Два квадраты в единичном квадрате

[dx_dyf]

Мне кажется надо рассмотреть три варианта:

$ \begin{tikzpicture} \filldraw[blue!40!white, draw=black] (0.5,0) -- (3.5,0) -- (3.5,3) -- (0.5,3) -- cycle; \filldraw[red!40!white, draw=black] (1,3) -- (2,3) -- (2,4) -- (1,4) -- cycle; \draw (0.3,1.8) node{a} \draw (0.8,3.5) node{b} \draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (4,4) -- (0,4) -- cycle; \filldraw[blue!40!white, draw=black] (5.5,1) -- (8.5,0) -- (9.5,3) -- (6.5,4) -- cycle; \filldraw[red!40!white, draw=black] (8.75,4) -- (8.75,3.25) -- (9.5,3.25) --(9.5,4)-- cycle; \draw (5.8,2.5) node{a} \draw (8.5,3.7) node{b} \draw[thick] (5.5,0) -- (9.5,0) -- (9.5,4) -- (5.5,4) -- cycle; \draw[thick] (11,0) -- (15,0) -- (15,4) -- (11,4) -- cycle; \filldraw[blue!40!white, draw=black] (11,1) -- (14,0) -- (15,3) -- (12,4) -- cycle; \filldraw[red!40!white, draw=black] (14.75,3.1) -- (15,3.75) -- (14.25,4) -- (14,3.35) -- cycle; \draw (11.3,2.5) node{a} \draw (13.9,3.7) node{b} \end{tikzpicture} $

[TOTAL]

Совсем просто через подобие $PBC$ и $QBC$.
$\displaystyle BC*BC=PC*QC$
$\displaystyl PC+QC \ge 2\sqrt{PC*QC}=2*BC$

[Rak so dna]

TOTAL круто. Теперь осталось показать, что точка $C$ – середина диагонали.

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574255 писал(а):

Теперь осталось показать, что точка $C$ – середина диагонали.

Справимся.
Нижнюю вершину квадрата обозначаем $D$. На $BD$ как на диаметре строим окружность. Точка $C$ (центр квадрата )лежит на этой окружности, дуги $BC$ и $DC$ равные. Этого хватит с избытком.

[Rak so dna]

TOTAL в сообщении #1574263 писал(а):

Точка $C$ (центр квадрата )лежит на этой окружности

это и надо доказать.

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574264 писал(а):

TOTAL в сообщении #1574263 писал(а):

Точка $C$ (центр квадрата )лежит на этой окружности

это и надо доказать.

Угол $C$ прямой и опирается на диаметр, он не может не лежать на окружности. Это знают даже все.

[Rak so dna]

Что такое

TOTAL в сообщении #1574266 писал(а):

Угол $C$

? Почему он прямой? Почему точка $C$ обязана лежать на построенной Вами окружности?

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574267 писал(а):

Что такое

TOTAL в сообщении #1574266 писал(а):

Угол $C$

? Почему он прямой? Почему точка $C$ обязана лежать на построенной Вами окружности?

Окружность построена на диаметре $BD$. Точка $C$ - центр квадрата. Угол $BCD$ прямой, поэтому точка $C$ лежит на окружности.

[Rak so dna]

TOTAL в сообщении #1574268 писал(а):

Точка $C$ - центр квадрата

Это и нужно показать...

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574270 писал(а):

TOTAL в сообщении #1574268 писал(а):

Точка $C$ - центр квадрата

Это и нужно показать...

Что у квадрата есть центр, доказывать не нужно. А что через центр проходят и диагональ и биссектриса, доказано уже было, повторю.
Нижнюю вершину квадрата обозначаем $D$. На $BD$ как на диаметре строим окружность. Точка $C$ (центр квадрата ) лежит на этой окружности, дуги $BC$ и $DC$ равные. Этого хватит с избытком.

[Rak so dna]

TOTAL если мы знаем, что центр квадрата – точка $C$, то и доказывать нечего. Итак понятно, что она – середина диагонали. Но я не вижу доказательства того, что $C$ – это центр квадрата. Как изменится Ваше "доказательство", если мы "немного повернём" $PC$ вокруг точки $P$?

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574273 писал(а):

Как изменится Ваше "доказательство", если мы "немного повернём" $PC$ вокруг точки $P$?

Проведена биссектриса прямого угла (синяя), она всегда биссектриса, её вообще не вертят.

[Rak so dna]

TOTAL да хотите вертите, хотите не вертите – я пас. Можете и дальше прибывать в иллюзии что всё доказали.

[TOTAL]

Rak so dna в сообщении #1574278 писал(а):

TOTAL да хотите вертите, хотите не вертите – я пас. Можете и дальше прибывать в иллюзии что всё доказали.

Т.е. конкретных замечаний нет.

[Утундрий]

Расположим квадратики в противоположном углах единичного квадрата, что даст нам $a+b=1$. Точку касания квадратиков обозначим $Q$. Теперь провернём один из квадратиков, сохраняя касание с единичном квадратом. Убедимся, что точка $Q$ оказывается внутри повёрнутого квадрата (я сделал это, вычислять некое векторное произведение). Вот, собственно, и всё.