Асимптотическая оценка суммы

[vicvolf]

RIP в сообщении #1594002 писал(а):

И предел в общем случае может не существовать.

А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?

[RIP]

vicvolf в сообщении #1594197 писал(а):

А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?

Если никаких условий на функцию не налагать, то $E[f,n]$ может равняться чему угодно, например $E[f,n]=(-1)^n$ при $f(n)=(2n-1)(-1)^n$.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1594444 писал(а):

vicvolf в сообщении #1594197 писал(а):

А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?

Если никаких условий на функцию не налагать, то $E[f,n]$ может равняться чему угодно, например $E[f,n]=(-1)^n$ при $f(n)=(2n-1)(-1)^n$.

Спасибо за пример. По поводу дополнительных условий на арифметическую функцию, то достаточно ее ограниченности, чтобы ее среднее значение было ограничено и имело предел при $n \to \infty$. При условии неограниченности арифметической функции, мне кажется, для этого потребуется ее сильная аддитивность или сильная мультипликативность?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1594513 писал(а):

При условии неограниченности арифметической функции, мне кажется, для этого потребуется ее сильная аддитивность или сильная мультипликативность?

Для существования предела среднего значения арифметической функции при $n \to \infty$ требуется также ограниченность ее среднего значения. При этом, мне кажется, не требуется сильная аддитивность или мультипликативность самой арифметической функции. Достаточно только ее аддитивность или мультипликативность?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1594513 писал(а):

По поводу дополнительных условий на арифметическую функцию, то достаточно ее ограниченности, чтобы ее среднее значение было ограничено и имело предел при $n \to \infty$.

Первое доказывается просто. Пусть арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)| \leq C$, тогда $\frac{1}{n}\sum_{m\leq n}|f(m)| \leq \frac {Cn}{n}=C$, т.е. $f(m)$ - ограничена в среднем.

Попытка доказательства второго.
В отношении существования предела среднего значения, то он может не существовать, если среднее значение арифметической функции колеблется, не затухая.
Покажем, что этого не будет, если арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)| \leq C$.
В этом случае обозначим $\sum_{m \leq n}|f(m)|=A$, тогда $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|\leq A+C$.
Поэтому $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|- \sum_{m \leq n}|f(m)| \leq C$ и разница средних значений $d(n)=E[f,n+1]-E[f,n]=\frac{1}{n+1}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| $$\leq \frac{1}{n}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| \leq \frac {C}{n}$.
При $n \to \infty$ значение $d(n) \to 0$, поэтому колебания среднего значения арифметической функции, в этом случае, затухают.

Доказано ли существование предела среднего значения арифметической функции в случае ее ограниченности? Если нет, то как доказать?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1594997 писал(а):

Доказано ли существование предела среднего значения арифметической функции в случае ее ограниченности? Если нет, то как доказать?

Вопрос снимается. Доказательство следует из определения предела последовательности.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1594585 писал(а):

Для существования предела среднего значения арифметической функции при $n \to \infty$ требуется также ограниченность ее среднего значения. При этом, мне кажется, не требуется сильная аддитивность или мультипликативность самой арифметической функции. Достаточно только ее аддитивность или мультипликативность?

Попробую доказать, что если $f(m).m=1,...,m$ аддитивная функция, ограниченная в среднем, то существует предел ее среднего значения $\lim_{n \to \infty}E[f,n]$.

Доказательство

Если $f(m).m=1,...,m$ аддитивная функция, то асимптотика ее среднего значения при $n \to \infty$ определяется по формуле:
$A[f,n]=\sum_{p^a \leq n}{\frac{f(p^a)}{p^a}}=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p^2 \leq n}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...$.(1)

Если $f(m).m=1,...,m$ ограничена в среднем $B$, то $A[f,n] \leq B$ при $n \to \infty$ и на основании (1) получаем:
$A[f,n]=\sum_{p^a \leq n}{\frac{f(p^a)}{p^a}}=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p \leq n^{1/2}}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...\leq B$ (2)

Допустим у нас есть сходящейся ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}=C$. Умножим его на $B/C$ и получим сходящейся ряд $\frac{B}{C}\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}=B$. (3)

На основании (2), (3) получим:
$\lim_{n \to \infty}{A[f,n]}=\sum_{p }{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...\leq \frac{B}{C}\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}$.(4)

В выражении (4) ряд слева мажорируется сходящемся рядом справа, поэтому ряд справа также сходится. Но $\lim_{n \to \infty}{A[f,n]}=\lim_{n \to \infty}{E[f,n]}$, поэтому $\lim_{n \to \infty}{E[f,n]}$ - существует.

Правильно ли доказательство?

[vicvolf]

RIP в сообщении #1569412 писал(а):

Конкретно для функции Эйлера известна оценка снизу вида

$$\varphi(n) > \mathrm{e}^{-\gamma} \frac{n}{\ln p_{\omega(n)}+\textnormal{мелочь}} = \mathrm{e}^{-\gamma} \frac{n}{\ln\omega(n)+\ln\ln\omega(n)+\textnormal{мелочь}}$$

(где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони). Отсюда при $n\to\infty$ следует

$$n > \varphi(n) > \left(\mathrm{e}^{-\gamma}+o(1)\right)\frac{n}{\ln\ln n} \iff 0 < \ln n-\ln\varphi(n) < \ln\ln\ln n+\gamma+o(1)$$

(причём последняя оценка достигается, например, для $n=p_1p_2\dotsm p_m$).

Я правильно понимаю?

Арифметические функции:

$\frac {n}{\varphi(n)},\ln{\frac {n}{\varphi(n)}},\ln{\frac {\varphi(n)}{n}}$ - не ограничены,

$\frac {\varphi(n)}{n}$ - ограничена.

[RIP]

vicvolf в сообщении #1596483 писал(а):

Я правильно понимаю?

Арифметические функции:

$\frac {n}{\varphi(n)},\ln{\frac {n}{\varphi(n)}},\ln{\frac {\varphi(n)}{n}}$ - не ограничены,

$\frac {\varphi(n)}{n}$ - ограничена.

Да.

[vicvolf]

RIP
Не можете привести пример ограниченной аддитивной функции?

Арифметическая функция $\omega(\tau(n))$ является неограниченной аддитивной с неограниченным средним значением, но предел среднего существует?

[RIP]

vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):

Не можете привести пример ограниченной аддитивной функции?

Для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ можно взять $f(n)=\sum_{p|n}a_p$ (например, $f(n)=\sum_{p|n}\frac{1}{p^2}$). Если хотите пример со стандартными арифметическими функциями, сгодится $f(n)=\ln\left(\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}\right)$.

vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):

Арифметическая функция $\omega(\tau(n))$ является неограниченной аддитивной с неограниченным средним значением, но предел среднего существует?

Эта функция не является аддитивной. Если среднее не ограничено, то предел заведомо не существует, потому что любая сходящаяся последовательность ограничена.

Думаю, существуют ограниченные аддитивные и мультипликативные функции, для которых пределы среднего не существуют, но конкретные примеры привести затрудняюсь.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597327 писал(а):

Если хотите пример со стандартными арифметическими функциями, сгодится $f(n)=\ln\left(\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}\right)$.

Спасибо, хороший пример!

-- 12.06.2023, 10:53 --

RIP в сообщении #1597327 писал(а):

vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):

Думаю, существуют ограниченные аддитивные и мультипликативные функции, для которых пределы среднего не существуют, но конкретные примеры привести затрудняюсь.

Если функция ограничена, то она ограничена в среднем. Аддитивные и мультипликативные функции, ограниченные в среднем, имеют предел среднего значения. Для аддитивных функций я приводил доказательство, его можно упростить (можно без мажорирующего ряда). У Вас есть к нему замечания?

[RIP]

vicvolf в сообщении #1597375 писал(а):

Аддитивные и мультипликативные функции, ограниченные в среднем, имеют предел среднего значения. Для аддитивных функций я приводил доказательство, его можно упростить (можно без мажорирующего ряда). У Вас есть к нему замечания?

Я не видел доказательства.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1597438 писал(а):

Я не видел доказательства.

Сообщение от 25.05.23.

[RIP]

Ладно, доказательство увидел.

vicvolf в сообщении #1594997 писал(а):

В отношении существования предела среднего значения, то он может не существовать, если среднее значение арифметической функции колеблется, не затухая.
Покажем, что этого не будет, если арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)| \leq C$.
В этом случае обозначим $\sum_{m \leq n}|f(m)|=A$, тогда $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|\leq A+C$.
Поэтому $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|- \sum_{m \leq n}|f(m)| \leq C$ и разница средних значений $d(n)=E[f,n+1]-E[f,n]=\frac{1}{n+1}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| $$\leq \frac{1}{n}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| \leq \frac {C}{n}$.
При $n \to \infty$ значение $d(n) \to 0$, поэтому колебания среднего значения арифметической функции, в этом случае, затухают.

Во-первых, Вы совершенно не умеете работать с модулями. Во-вторых, из того, что $d(n)\to0$, вовсе не следует существование предела. Если взять $f(n)=(-1)^{\lfloor\log_{2}n\rfloor}$, то средние значения всюду плотны на отрезке $[-1/3,1/3]$.

Впрочем, да, с аддитивными функциями я действительно погорячился. Если аддитивная функция $f(n)$ ограничена, то существует предел

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{f(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$