Два квадраты в единичном квадрате

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1574255 писал(а):

Теперь осталось показать, что точка $C$ – середина диагонали.

Докажем, что точка $C$ – середина квадрата. Для этого достаточно показать, что $BC=CE$, для чего достаточно показать, что $CH$ – средняя линия прямоугольной трапеции $PBEF$ или что $h=\frac{a+b}{2}$.
Из равенства треугольников $BPD$ и $DEF$ имеем $BP=DF=a,\quad PD=EF=b$. Так же очевидно, что $PH=CH=h$. Используя теорему косинусов для треугольников $BPC$ и $CED$, а также равенство $BC+CE=BE=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ выпишем уравнения для $h$:

$f(h)=\sqrt{2h^2+2(h-a)^2} \pm \sqrt{2h^2+2(b-h)^2-(a^2+b^2)}-\sqrt{a^2+b^2}=0$

Область определения $f(h)$: $h \in \left(-\infty...\frac{b-a}2\right] \cup \left[\frac{a+b}2...+\infty\right)$. На каждом из этих кусков $f(h)$ монотонна, и поэтому не может иметь более 2-х действительных корней. Убеждаемся, что $h_1=\frac{a+b}2, \quad h_2=\frac{a(b-a)}{2b}$. Но должно выполняться $a\leq h\leq b$ поэтому остается лишь $h=\frac{a+b}2$. Ч.Т.Д.

[Padawan]

Rak so dna
Четырёхугольник $PBCD$ - вписанный в окружность (его углы $P$ и $C$ - прямые), поэтому угол $BPC$ равен углу $DPC$, как опирающиеся на равные хорды.

-- Пн дек 19, 2022 19:27:16 --

TOTAL, собственно, об этом и писал...

[Rak so dna]

Padawan откуда мы знаем, что угол $C$ прямой?

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #157441А5 писал(а):

Из равенства треугольников $BPD$ и $DEF$ имеем $BP=DF=a,\quad PD=EF=b$.

Поздравляю! Если уж заметили равенство этих треугольников, то прилепите ещё два таких треугольника к квадрату сверху. Получится картинка из теоремы Пифагора, на ней всё симметрично относительно центра. А равенство вписанных углов, опирающихся на равные дуги, можете продолжать считать иллюзией.

[Rak so dna]

TOTAL для вас

TOTAL в сообщении #1574279 писал(а):

Т.е. конкретных замечаний нет.

Все в порядке, успокойтесь, дайте мне с Padawan побеседовать.

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574425 писал(а):

TOTAL для вас

TOTAL в сообщении #1574279 писал(а):

Т.е. конкретных замечаний нет.

Все в порядке, успокойтесь, дайте мне с Padawan побеседовать.

Точка $C$ - это центр квадрата, поэтому угол прямой. Повторяю, точка $C$ - центр квадрата, а не пересечение чего-то там. Потом через $P$ и $C$ провели прямую, она оказалась биссектрисой.

[Rak so dna]

TOTAL в сообщении #1574427 писал(а):

...она оказалась биссектрисой.

После этого Вам надо добавить: "Зуб даю!". После чего замечаний вообще не останется...

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574428 писал(а):

TOTAL в сообщении #1574427 писал(а):

...она оказалась биссектрисой.

После этого Вам надо добавить: "Зуб даю!". После чего замечаний вообще не останется...

А биссектрисой она оказалась потому, что вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. "Зуб, даю!"

[Rak so dna]

TOTAL наконец-то я Вас понял. Вы сначала обозначили центр, а потом доказали, что $PC$ – это биссектриса. Сложно было въехать, т.к. всю тему $PC$ была биссектрисой изначально (доходил до места в Вашем решении где $C$ – центр квадрата и как бы всё...). Прошу прощения за сарказм.

(Оффтоп)

Больше я Ваши решения без четкой формулировки условия разбирать не буду.

[Padawan]

Rak so dna
Разбор чужого решения - это тоже творческая деятельность. А не формальные придирки "Это не доказано".

[Markiyan Hirnyk]

TOTAL
Rak so dna Спасибо. Вторая часть задачи состоит в доказательстве неравенства $a+b\le1$для двух кубов с ребрами длин $a$ и $b$ и с непересекающимися внутренностями, которые содержатся в единичном кубе. В порядке ума холодных наблюдений и сердца горестных замет вновь повторю, что научная этика советует придерживаться обозначений вопроса.

[Rak so dna]

Padawan не буду спорить – я не преподаватель.

Padawan в сообщении #1574437 писал(а):

А не формальные придирки "Это не доказано".

Ну, а как реагировать, когда просто идет утверждение "$C$ – это центр квадрата" ? Почему не написать "Пусть $C$ – центр квадрата. Докажем, что $PC$ – биссектриса." – и всё... Никаких вопросов... Я не привык к ситуации, когда умалчиваются изменения условия задачи. Я упорно считал, что $PC$ – это биссектриса по условию (как это было всю предыдущую тему) и просто не понимал происходящего (уже начал думать что про эту биссектрису существует какая-то всем настолько известная теорема, что ее название даже неприлично упоминать – из меня, прям скажем, никакой геометр, поэтому такое вполне возможно).

[miflin]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1574438 писал(а):

Вторая часть задачи состоит в доказательстве неравенства $a+b\le1$для двух кубов с ребрами длин $a$ и $b$ и с непересекающимися внутренностями, которые содержатся в единичном кубе.

Я правильно понимаю, что Вы намекаете участникам продолжить рассмотрение задачи уже для трехмерного случая?
Если да, то

Markiyan Hirnyk в сообщении #1574438 писал(а):

повторю, что научная этика советует придерживаться обозначений вопроса.

А правила форума советуют выложить собственные наработки ТС, поскольку

Ende в сообщении #1574185 писал(а):

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Markiyan Hirnyk]

miflin
Я пытался дать оценку (пусть более слабую) средствами компьютерной алгебры и в двух и в трех измерениях.

[juna]

TOTAL в сообщении #1573933 писал(а):

Больший красный квадратик со стороной $A$ нарастим двумя зелёными полями шириной $B$ до квадратика со стороной $A+B$. Нетрудно видеть, что нигде в зелёных полях нельзя разместить квадрат толще $B$. Доказано.

Может я чего-то не вижу, но, по-моему, этого уже достаточно для доказательства. Стороны квадратов однозначно выражаются через диагонали: $\sqrt{2}a, \sqrt{2}b$. Вращаем один из вложенных квадратов до совмещения сторон с внешним квадратом. Тогда диагонали вложенных $\sqrt{2}a+\sqrt{2}b<\sqrt{2}\Rightarrow a+b<1$