Еще один вариант для кубов

[mihaild]

Valprim, что у вас тут $z$ и $y$? То, что $\frac{z}{z - y} - \frac{y}{z - y} = 1$ всё-таки правда и довольно очевидно.

[Valprim]

mihaild в сообщении #1577608 писал(а):

что у вас тут $z$ и $y$?

$z=9 , y=1, z-y=8$
Разделив правую часть уравнения (1) на $z-y$, должны разделить и левую часть на это же число. То есть,

$\frac {z^3}{z-y} -\frac {y^3}{z-y}=(\frac {z}{\sqrt[3]{z-y}})^3 -(\frac {y}{\sqrt[3]{z-y}})^3$

Получим $z_1=\frac {z}{\sqrt[3]{z-y}},\quad y_1=\frac {y}{\sqrt[3]{z-y}}$

Откуда понятно, что $z_1-y_1=\sqrt[3]{(z-y)^2}>1$

[mihaild]

Valprim, у вас определение $y_1$ и $z_1$ отличаются от авторских.

[Valprim]

mihaild в сообщении #1577699 писал(а):

у вас определение $y_1$ и $z_1$ отличаются от авторских.

Согласен. Действительно, для авторских определений разность дробных чисел $z_1-y_1=1$. Но, не понятно, что это даёт для доказательства?

[mihaild]

Valprim в сообщении #1577720 писал(а):

Но, не понятно, что это даёт для доказательства?

В этом вы не одиноки, мне тоже непонятно.

[dick]

Опровергли равенство (3.3), поскольку $a_1$ не может делиться на $x_1$.

А что касается вопроса об отсутствии решения для всех кубов $(z-y)>1$, если нет решения для куба $(z-y)=1$, то я так и не добился от Вас объяснения, почему? При том, что все эти кубы получаются из единицы умножением $x,y,z$ на натуральное число.

[mihaild]

dick в сообщении #1578404 писал(а):

Опровергли равенство (3.3), поскольку $a_1$ не может делиться на $x_1$.

В равенстве (3.3) $a_1$ вообще нет.

dick в сообщении #1578404 писал(а):

А что касается вопроса об отсутствии решения для всех кубов $(z-y)>1$, если нет решения для куба $(z-y)=1$, то я так и не добился от Вас объяснения, почему?

Достаточно того, что Вы этого не доказали. Утверждения вида "если нет решений вида Ы, то нет и решений вида Ъ" надо доказывать. Например показав, что из произвольного решения вида Ъ можно сделать решение вида Ы (или любым другим методом). Этого сделано не было.
В данном случае Ы = "решения с $z - y = 1$", Ъ = "решения с $z - y > 1$".

[Mikhail_K]

dick в сообщении #1578404 писал(а):

А что касается вопроса об отсутствии решения для всех кубов $(z-y)>1$, если нет решения для куба $(z-y)=1$, то я так и не добился от Вас объяснения, почему?

Найдите ошибку в таком рассуждении.
Докажем, что уравнение $x+y=z$ не имеет решений в натуральных числах (как бы странно это ни звучало).
Если у нас есть какое-то решение $(x,y,z)$ этого уравнения с $z=1$, то из него можно получить решение с любым $z=a>1$, просто умножив все три числа на $a$.
Но уравнение $x+y=z$ не имеет решений в натуральных числах с $z=1$, так как сумма $x+y$ двух натуральных чисел не может быть меньше двух.
Значит, уравнение $x+y=z$ и вообще не имеет решений в натуральных числах.

В Вашем решении видится такой же логический пробел.

[dick]

Mikhail_K

На всякий случай уточню, Вы имеете ввиду, что случай $(z-y)=1$ должен быть исключен из списка претендентов на решение (1)?
Или Вы вместе с mihaild считаете что если $(z-y)=1$ это часть примитивного решения, то из этого не следует, что все $(z-y)>1$ являются непримитивными решениями? Или то и другое вместе?

[Valprim]

Если дробные

$\frac {z_1}{z_1-y_1}; \frac {y_1}{z_1-y_1}; \frac {x_1}{z_1-y_1}$

не поставляют решения, то не поставляют его и целые $(x_1,y_1.z_1)$.
Это тривиально. Остаётся доказать, что дробные то! и не поставляют.

[dick]

Доказать что уравнение: $x^n+y^n=z^n$ (1), не имеет решений для натуральных $n>2$ и натуральных, взаимно простых $x, y, z$.
Предположим, что имеются натуральные, взаимно простые $x,y,z$, удовлетворяющие условию (1) для $n=3$, причем $x,z$ –нечетные, а $y$-четное число.
Пусть $y=x+k_1$, $z=x+k_2$ , где $k_1,k_2$ - натуральные числа.
Тогда: $(x +k_2)^3 - (x +k_1)^3= x^3$ ;
Или: $x^3 - 3( k_2 - k_1)x^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)x - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (2);
Равенство (2) представляет собой приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами.
В общем виде приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, имеющее корень, может быть записано так:
$(x-x_1)^3+a_1(x-x_1)^2+a_2(x-x_1)=0$ (3);
Где $a_1,a_2,x_1$- натуральные числа, причем $x_1$ – корень уравнения.
Раскрывая скобки, получим:
$x^3-(3x_1-a_1)x^2+(3x_1^2-2a_1x_1+a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ или
$x^3-(3x_1-a_1)x^2-(2a_1x_1-3x_1^2-a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ (4);
Уравнение (2) имеет корень, если является частным случаем (4), то есть, при некоторых условиях все коэффициенты (2) и (4) равны.
Выясним эти условия, приравнивая коэффициенты:
$(k_2 - k_1)=x_1-a_1/3$ (5.1); $(k_2^2 - k_1^2)=2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3$ (5.2);
$(k_2^3 - k_1^3)=x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1$ (5.3).
Заметим, что поскольку $x_1$, $(k_2 - k_1)$, $(k_2^2 - k_1^2)$ числа нечетные, $a_1$ и $a_2$ – четные числа и следовательно, $a_1$ и $a_2$ делятся на 6.
Далее, для (5.2): $(k_2 + k_1)= (2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3)/(x_1-a_1/3)$ (6.1).
После деления уголком находим остаток не содержащий $x_1$: $a_1^2/9-a_2/3$ (6.2).
Для (5.3): $(k_2^2+k_1k_2+ k_1^2)=(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)/(x_1-a_1/3)$ (6.3).
Соответствующий условный остаток будет: $2a_1^3/27-a_1a_2/3$ (6.4).
Поскольку (6.2) и (6.4) должны делиться нацело на $(x_1-a_1/3)$, получим:
$a_2=3a_1^2/9-3A(x_1-a_1/3)$ (6.5); $a_2=2a_1^2/9-3B(x_1-a_1/3)/a_1$ (6.6), где $A,B$ четные.
Тогда: $(x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=a_1^2/9=(a_1/3)^2$ (7).

Здесь $a_1/3$ это то, что мы назвали $a$ ($x+y=z+a$).
Из (7) следует что $a^2$ делится на $(z-y)$, но это невозможно, потому что на $(z-y)$ делится только $a^3$
($a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$). Значит $(z-y)=1$.

[mihaild]

dick в сообщении #1580368 писал(а):

Здесь $a_1/3$ это то, что мы назвали $a$ ($x+y=z+a$).

Это может и так, но надо доказать, потому что определение у $a_1$ другое.

dick в сообщении #1580368 писал(а):

Из (7) следует что $a^2$ делится на $(z-y)$, но это невозможно, потому что на $(z-y)$ делится только $a^3$

В (7) нет ни $a$, ни $z - y$, так что откуда берется этот переход - непонятно.

[dick]

$k_2-k_1=x_1-a_1/3$ (5.1);
Но $k_2-k_1=(z-y)$, а $x_1$ это $x$ в точке решения.
Отсюда следует что $a=a_1/3$.

[Valprim]

dick в сообщении #1580368 писал(а):

Тогда: $(x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=a_1^2/9=(a_1/3)^2$ (7).

Уравнение (7) приводится к виду:
$(x_1-a_1/3)(a_1A-B)=a_1^3/27=(a_1/3)^3$ (7).
Поэтому вывод $(z-y)=1$ не доказан.
Кроме того, в уравнении (3) $a_1, a_2$ в рассматриваемой точке могут иметь любые произвольные значения. Поэтому нет и основы для доказательства.

[Valprim]

Понятно, что $B/a_1$ - целое число и в приведенном уравнении $a_1$ можно сократить. Но если $a_1/3$ равно кубу, то противоречие исчезает.