте мы сейчас находимся.

mihaild в сообщении #1570904 писал(а):

Например множество всех функций, имеющих интегрируемую производную

А вот это уже невозможно чисто формально -- понятия интегрируемости пока что ещё попросту нет.

[EminentVictorians]

ewert в сообщении #1570890 писал(а):

Если множество всех непрерывно дифференцируемых функций, то это сильно сужает исходное определение первообразной.

У меня непрерывно дифференцируемые, да. Но очевидно же, что я привел этот пример просто для демонстрации. По-хорошему, надо обобщать гораздо дальше, чем даже варианты mihaild. Куда-то в многомерный анализ, в дифференциальные формы... Вместо числовых промежутков - всякие области с какими-нибудь топологическими характеристиками. Вместо интегралов - цепи, коцепи, симплексы и все в таком роде. А скорее всего, даже еще дальше. Я все жду, когда кто-нибудь напишет нормальный учебник по матанализу, в котором будут и категории со всякими специальными пределами (типа концов, которые не просто же так обозначаются значком интеграла), моноидальными категориями и так далее. Матанализ кажется чистой воды теоретико-категорной историей.

[mihaild]

ewert в сообщении #1570915 писал(а):

Вы не забывайте, в каком месте мы сейчас находимся

А, ну если в рамках 2го семестра - то в факторпространство функций, являющихся чьими-то первообразными. Так же заметаем под ковер вопрос "у каких функций есть первообразная", но вместо не очень понятного "множества функций" первообразная будет элементом понятного векторного пространства (факторизация к этому времени уже должна быть из алгебры).

EminentVictorians в сообщении #1570918 писал(а):

Куда-то в многомерный анализ, в дифференциальные формы... Вместо числовых промежутков - всякие области с какими-нибудь топологическими характеристиками. Вместо интегралов - цепи, коцепи, симплексы и все в таком роде.

Насколько я понимаю, тут может быть проблема - при обобщениях понятия, которые раньше совпадали, становятся разными, и непонятно, какое из них считать обобщением. Например, какое правильное обобщение производной - производная Фреше или квазипроизводная? (для очень многих результатов достаточно квазидифференцируемости на самом деле)

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1570944 писал(а):

Насколько я понимаю, тут может быть проблема - при обобщениях понятия, которые раньше совпадали, становятся разными, и непонятно, какое из них считать обобщением.

Да, одну и ту же штуку можно обобщать в разных направлениях. Только вот проблема ли это? Мне кажется, что наоборот, проблема - это когда большое количество глубоких, самодостаточных понятий схлопывают в одно частное и немотивированное. Помните ту тему, где приводились примеры характеризации комплексных чисел?
Slav-27 привел в пример такую:

Slav-27 в сообщении #1562408 писал(а):

$\mathbb R$ и $\mathbb C$ -- это единственные полные связные локально компактные хаусдорфовы топологические поля.

Slav-27 в сообщении #1562408 писал(а):

UPD. Это верно даже если не требовать полноты (Понтрягин, Непрерывные группы, § 27).

Я честно скажу, обалдел, когда прочитал это. Посудите сами: полей немерено, топологических в целом тоже. Свойства связности, локальной компактности и хаусдорфовости по отдельности кажутся очень общими, но вместе они характеризуют $\mathbb R$ - объект, единственный с точностью до единственного изоморфизма! (ну по модулю того, что отличить $\mathbb R$ от $\mathbb C$ легко). Как настолько общие свойства в таком маленьком количестве характеризуют настолько уникальный объект? Это говорит о том, что математические теории очень "оптимальны". В том смысле, что математические объекты очень хорошо накладываются на самые разные ситуации, а математические теоремы очень хорошо экономят строчки рассуждений. Такие прецеденты, когда понятия огромной общности, которые могут быть еще и из самых разных разделов математики, неожиданным образом выстраиваются в сильные и короткие твиттер-подобного формата теоремы, говорят о том, что теория выстроена правильно. Этому можно удивляться, говорить насколько математика красива и т.д., но еще лучше бы понять причины такого положения дел. Мне кажется, что причины тому - категорные. Все хорошие математические понятия - это в некотором смысле универсальные объекты (я хотел бы, чтобы это все дело читалось немного поверх строк - я знаю, что не универсальными объектами едиными жива математика и теория категорий в частности, но очень многие конструкции, в названии которых нету словосочетания "универсальная стрелка" универсальны по своей природе, например, сопряженные функторы).

Таким образом, цель на самом деле не обобщить. Цель - выстроить самозамкнутую, самодостаточную теорию математического анализа, которая будет удовлетворять вот этим условиям про сильные теоремы и универсальность составляющих ее объектов. Необходимый и достаточный уровень общности возникнет сам собой. И вот потом, когда мы будем оперировать "настоящими" (т.е. "категорно-интерпретируемыми") производными и интегралами, не будет возникать вопросов, какое обобщение правильное, а какое нет. Потому что будет объект. А конкретная реализация, которую он будет принимать при тех или иных "внешних условиях" (т.е. в тех или иных частных случаях) - это уже будет дело десятое. Даже сама логика будет не в том, чтобы дать определение такой реализации, а в том, чтобы "вывести" определение такой реализации исходя из нужных нам условий.

[Padawan]

Никогда не понимал весь этот сыр-бор про то, что неопределённый интеграл есть множество всех первообразных. Я просто студентам говорю, что неопределённый интеграл и первообразная синонимы, и в любой фразе они взаимозаменяемы. Неопределённый интеграл определён с точностью до добавления константы, первообразная определена с точностью до добавления константы. "Функция $\sin x$ есть неопределённый интеграл для функции $\cos x$ на всей числовой прямой" - вполне корректное предложение на мой взгляд. Когда мы пишем равенство каких-то неопределённых интегралов вроде формулы интегрирования по частям, то её надо понимать так, что левая и правая часть отличаются на константу.

[krum]

Padawan в сообщении #1582725 писал(а):

Функция $\sin x$ есть неопределённый интеграл для функции $\cos x$ на всей числовой прямой" - вполне корректное предложение

меня вот учили, что неопределеннй интеграл это множество первообразных

[ewert]

Padawan в сообщении #1582725 писал(а):

Я просто студентам говорю, что неопределённый интеграл и первообразная синонимы, и в любой фразе они взаимозаменяемы. Неопределённый интеграл определён с точностью до добавления константы, первообразная определена с точностью до добавления константы.

А вот это уже полнейшее безобразие. И не только с формальной точки зрения (формально это звучит просто нелепо), но и с чисто практической. Потому что потом после интегралов будут ещё и дифуры. И если для интегралов как таковых все эти константы выглядят действительно как не пришей кобыле хвост, то потом, в дифурах, они станут уже абсолютно необходимы. Поэтому и при интегрировании дрессировать студентов следует в точности наоборот: дескать, ребята, как ни противно, привыкайте методично ставить эти константы, а не то буду немного раздражаться.

Да, насчёт формальностей:

Цитата:

Неопределённый интеграл определён с точностью до добавления константы, первообразная определена с точностью до добавления константы.

Здесь слова "с точностью до" имеют совершенно разный смысл. Не забывайте, что мы учим студентов не только математике как таковой; мы учим их (и это, возможно, даже важнее) просто думать. Нехорошо развращать детишек, приучая к неосмысленному словоупотреблению.

[Padawan]

Так и не понял, почему нельзя сказать, что неопределённый интеграл это функция

[krum]

потому, что это множество функций. По стандартному определению, во всяком случае

-- 24.02.2023, 10:05 --

Однако забавно следующее. Определение, которое я привел , стандартно для русскоязычной литературы. Но Валле-Пуссен в Курсе анализа бесконечномалых в одном месте говорит, что неопределенный интеграл это первообразная, а в другом, что это множество первообразныз. Лэнг в A First Course in CALCULUS однозначно рассматривает неопределенный интеграл как синоним слова первообразная.

-- 24.02.2023, 10:13 --

Удивительно, но и в русскоязычных текстах мешанины с этим понятием хватает.

-- 24.02.2023, 10:19 --

Образцовый пример этой путаницы содержится у Бесова

Цитата:

Определение 2. Операция перехода от данной функции к её
первообразной называется (неопределённым) интегрированием.
При этом функции $f(x)$ ставится в соответствие некоторая конкрет-
ная произвольно выбранная первообразная. Эта первообразная
называется неопределённым интегралом функции $f(x)$ и обозна-
чается символом $\int f(x)dx$. Функция $f$ при этом называется
подынтегральной.

(выделение мое)
читаем дальше:

Цитата:

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

где $F$ -- некоторая конкретная первообразная для $f$, а $C$ -- произвольная постоянная.

последнюю формулу можно с тем же успехом можно прочитать и так
$\int f(x)dx=\{F(x)+C\mid C\in\mathbb{R}\}.$
Похоже, что все сводится к каким-то несущественным вопросам личного восприятия, различия в котором реальных проблем не создают.