2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ну да. Смотрю на одно, вижу другое. Уже исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:10 


03/06/12
2742
Что-то мы запутались. Ладно, пусть будет 0. Вы, вообще-то. это сказали сразу:
Sinoid в сообщении #1577705 писал(а):
svv в сообщении #1577701 писал(а):
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Да, это вот тут написано.


А $C_{0}^{0}=1$?

-- 18.01.2023, 03:13 --

Это я просто уточняю. С другой задачей при таких значениях ерунда получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:19 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
По поводу задачи 16.19. Во-первых, введём нормальные обозначения.
Матрицу из 16.19 а) обозначим $A$, её элементы $a_{ij}$.
Матрицу из 16.19 б) обозначим $B$, её элементы $b_{ij}$.

По определению $A$ число $i$ — общий делитель чисел $j$ и $k$, если одновременно $a_{ij}=1$ и $a_{ik}=1$. Иными словами, если $a_{ij}a_{ik}=1$.
Тогда число общих делителей $j$ и $k$ — это сумма таких произведений по всем $i$:
$b_{jk}=\sum\limits_i a_{ij}a_{ik}$
Но это означает, что $B=A^TA$, откуда $\det B=(\det A)^2$.

-- Ср янв 18, 2023 00:28:27 --

Sinoid в сообщении #1577707 писал(а):
А $C_{0}^{0}=1$?
Да, $C_0^0=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.01.2023, 02:32 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1577698 писал(а):
Более того, утверждение справедливо даже без условия, что либо $C$, либо $D$ невырождена.

Я так думаю, что это равенство они включили в задачу для того, чтобы единственным способом доказательства утверждения задачи оказалось блочное преобразование определителя $\begin{vmatrix}A & B\\
C & D
\end{vmatrix}$. Они хотели продемонстрировать именно этот способ. Хотя без этого равенства я и не пробовал доказать.

-- 18.01.2023, 03:57 --

svv в сообщении #1577708 писал(а):
По поводу задачи 16.19. Во-первых, введём нормальные обозначения.
Матрицу из 16.19 а) обозначим $A$, её элементы $a_{ij}$.
Матрицу из 16.19 б) обозначим $B$, её элементы $b_{ij}$.

По определению $A$ число $i$ — общий делитель чисел $j$ и $k$, если одновременно $a_{ij}=1$ и $a_{ik}=1$. Иными словами, если $a_{ij}a_{ik}=1$.
Тогда число общих делителей $j$ и $k$ — это сумма таких произведений по всем $i$:
$b_{jk}=\sum\limits_i a_{ij}a_{ik}$
Но это означает, что $B=A^TA$, откуда $\det B=(\det A)^2$.

Ну, вот. Взяли и все решили. Даже мне ничего не оставили. :D Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение20.01.2023, 00:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
16.16.
Вижу, Вы сами заметили: после удаления столбца матрица уже не будет верхнетреугольной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.01.2023, 17:33 


03/06/12
2742
Скажите, пожалуйста, в задаче 16.21:
Изображение
под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$ понимается же определитель матрицы $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1-x_{1}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{n}}\\
\dfrac{1}{1-x_{2}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{n}}\\
\hdotsfor{4}\\
\dfrac{1}{1-x_{n}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{n}}
\end{pmatrix}$ ? Просто я с таким обозначением матрицы еще никогда не сталкивался.

-- 21.01.2023, 18:43 --

svv в сообщении #1578003 писал(а):
16.16.
Вижу, Вы сами заметили: после удаления столбца матрица уже не будет верхнетреугольной.

Это вы по поводу моего удаленного решения? Да, я, было, разогнался и опубликовал решение, но потом увидел в нем косяк и удалил. Но все равно там в указании к решению этой задачи содержится косяк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.01.2023, 04:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):
под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$ понимается же определитель матрицы $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1-x_{1}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{1}y_{n}}\\\dfrac{1}{1-x_{2}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{2}y_{n}}\\\hdotsfor{4}\\\dfrac{1}{1-x_{n}y_{1}} & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{2}} & \ldots & \dfrac{1}{1-x_{n}y_{n}}\end{pmatrix}$ ?
Да.

-- Вс янв 22, 2023 02:39:23 --

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):
Но все равно там в указании к решению этой задачи содержится косяк.
Кстати, Вы случайно не составляете список этих косяков? Может, их можно кому-то передать, чтобы исправить в следующем издании?

Некоторые авторы-преподаватели даже "покупают" замечания за повышение балла на экзамене.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.01.2023, 22:07 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1578247 писал(а):
Да.

Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):
под $\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$

А вот тут я немного подкосячил. :facepalm: Почему-то мне пришло в голову, что на приведенном скрине с задачей:
Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):
Скажите, пожалуйста, в задаче 16.21:
Изображение

используется такое обозначение матрицы, у которой вычисляется определитель. :facepalm:
svv в сообщении #1578247 писал(а):
Кстати, Вы случайно не составляете список этих косяков? Может, их можно кому-то передать, чтобы исправить в следующем издании?

Разумеется, я это все записываю отдельно с указанием рядом ссылки на пост с началом обсуждения здесь каждого косяка. Но куда/кому это все передать с целью использования при переиздании, как выходить на этих людей, я даже не представляю. Но все равно спасибо за этот совет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.01.2023, 23:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1578326 писал(а):
Почему-то мне пришло в голову, что на приведенном скрине с задачей:
...
используется такое обозначение матрицы, у которой вычисляется определитель. :facepalm:
Так и используется, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.01.2023, 23:54 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1578331 писал(а):
Так и используется, разве нет?

Не. Так у меня-то индексы принадлежат, еще и немножеству ($1,\ldots,\, n$ не заключено в фигурные скобки):
Sinoid в сообщении #1578204 писал(а):
$\det\left(\dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}}\right)_{i,\, j\in1,\ldots,\, n}$

- полная чушь с моей стороны :facepalm: . В то время как по книге они равны тому-то и тому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение31.01.2023, 18:39 


03/06/12
2742
svv в сообщении #1577701 писал(а):
Sinoid в сообщении #1576617 писал(а):
Скажите, а вот если $0\leqslant i<j$ и $i,\,j$-натуральные числа, то $C_{i}^{j}=1$ же?
Вот тут написано, что это равно нулю. Вы, конечно, знаете, что $\binom n k=C^k_n$.

svv в сообщении #1577708 писал(а):
Да, $C_0^0=1$.

В указании к задаче 16.16:
Изображение
сказано следующее:
Изображение
У меня же, когда я это увидел, сразу возникло ощущение, что в этом указание что-то не то: уж больно крутое, сразу на 3, снижение порядка определителя за 1 ход. Я сделал выкладку в общем случае. Получилось, что там $n$ не -1, а +1; формула, выполнимость которой нужно показать для решения этой задачи, выглядит следующим образом: $D_{n+2}=(x-1)D_{n+1}$. Тут ввиду громоздкости выкладок в общем случае, я сделаю выкладк в каком-нибудь частном случае, например, в случае $n=3$:

(Оффтоп)

$D_{5}=\begin{vmatrix}C_{0}^{0} & C_{1}^{0} & C_{2}^{0} & C_{3}^{0} & C_{4}^{0}\\
C_{0}^{1} & C_{1}^{1} & C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1}\\
C_{0}^{2} & C_{1}^{2} & C_{2}^{2} & C_{3}^{2} & C_{4}^{2}\\
C_{0}^{3} & C_{1}^{3} & C_{2}^{3} & C_{3}^{3} & C_{4}^{3}\\
1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & C_{1}^{1} & C_{2}^{1} & C_{3}^{1} & C_{4}^{1}\\
0 & 0 & C_{2}^{2} & C_{3}^{2} & C_{4}^{2}\\
0 & 0 & 0 & C_{3}^{3} & C_{4}^{3}\\
1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & C_{2}^{1}-C_{1}^{1} & C_{3}^{1}-C_{2}^{1} & C_{4}^{1}-C_{3}^{1}\\
0 & 0 & 1 & C_{3}^{2}-C_{2}^{2} & C_{4}^{2}-C_{3}^{2}\\
0 & 0 & 0 & 1 & C_{4}^{3}-C_{3}^{3}\\
1 & x-1 & x^{2}-x & x^{3}-x^{2} & x^{4}-x^{3}
\end{vmatrix}$
$=(x-1)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & C_{2}^{1} & C_{3}^{1}\\
0 & 0 & 1 & C_{3}^{2}\\
1 & x & x^{2} & x^{3}
\end{vmatrix}=(x-1)D_{4}$

И, таким образом, получается, что нужно, как будто действительно, не -1, а +1. У меня такое впечатление, что эта опечатка была допущена не авторами книги, а в типографии. Если предположить, что плюс подтерся, туда-сюда, и стал на скрине похож на минус, так, смотря на скрин указания, непохоже, что так получилось. А что вы думаете по этому поводу? Это опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение01.02.2023, 07:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, конечно, это опечатка. Причём она присутствует во всех изданиях книги. В издании 1987 года, например, нумерация задач совсем другая, а эта ошибка присутствует. Увы, пометка "издание третье, исправленное и дополненное" ничего не гарантирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение01.02.2023, 17:23 


03/06/12
2742
Ага. Понятно. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.02.2023, 00:54 


03/06/12
2742
Что-то я в растерянности, за что дальше браться. Заканчивал решать задачи по определителям, думал дальше решать задачи по матрицам, хотя по учебнику они и перед определителями. Начал отпечатывать очередной набранный в ТеХ'е определитель $n$-го порядка, но тут завонял горелым принтер. Теперь к определителям и матрицам получится вернуться лишь после визита мастера. Ну, и Бог с ним. По задачнику следующая после матриц тема - комплексные числа. А по учебнику комплексные числа - это уже расширение поля действительных чисел, соответственно, идет после главы Группы. Кольца. Поля. Так за что сейчас браться - решать про комплексные числа или читать главу Группы. Кольца. Поля? В принципе, я сейчас в состоянии прогнать по задачнику про комплексные числа, только потом, как преподносится это в учебнике, я не смогу прочитать еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение06.02.2023, 01:11 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1580403 писал(а):
Начал отпечатывать очередной набранный в ТеХ'е определитель $n$-го порядка, но тут завонял горелым принтер.
Не выдержал принтер такого высокого порядка определителя.

Как вариант — просто отдохните пару дней. Тоже очень полезно бывает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group