Кострикин. Курс алгебры, задачник

[svv]

Ну да. Смотрю на одно, вижу другое. Уже исправил.

[Sinoid]

Что-то мы запутались. Ладно, пусть будет 0. Вы, вообще-то. это сказали сразу:

Sinoid в сообщении #1577705 писал(а):

svv в сообщении #1577701 писал(а):

Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):

Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

Да, это вот тут написано.

А $C_{0}^{0}=1$?

-- 18.01.2023, 03:13 --

Это я просто уточняю. С другой задачей при таких значениях ерунда получается.

[svv]

По поводу задачи 16.19. Во-первых, введём нормальные обозначения.
Матрицу из 16.19 а) обозначим $A$, её элементы $a_{ij}$.
Матрицу из 16.19 б) обозначим $B$, её элементы $b_{ij}$.

По определению $A$ число $i$ — общий делитель чисел $j$ и $k$, если одновременно $a_{ij}=1$ и $a_{ik}=1$. Иными словами, если $a_{ij}a_{ik}=1$.
Тогда число общих делителей $j$ и $k$ — это сумма таких произведений по всем $i$:
$b_{jk}=\sum\limits_i a_{ij}a_{ik}$
Но это означает, что $B=A^TA$, откуда $\det B=(\det A)^2$.

-- Ср янв 18, 2023 00:28:27 --

Sinoid в сообщении #1577707 писал(а):

А $C_{0}^{0}=1$?

Да, $C_0^0=1$.

[Sinoid]

svv в сообщении #1577698 писал(а):

Более того, утверждение справедливо даже без условия, что либо $C$, либо $D$ невырождена.

Я так думаю, что это равенство они включили в задачу для того, чтобы единственным способом доказательства утверждения задачи оказалось блочное преобразование определителя $\begin{vmatrix}A & B\\ C & D \end{vmatrix}$. Они хотели продемонстрировать именно этот способ. Хотя без этого равенства я и не пробовал доказать.

-- 18.01.2023, 03:57 --

svv в сообщении #1577708 писал(а):

По поводу задачи 16.19. Во-первых, введём нормальные обозначения.
Матрицу из 16.19 а) обозначим $A$, её элементы $a_{ij}$.
Матрицу из 16.19 б) обозначим $B$, её элементы $b_{ij}$.

По определению $A$ число $i$ — общий делитель чисел $j$ и $k$, если одновременно $a_{ij}=1$ и $a_{ik}=1$. Иными словами, если $a_{ij}a_{ik}=1$.
Тогда число общих делителей $j$ и $k$ — это сумма таких произведений по всем $i$:
$b_{jk}=\sum\limits_i a_{ij}a_{ik}$
Но это означает, что $B=A^TA$, откуда $\det B=(\det A)^2$.

Ну, вот. Взяли и все решили. Даже мне ничего не оставили. Спасибо большое.

[svv]

16.16.
Вижу, Вы сами заметили: после удаления столбца матрица уже не будет верхнетреугольной.

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, в задаче 16.21:

под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$ понимается же определитель матрицы $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1-x_{1}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{n}}\\ \dfrac{1}{1-x_{2}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{n}}\\ \hdotsfor{4}\\ \dfrac{1}{1-x_{n}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{n}} \end{pmatrix}$ ? Просто я с таким обозначением матрицы еще никогда не сталкивался.

-- 21.01.2023, 18:43 --

svv в сообщении #1578003 писал(а):

16.16.
Вижу, Вы сами заметили: после удаления столбца матрица уже не будет верхнетреугольной.

Это вы по поводу моего удаленного решения? Да, я, было, разогнался и опубликовал решение, но потом увидел в нем косяк и удалил. Но все равно там в указании к решению этой задачи содержится косяк.

[svv]

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):

под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$ понимается же определитель матрицы $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1-x_{1}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{n}}\\\dfrac{1}{1-x_{2}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{n}}\\\hdotsfor{4}\\\dfrac{1}{1-x_{n}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{n}}\end{pmatrix}$ ?

Да.

-- Вс янв 22, 2023 02:39:23 --

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):

Но все равно там в указании к решению этой задачи содержится косяк.

Кстати, Вы случайно не составляете список этих косяков? Может, их можно кому-то передать, чтобы исправить в следующем издании?

Некоторые авторы-преподаватели даже "покупают" замечания за повышение балла на экзамене.

[Sinoid]

svv в сообщении #1578247 писал(а):

Да.

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):

под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$

А вот тут я немного подкосячил. Почему-то мне пришло в голову, что на приведенном скрине с задачей:

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):

Скажите, пожалуйста, в задаче 16.21:

используется такое обозначение матрицы, у которой вычисляется определитель.

svv в сообщении #1578247 писал(а):

Кстати, Вы случайно не составляете список этих косяков? Может, их можно кому-то передать, чтобы исправить в следующем издании?

Разумеется, я это все записываю отдельно с указанием рядом ссылки на пост с началом обсуждения здесь каждого косяка. Но куда/кому это все передать с целью использования при переиздании, как выходить на этих людей, я даже не представляю. Но все равно спасибо за этот совет.

[svv]

Sinoid в сообщении #1578326 писал(а):

Почему-то мне пришло в голову, что на приведенном скрине с задачей:
...
используется такое обозначение матрицы, у которой вычисляется определитель.

Так и используется, разве нет?

[Sinoid]

svv в сообщении #1578331 писал(а):

Так и используется, разве нет?

Не. Так у меня-то индексы принадлежат, еще и немножеству ($1,\ldots,\, n$ не заключено в фигурные скобки):

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):

$\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$

- полная чушь с моей стороны . В то время как по книге они равны тому-то и тому.

[Sinoid]

svv в сообщении #1577701 писал(а):

Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):

Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?

Вот тут написано, что это равно нулю. Вы, конечно, знаете, что $\binom n k=C^k_n$.

svv в сообщении #1577708 писал(а):

Да, $C_0^0=1$.

В указании к задаче 16.16:

сказано следующее:

У меня же, когда я это увидел, сразу возникло ощущение, что в этом указание что-то не то: уж больно крутое, сразу на 3, снижение порядка определителя за 1 ход. Я сделал выкладку в общем случае. Получилось, что там $n$ не -1, а +1; формула, выполнимость которой нужно показать для решения этой задачи, выглядит следующим образом: $D_{n+2}=(x-1)D_{n+1}$. Тут ввиду громоздкости выкладок в общем случае, я сделаю выкладк в каком-нибудь частном случае, например, в случае $n=3$:

(Оффтоп)

$D_{5}=\begin{vmatrix}C_{0}^{0} & C_{1}^{0} & C_{2}^{0} & C_{3}^{0} & C_{4}^{0}\\ C_{0}^{1} & C_{1}^{1} & C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1}\\ C_{0}^{2} & C_{1}^{2} & C_{2}^{2} & C_{3}^{2} & C_{4}^{2}\\ C_{0}^{3} & C_{1}^{3} & C_{2}^{3} & C_{3}^{3} & C_{4}^{3}\\ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & C_{1}^{1} & C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1}\\ 0 & 0 & C_{2}^{2} & C_{3}^{2} & C_{4}^{2}\\ 0 & 0 & 0 & C_{3}^{3} & C_{4}^{3}\\ 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & C_{2}^{1}-C_{1}^{1} & C_{3}^{1}-C_{2}^{1} & C_{4}^{1}-C_{3}^{1}\\ 0 & 0 & 1 & C_{3}^{2}-C_{2}^{2} & C_{4}^{2}-C_{3}^{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & C_{4}^{3}-C_{3}^{3}\\ 1 & x-1 & x^{2}-x & x^{3}-x^{2} & x^{4}-x^{3} \end{vmatrix}$
$=(x-1)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & C_{2}^{1} & C_{3}^{1}\\ 0 & 0 & 1 & C_{3}^{2}\\ 1 & x & x^{2} & x^{3} \end{vmatrix}=(x-1)D_{4}$

И, таким образом, получается, что нужно, как будто действительно, не -1, а +1. У меня такое впечатление, что эта опечатка была допущена не авторами книги, а в типографии. Если предположить, что плюс подтерся, туда-сюда, и стал на скрине похож на минус, так, смотря на скрин указания, непохоже, что так получилось. А что вы думаете по этому поводу? Это опечатка?

[svv]

Да, конечно, это опечатка. Причём она присутствует во всех изданиях книги. В издании 1987 года, например, нумерация задач совсем другая, а эта ошибка присутствует. Увы, пометка "издание третье, исправленное и дополненное" ничего не гарантирует.

[Sinoid]

Ага. Понятно. Спасибо большое.

[Sinoid]

Что-то я в растерянности, за что дальше браться. Заканчивал решать задачи по определителям, думал дальше решать задачи по матрицам, хотя по учебнику они и перед определителями. Начал отпечатывать очередной набранный в ТеХ'е определитель $n$-го порядка, но тут завонял горелым принтер. Теперь к определителям и матрицам получится вернуться лишь после визита мастера. Ну, и Бог с ним. По задачнику следующая после матриц тема - комплексные числа. А по учебнику комплексные числа - это уже расширение поля действительных чисел, соответственно, идет после главы Группы. Кольца. Поля. Так за что сейчас браться - решать про комплексные числа или читать главу Группы. Кольца. Поля? В принципе, я сейчас в состоянии прогнать по задачнику про комплексные числа, только потом, как преподносится это в учебнике, я не смогу прочитать еще.

[svv]

Sinoid в сообщении #1580403 писал(а):

Начал отпечатывать очередной набранный в ТеХ'е определитель $n$-го порядка, но тут завонял горелым принтер.

Не выдержал принтер такого высокого порядка определителя.

Как вариант — просто отдохните пару дней. Тоже очень полезно бывает.