2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение16.12.2022, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2319
МО
TOTAL в сообщении #1574003 писал(а):
Биссектриса прямого угла выныривает из квадрата в точке с равными координатами (относительно вершины прямого угла) $\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

Только, все-таки, координата будет $L\dotnet\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)}, где $L$ сторона квадрата.
Ну да, дальше понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12514
Вышеупомянутое тригонометрическое неравенство вылезло у меня из сравнения квадрата, поставленного в угол (за плохое поведение?), и квадрата, свободно расположившегося на диагонали. Но как разобраться с квадратами, касающимися треугольника только вершинами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 03:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2319
МО
Когда квадрат в углу, треугольник можно уменьшить до касания гипотенузой вершины квадрата. В такой конфигурации квадрат большего размера выйдет за пределы, так как точка пересечения с биссектрисой прямого угла отдалится, в т.ч. в случае "выхода" из угла, для чего и нужно неравенство.
Я так "расшифровал" логику уважаемого TOTAL.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 06:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Изображение
Квадрат придвинули к катетам. Синяя часть биссектрисы уже не короче диагонали квадрата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 08:22 


11/07/16
825
TOTAL
Извините,
Цитата:
Квадрат придвинули к катетам

-- это не математика. Голословно, нечетко и неясно. Все же спасибо за Ваш энтузиазм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Markiyan Hirnyk в сообщении #1574131 писал(а):
Цитата:
Квадрат придвинули к катетам
-- это не математика. Голословно, нечетко и неясно. Все же спасибо за Ваш энтузиазм.
Теперь, когда утверждение доказано, в качестве мастер-класса приведите здесь свою версию - математическую, неголословную, чёткую, ясную и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 11:42 


11/07/16
825
TOTAL
Никакое доказательство этого геометрического неравенства мне неизвестно, поэтому и задал вопрос на этом форуме.

PS. Н. Ю. Нецветаев задал этот вопрос на студенческом конкурсе СПбГУ, не на олимпиаде, без ответа. Могу привести отснятую страницу через Дропбокс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
560
so dna
Изображение
по Т. синусов:
$\frac{F}{\sin{\varphi}}=\frac{a-F\cos{x}}{\cos{(\varphi-x)}}$

$F=\frac{a\sin{\varphi}}{\cos{(\varphi-x)}+\sin{\varphi}\cos{x}}$

Осталось найти точку максимума $F(x)$ при $x\in [0..\varphi]$

или точку минимума для $f(x)=\cos{(\varphi-x)}+\sin{\varphi}\cos{x}$, которая для $x\in [0..\varphi]$ равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Rak so dna в сообщении #1574173 писал(а):
Осталось найти точку максимума $F(x)$ при $x\in [0..\varphi]$
С какой целью? Поскольку диагональ квадрата не длиннее биссектрисы прямого угла, то утверждение задачи доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12514
TOTAL
Значит, всё там монотонно. Занятный факт "про то как хитрый квадрат площади в прямоугольном треугольнике набирал". Запомню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
560
so dna
TOTAL я не оспариваю Ваше решение. Просто некоторым оно было не очевидно, в том числе и мне.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.12.2022, 17:16 
Админ форума


02/02/19
2516
Markiyan Hirnyk в сообщении #1574149 писал(а):
Никакое доказательство этого геометрического неравенства мне неизвестно, поэтому и задал вопрос на этом форуме.
Раз так, то переехали.
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: решение неизвестно топик-стартеру.

 !  Markiyan Hirnyk, не размещайте в олимпиадных разделах задачи, решение которых Вам неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Изображение
Уф.
Квадратики прислонили к противоположным углам внешнего квадрата.
Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.
И верхнее зелёненькое не длиннее верхнего синенького.
А ведь иногда есть ещё и жёлтенькое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
560
so dna
TOTAL в сообщении #1574194 писал(а):
Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.
о неочевидности этого я и говорил (как-то не заметил, что в теме уже всё посчитали). Мое решение сводится к проверке $f(\varphi)\geq f(0)$, что равносильно Вашему
TOTAL в сообщении #1574003 писал(а):
$\frac{1+\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)+\cos(A)} \ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два квадраты в единичном квадрате
Сообщение17.12.2022, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
Rak so dna в сообщении #1574215 писал(а):
TOTAL в сообщении #1574194 писал(а):
Нижнее зелёненькое не длиннее нижнего синенького.
о неочевидности этого я и говорил (как-то не заметил, что в теме уже всё посчитали).

Сейчас соберусь с силами и изображу доказательство этого геометрически, без формулы. :mrgreen:
Изображение

$PA=AQ$
Сравниваем половинки синего и зелёного, это жирные стороны треугольника $ABC$.
Так как угол $x$ больше угла $y$, $\angle ABC=\pi/4+x > \pi/4+y = \angle BAC$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group