2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение13.06.2023, 13:09 


23/02/12
3242
RIP в сообщении #1597450 писал(а):
Ладно, доказательство увидел.
Это не то доказательство. Оно не верно. Я потом этот вопрос снял.
RIP в сообщении #1597450 писал(а):
Впрочем, да, с аддитивными функциями я действительно погорячился. Если аддитивная функция $f(n)$ ограничена, то существует предел
$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)=\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{f(p^{\alpha})}{p^{\alpha}}\left(1-\frac{1}{p}\right).$$
Аддитивная арифметическая функция может быть и не ограничена. Достаточно, чтобы она была ограничена "в среднем".

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение13.06.2023, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
vicvolf в сообщении #1597465 писал(а):
Это не то доказательство.
То доказательство я тоже видел, и оно тоже неверно. Во-первых, равенство $\lim E[f,n]=\lim A[f,n]$ неверно (и не обосновано). Даже если его поправить, Вы пытаетесь обосновать ограниченность, а не сходимость. Если функция не знакопостоянна (тем паче комплекснозначная), то это не одно и то же.

vicvolf в сообщении #1597465 писал(а):
Аддитивная арифметическая функция может быть и не ограничена. Достаточно, чтобы она была ограничена "в среднем".
Смотря как понимать ограниченность в среднем. Условие $\sum_{n=1}^{N}\lvert f(n)\rvert\leqslant CN$ достаточно для существования предела (и верна формула из моего предыдущего сообщения). В частности, для знакопостоянной аддитивной функции ограниченность средних действительно равносильна существованию предела. Условие $\left\lvert\sum_{n=1}^{N}f(n)\right\rvert\leqslant CN$ недостаточно для существования предела, если я не ошибся в выкладках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение14.06.2023, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
RIP в сообщении #1597486 писал(а):
Условие $\sum_{n=1}^{N}\lvert f(n)\rvert\leqslant CN$ достаточно для существования предела (и верна формула из моего предыдущего сообщения). В частности, для знакопостоянной аддитивной функции ограниченность средних действительно равносильна существованию предела.
Нашёл ошибку у себя, поэтому не факт, что первое утверждение верно. Но утверждение про знакопостоянные функции верно. Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$. Для знакопостоянных функций это равносильно ограниченности средних.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение14.06.2023, 11:38 


23/02/12
3242
RIP в сообщении #1597521 писал(а):
Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$.
Таким образом, для комплекснозначных аддитивных арифметических функций. для существования предела средних. достаточно абсолютной сходимости данного ряда. Это похоже на правду еще из других соображений. Позже к этому вернусь. Но сейчас меня интересует случай знакопостоянных аддитивных арифметических функций, когда достаточно ограниченности средних. Я хочу доказать это впрямую, не используя абсолютную сходимость данного ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение14.06.2023, 16:27 


23/02/12
3242
Утверждение

Если $f(m),m=1,...,n$ знакопостоянная аддитивная арифметическая функция, ограничена "в среднем", то существует конечный предел ее среднего значения: $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$. (1)

Доказательство

Пусть $f(m),m=1,...,n$ ограничена "в среднем" значением А, т .е. $|E[f,n]| \leq A$ (2).

Обозначим асимптотику $E[f,n]$ при $n \to \infty$ - $A[f,n]$, т.е. $A[f,n] \sim E[f,n]$ или $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$.(3)

На основании (2) и (3):$|A[f,n]| \leq A$.(4)

Известно, что $A[f,n]=\sum_{p \leq n}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$.(5)

На основании (5): $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$.(6)

Учитывая (4), (6): $|\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...|\leq A$. (7)

На основании (7), если $f \geq 0$, то ряд $0 \leq \sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...<\infty$ сходится.

Аналогично, если $f < 0$, то ряд $-\infty<\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...<0$ сходится.

Поэтому, если $f$ знакопостоянная, то на основании (6), существует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$. (8)

На основании (3): $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$, поэтому если существует $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$ не равный 0, то существет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]$$=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$,
что соответствует (1).

Если $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=0$, то на основании (3) $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$ и существeет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$, что соответствует (1).

Если не существует предела $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$, то на основании (3) не должно существовать предела $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$, что противоречит (8), поэтому данное предположение неверно.

Какие неточности в доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение14.06.2023, 18:30 


23/02/12
3242
Наверно надо добавить, что функция $A[f,n]$ (5) является монотонной с ростом $n$ при знакопостоянной $f$. При $f \geq 0$ функция $A[f,n]$ монотонно возрастает, а при $f<0$ функция $A[f,n]$ монотонно убывает. Поэтому в силу ограниченности $|A[f,n]| \leq A$, cуществует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$ (8).

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение21.06.2023, 09:08 


23/02/12
3242
RIP в сообщении #1597486 писал(а):
Во-первых, равенство $\lim E[f,n]=\lim A[f,n]$ неверно (и не обосновано). Даже если его поправить,

vicvolf в сообщении #1597557 писал(а):
На основании (3): $\lim_{n\to \infty} \frac{A[f,n]}{E[f,n]}=1$, поэтому если существует $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$ не равный 0, то существет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]$$=\sum_{p}{\frac{f(p)}{p}+\frac{f(p^2)}{p^2}+...$,
что соответствует (1).

Если $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=0$, то на основании (3) $\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$ и существeет конечный предел $\lim_{n \to \infty} E[f,n]=\lim_{n \to \infty} A[f,n]=0$, что соответствует (1).

Если не существует предела $\lim_{n \to \infty} E[f,n]$, то на основании (3) не должно существовать предела $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$, что противоречит (8), поэтому данное предположение неверно.

RIP в сообщении #1597486 писал(а):
Вы пытаетесь обосновать ограниченность, а не сходимость. Если функция не знакопостоянна (тем паче комплекснозначная), то это не одно и то же.

vicvolf в сообщении #1597570 писал(а):
функция $A[f,n]$ (5) является монотонной с ростом $n$ при знакопостоянной $f$. При $f \geq 0$ функция $A[f,n]$ монотонно возрастает, а при $f<0$ функция $A[f,n]$ монотонно убывает. Поэтому в силу ограниченности $|A[f,n]| \leq A$, cуществует конечный предел $\lim_{n \to \infty} A[f,n]$ (8).
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическая оценка суммы
Сообщение28.06.2023, 10:43 


23/02/12
3242
RIP в сообщении #1597521 писал(а):
Вообще, для существования предела средних достаточно, чтобы $\sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{\lvert f(p^{\alpha})\rvert}{p^{\alpha}}<+\infty$. Для знакопостоянных функций это равносильно ограниченности средних.
vicvolf в сообщении #1597527 писал(а):
Таким образом, для комплекснозначных аддитивных арифметических функций. для существования предела средних. достаточно абсолютной сходимости данного ряда. Это похоже на правду еще из других соображений. Позже к этому вернусь.
В монографии https://books.google.ru/books?id=UEk-Cg ... &q&f=false на стр.58 имеется похожее доказательство для мультипликативных арифметических функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group