2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение17.05.2023, 09:00 


23/02/12
3162
RIP в сообщении #1594002 писал(а):
И предел в общем случае может не существовать.
А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение19.05.2023, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1594197 писал(а):
А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?
Если никаких условий на функцию не налагать, то $E[f,n]$ может равняться чему угодно, например $E[f,n]=(-1)^n$ при $f(n)=(2n-1)(-1)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение20.05.2023, 10:00 


23/02/12
3162
RIP в сообщении #1594444 писал(а):
vicvolf в сообщении #1594197 писал(а):
А можно привести пример арифметической функции, ограниченной в среднем, для которой предел среднего не существует?
Если никаких условий на функцию не налагать, то $E[f,n]$ может равняться чему угодно, например $E[f,n]=(-1)^n$ при $f(n)=(2n-1)(-1)^n$.
Спасибо за пример. По поводу дополнительных условий на арифметическую функцию, то достаточно ее ограниченности, чтобы ее среднее значение было ограничено и имело предел при $n \to \infty$. При условии неограниченности арифметической функции, мне кажется, для этого потребуется ее сильная аддитивность или сильная мультипликативность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.05.2023, 10:27 


23/02/12
3162
vicvolf в сообщении #1594513 писал(а):
При условии неограниченности арифметической функции, мне кажется, для этого потребуется ее сильная аддитивность или сильная мультипликативность?
Для существования предела среднего значения арифметической функции при $n \to \infty$ требуется также ограниченность ее среднего значения. При этом, мне кажется, не требуется сильная аддитивность или мультипликативность самой арифметической функции. Достаточно только ее аддитивность или мультипликативность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение23.05.2023, 20:31 


23/02/12
3162
vicvolf в сообщении #1594513 писал(а):
По поводу дополнительных условий на арифметическую функцию, то достаточно ее ограниченности, чтобы ее среднее значение было ограничено и имело предел при $n \to \infty$.

Первое доказывается просто. Пусть арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)|  \leq C$, тогда $\frac{1}{n}\sum_{m\leq n}|f(m)| \leq \frac {Cn}{n}=C$, т.е. $f(m)$ - ограничена в среднем.

Попытка доказательства второго.
В отношении существования предела среднего значения, то он может не существовать, если среднее значение арифметической функции колеблется, не затухая.
Покажем, что этого не будет, если арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)|  \leq C$.
В этом случае обозначим $\sum_{m \leq n}|f(m)|=A$, тогда $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|\leq A+C$.
Поэтому $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|- \sum_{m \leq n}|f(m)| \leq C$ и разница средних значений $d(n)=E[f,n+1]-E[f,n]=\frac{1}{n+1}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| $$\leq \frac{1}{n}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| \leq \frac {C}{n}$.
При $n \to \infty$ значение $d(n) \to 0$, поэтому колебания среднего значения арифметической функции, в этом случае, затухают.

Доказано ли существование предела среднего значения арифметической функции в случае ее ограниченности? Если нет, то как доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение23.05.2023, 22:03 


23/02/12
3162
vicvolf в сообщении #1594997 писал(а):
Доказано ли существование предела среднего значения арифметической функции в случае ее ограниченности? Если нет, то как доказать?
Вопрос снимается. Доказательство следует из определения предела последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение25.05.2023, 11:32 


23/02/12
3162
vicvolf в сообщении #1594585 писал(а):
Для существования предела среднего значения арифметической функции при $n \to \infty$ требуется также ограниченность ее среднего значения. При этом, мне кажется, не требуется сильная аддитивность или мультипликативность самой арифметической функции. Достаточно только ее аддитивность или мультипликативность?

Попробую доказать, что если $f(m).m=1,...,m$ аддитивная функция, ограниченная в среднем, то существует предел ее среднего значения $\lim_{n \to \infty}E[f,n]$.

Доказательство

Если $f(m).m=1,...,m$ аддитивная функция, то асимптотика ее среднего значения при $n \to \infty$ определяется по формуле:
$A[f,n]=\sum_{p^a \leq n}{\frac{f(p^a)}{p^a}}=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p^2 \leq n}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...$.(1)

Если $f(m).m=1,...,m$ ограничена в среднем $B$, то $A[f,n] \leq B$ при $n \to \infty$ и на основании (1) получаем:
$A[f,n]=\sum_{p^a \leq n}{\frac{f(p^a)}{p^a}}=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p \leq n^{1/2}}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...\leq B$ (2)

Допустим у нас есть сходящейся ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}=C$. Умножим его на $B/C$ и получим сходящейся ряд $\frac{B}{C}\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}=B$. (3)

На основании (2), (3) получим:
$\lim_{n \to \infty}{A[f,n]}=\sum_{p }{\frac{f(p)}{p}}+\sum_{p}{\frac{f(p^2)}{p^2}}+...\leq \frac{B}{C}\sum_{k=1}^{\infty}{c_k}$.(4)

В выражении (4) ряд слева мажорируется сходящемся рядом справа, поэтому ряд справа также сходится. Но $\lim_{n \to \infty}{A[f,n]}=\lim_{n \to \infty}{E[f,n]}$, поэтому $\lim_{n \to \infty}{E[f,n]}$ - существует.

Правильно ли доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение04.06.2023, 15:15 


23/02/12
3162
RIP в сообщении #1569412 писал(а):
Конкретно для функции Эйлера известна оценка снизу вида
$$\varphi(n) > \mathrm{e}^{-\gamma} \frac{n}{\ln p_{\omega(n)}+\textnormal{мелочь}}
= \mathrm{e}^{-\gamma} \frac{n}{\ln\omega(n)+\ln\ln\omega(n)+\textnormal{мелочь}}$$
(где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Маскерони). Отсюда при $n\to\infty$ следует
$$n > \varphi(n) > \left(\mathrm{e}^{-\gamma}+o(1)\right)\frac{n}{\ln\ln n} \iff 0 < \ln n-\ln\varphi(n) < \ln\ln\ln n+\gamma+o(1)$$
(причём последняя оценка достигается, например, для $n=p_1p_2\dotsm p_m$).
Я правильно понимаю?

Арифметические функции:

$\frac {n}{\varphi(n)},\ln{\frac {n}{\varphi(n)}},\ln{\frac {\varphi(n)}{n}}$ - не ограничены,

$\frac {\varphi(n)}{n}$ - ограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение05.06.2023, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1596483 писал(а):
Я правильно понимаю?

Арифметические функции:

$\frac {n}{\varphi(n)},\ln{\frac {n}{\varphi(n)}},\ln{\frac {\varphi(n)}{n}}$ - не ограничены,

$\frac {\varphi(n)}{n}$ - ограничена.
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение05.06.2023, 22:37 


23/02/12
3162
RIP
Не можете привести пример ограниченной аддитивной функции?

Арифметическая функция $\omega(\tau(n))$ является неограниченной аддитивной с неограниченным средним значением, но предел среднего существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение11.06.2023, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):
Не можете привести пример ограниченной аддитивной функции?
Для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ можно взять $f(n)=\sum_{p|n}a_p$ (например, $f(n)=\sum_{p|n}\frac{1}{p^2}$). Если хотите пример со стандартными арифметическими функциями, сгодится $f(n)=\ln\left(\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}\right)$.

vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):
Арифметическая функция $\omega(\tau(n))$ является неограниченной аддитивной с неограниченным средним значением, но предел среднего существует?
Эта функция не является аддитивной. Если среднее не ограничено, то предел заведомо не существует, потому что любая сходящаяся последовательность ограничена.

Думаю, существуют ограниченные аддитивные и мультипликативные функции, для которых пределы среднего не существуют, но конкретные примеры привести затрудняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение12.06.2023, 10:36 


23/02/12
3162
RIP в сообщении #1597327 писал(а):
Если хотите пример со стандартными арифметическими функциями, сгодится $f(n)=\ln\left(\frac{\varphi(n)\sigma(n)}{n^2}\right)$.
Спасибо, хороший пример!

-- 12.06.2023, 10:53 --

RIP в сообщении #1597327 писал(а):
vicvolf в сообщении #1596714 писал(а):
Думаю, существуют ограниченные аддитивные и мультипликативные функции, для которых пределы среднего не существуют, но конкретные примеры привести затрудняюсь.
Если функция ограничена, то она ограничена в среднем. Аддитивные и мультипликативные функции, ограниченные в среднем, имеют предел среднего значения. Для аддитивных функций я приводил доказательство, его можно упростить (можно без мажорирующего ряда). У Вас есть к нему замечания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение12.06.2023, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1597375 писал(а):
Аддитивные и мультипликативные функции, ограниченные в среднем, имеют предел среднего значения. Для аддитивных функций я приводил доказательство, его можно упростить (можно без мажорирующего ряда). У Вас есть к нему замечания?
Я не видел доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение13.06.2023, 10:06 


23/02/12
3162
RIP в сообщении #1597438 писал(а):
Я не видел доказательства.
Сообщение от 25.05.23.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение13.06.2023, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ладно, доказательство увидел.

vicvolf в сообщении #1594997 писал(а):
В отношении существования предела среднего значения, то он может не существовать, если среднее значение арифметической функции колеблется, не затухая.
Покажем, что этого не будет, если арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ - ограничена, т.е $|f(m)|  \leq C$.
В этом случае обозначим $\sum_{m \leq n}|f(m)|=A$, тогда $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|\leq A+C$.
Поэтому $\sum_{m \leq n+1}|f(m)|- \sum_{m \leq n}|f(m)| \leq C$ и разница средних значений $d(n)=E[f,n+1]-E[f,n]=\frac{1}{n+1}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| $$\leq \frac{1}{n}\sum_{m \leq n+1}|f(m)|-\frac{1}{n}\sum_{m \leq n}|f(m)| \leq \frac {C}{n}$.
При $n \to \infty$ значение $d(n) \to 0$, поэтому колебания среднего значения арифметической функции, в этом случае, затухают.
Во-первых, Вы совершенно не умеете работать с модулями. Во-вторых, из того, что $d(n)\to0$, вовсе не следует существование предела. Если взять $f(n)=(-1)^{\lfloor\log_{2}n\rfloor}$, то средние значения всюду плотны на отрезке $[-1/3,1/3]$.

Впрочем, да, с аддитивными функциями я действительно погорячился. Если аддитивная функция $f(n)$ ограничена, то существует предел
$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{f(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group