RIP Для арифметической функции
![$\ln \varphi(n)$ $\ln \varphi(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/6/d76bac0a7e97c1b92a226437b02fb6b582.png)
значения:
![$A(n)=\ln(n)+O(1),D(n)=0,5\ln^2(n)+O(1)$ $A(n)=\ln(n)+O(1),D(n)=0,5\ln^2(n)+O(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d232b877dfec9a744c8a991672bb3282.png)
В монографии "Вероятностные методы теории чисел"
https://docs.yandex.ru/docs/view?tm=166 ... 26nosw%3D1 на стр 91 приведена формула для дисперсии сильно аддитивной функции
![$B^2(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$ $B^2(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/c/3cc4d5887d01210c0f8056f98fb72cb482.png)
. На основании этой формулы определял эту дисперсию, а формула оказалась ошибочной. Это подтверждается на 93 стр., где ошибочно определяется, что
![$B(n) \sim \ln(n)/\sqrt{2}$ $B(n) \sim \ln(n)/\sqrt{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/0/a603ded76dfc56b4edcd38fd25a31cdf82.png)
для аддитивной арифметической функции
![$f(m)=\ln(m)$ $f(m)=\ln(m)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05f03343b8298f4072844fe271d095d482.png)
.
Я смотрел также монографию Gérald Tenenbaum "Введение в теорию чисел" и там тоже неправильная формула для дисперсии аддитивной арифметической функции на стр 448 (3.10) и (3.11). Наверно дело в том, что формула эвристическая и основана, как сказано, на асимптотической независимости случайных величин для абстрактного вероятностного пространства. Вообщем я так и не нашел общей правильной формулы для определения дисперсии аддитивной арифметической функции. Может подскажите?
Сделал оценку сильно аддитивной функции:
![$\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})=\sum_{p|n} \ln (1+1/(p-1))=$ $\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})=\sum_{p|n} \ln (1+1/(p-1))=$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/5/875cf1e93abb9fd8916288a514b01f0182.png)
![$\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1/(p-1)^2)=\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1)$ $\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1/(p-1)^2)=\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/7/8b7e166194ffddc898b215317945753a82.png)
.
Далее, используя Вашу формулу:
![$\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})=\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1) \leq \sum_{p \leq \ln(n)}1/(p-1)+O(1)=$ $\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})=\sum_{p|n} 1/(p-1)+O(1) \leq \sum_{p \leq \ln(n)}1/(p-1)+O(1)=$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80c203f4519a3bfc7371a82718fe86a682.png)
![$\ln\ln\ln\ln(n)+O(1)$ $\ln\ln\ln\ln(n)+O(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/4/f3499dc496c368ecc7df135edda5c24d82.png)
Однако, оценка среднего значения сильно аддитивной функции
![$\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})$ $\sum_{p|n} \ln(\frac {p}{p-1})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/e/62e43d1171777648e761248d011f45ff82.png)
дает
![$O(1)$ $O(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/2/1e2f931ee6c0b8e7a51a7b0d123d514f82.png)
, поэтому если ее дисперсия также ограничена или является медленно растущей функцией, то оценка "почти всюду" не имеет нормального порядка относительно среднего.
Следовательно, в этом случае оценка "почти всюду" не состоятельна?