Асимптотическая оценка суммы

[vicvolf]

RIP
Оценка $A(n)=\sum_{p \leq n} \frac{f(p)}{p}=\sum_{p \leq n} \frac{\ln(p)}{p}=\ln(n)+O(1)=A_n$ - хорошая, а вот оценка $B^2(n)=\sum_{p \leq n} \frac{f^2(p)}{p}$ - для многих сильно аддитивных функций довольно грубая и хуже $D_n$.

Наверно Вы обратили внимание, что асимптотические оценки вероятностных характеристик для многих аддитивных арифметических функций $f(m),m=1,...,n$ совпадают с соответствующими асимптотическими вероятностными характеристиками сильно аддитивных арифметических функций $f^*(m)=\sum_{p|m}f(p),m=1,...,n$.

Это связано с тем, что у этих функций одинаковые предельные распределения, как доказывается в монографии Кубилюса. Даже для функций $f(m)=\ln(m)$ и $f^*(m)=\sum_{p|m} \ln(p)$ асимптотики вероятностных характеристик совпадают, хотя они не имеют одинаковых предельных распределений (см. стр.93).

Отсюда следует совпадение асимптотических оценок "почти всюду" у определенного класса аддитивных и сильно аддитивных арифметических функций.

Можно выделить класс мультипликативных и сильно мультипликативных арифметических функций, образованный от указанного класса аддитивных и сильно аддитивных арифметических функций, у которых также совпадают асимптотические оценки "почти всюду".

Это облегчает нахождение асимптотических оценок "почти всюду" у указанных классов аддитивных и мультипликативных арифметических функций.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1570170 писал(а):

Это облегчает нахождение асимптотических оценок "почти всюду" у указанных классов аддитивных и мультипликативных арифметических функций.

Например, для сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ асимптотика мат. ожидания равна $A^*_n=A^*(n)=\ln(n)+O(1)$. Учитывая, что совпадают асимптотики вероятностных характеристик, то асимптотика мат. ожидания для соответствующей аддитивной арифметической функции $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ также равна $A_n=A(n)=\ln(n)+O(1)$.

Асимптотика дисперсии аддитивной арифметической функции $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ равна $D_n=\frac {1}{n}\sum_{m \leq n} |f(m)-A_n|^2=$$\frac {1}{n}\sum_{m \leq n}O(1)=O(n)/n=O(1)$.

Так как совпадают асимптотики вероятностных характеристик, то асимптотика дисперсии сильно аддитивной арифметической функции $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ равна $D^*_n=D_n=O(1)$.

Поэтому асимптотика "почти всюду" аддитивных арифметических функций $f(m)=\ln(m),m=1,...,n$ и $f^*(m)=\sum_{p|m}\ln(p),m=1,...,n$ равна $\ln(n)+g(n)$, где $g(n)$ - медленно растущая функция.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1569110 писал(а):

Должно быть:$\sum \limits _{p|n}f(p)\leq d(n)\cdot \max \limits _{x\in [2,n]}f(x)$

Не смог найти ни одного примера, где такая оценка была бы лучше тривиальной. Можете привести пример?

[mihiv]

vicvolf в сообщении #1570714 писал(а):

Не смог найти ни одного примера, где такая оценка была бы лучше тривиальной.

Это зависит от того, что считать тривиальной оценкой.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1570721 писал(а):

Это зависит от того, что считать тривиальной оценкой.

Например, так как $\varphi(n) \leq n$, то $\sum_{p|n} \ln (\varphi(p)) \leq \ln (\varphi(n)) \leq \ln(n)$ - тривиальная оценка.

По Вашей оценке: $\sum_{p|n} \ln (\varphi(p)) \leq \omega(n) sup_{x\in [2,n]} \ln (\varphi(x))=$$O(\frac {\ln(n)}{\ln\ln(n)}\ln(n))=O(\frac{\ln^2(n)}{\ln\ln(n)})$ - значительно хуже.

[mihiv]

Я ориентировался всего лишь на эту оценку:

vicvolf в сообщении #1569017 писал(а):

Оценка суммы $\sum_{p|n}f(p) \leq \sum_{p \leq n} f(p)$ является грубой.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1570744 писал(а):

Я ориентировался всего лишь на эту оценку:

vicvolf в сообщении #1569017 писал(а):

Оценка суммы $\sum_{p|n}f(p) \leq \sum_{p \leq n} f(p)$ является грубой.

Понял, спасибо!

[vicvolf]

RIP в сообщении #1569610 писал(а):

vicvolf в сообщении #1569598 писал(а):

А как же оценка "почти всюду"?

Если $f(n)\geqslant0$ и $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(n)\leqslant C$, то количество слагаемых, больших $K>0$, не превосходит $\frac{CN}{K}$. Выбирая $K=K(N)\to+\infty$, получаем, что для «почти всех» $n$ выполнено $f(n)=O(g(n))$, где $g(n)$ — произвольная неограниченно растущая функция.

Спасибо. А где это утверждение доказано, чтобы сослаться?

[RIP]

vicvolf в сообщении #1571464 писал(а):

А где это утверждение доказано, чтобы сослаться?

Не знаю. Это просто тривиальное наблюдение, не требующее особых пояснений.

[vicvolf]

RIP
Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:

$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?

[RIP]

vicvolf в сообщении #1571569 писал(а):

Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:
$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?

Да, это равносильно очевидному неравенству $\prod_{p|n}\frac{p}{2}\leqslant\frac{n}{2}$ (можно улучшить до $\frac{n}{2^{\omega(n)}}$).

[vicvolf]

RIP в сообщении #1571760 писал(а):

vicvolf в сообщении #1571569 писал(а):

Справедлива ли оценка снизу при $n \geq 2$:
$\ln (\frac{2}{n}) \leq \sum_{p|n} \ln (\frac{\tau(p)}{p})$?

Да, это равносильно очевидному неравенству $\prod_{p|n}\frac{p}{2}\leqslant\frac{n}{2}$

Для меня это не так очевидно. Как я это доказывал.
$\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p})=\sum_{p|n}\ln(\frac{2}{p})$ является сильно аддитивной арифметической функцией, соответствующей аддитивной арифметической функцией $\ln(\frac{\tau(n)}{n})$.
Можно доказать, что если для аддитивной арифметической функции $f$ выполняется условие $f(p^\alpha) \leq f(p)$, где $\alpha \geq 2$, то выполняется: $\sum_{p|n}f(p) \geq f(n)$.
Это условие для аддитивной арифметической функции $f(n)=\ln(\frac{\tau(n)}{n})$ выполняется, поэтому справедливо: $\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p})=\sum_{p|n}\ln(\frac{2}{p}) \geq \ln(\frac{\tau(n)}{n})$.
Отсюда, учитывая, что $\tau(n) \geq 2$, можно записать: $\sum_{p|n}\ln(\frac{\tau(p)}{p}) \geq \ln(\frac{2}{n})$.
Если начать рассмотрение с сильно мультипликативной функции - $\prod_{p|n}p/2$, то соответствующая ей мультипликативная функция имеет вид $n/\tau(n)$, а не $n/2$.
Для мультипликативной функции $n/\tau(n)$ выполняется условие: $\frac{p^\alpha}{\tau(p^\alpha)} \geq \frac{p}{\tau(p)}$ , где $\alpha \geq 2$, поэтому справедливо: $\prod_{p|n} \frac{p}{2} \leq \frac{n}{\tau(n)}$.
Отсюда, учитывая, что $\tau(n) \geq 2$, можно записать: $\prod_{p|n} \frac{p}{2} \leq \frac{n}{2}$.

RIP в сообщении #1571760 писал(а):

(можно улучшить до $\frac{n}{2^{\omega(n)}}$).

По-моему нельзя, так как $f(p)=p/2$ - возрастающая.

[RIP]

vicvolf в сообщении #1571858 писал(а):

Для меня это не так очевидно.

Да просто $\sum_{p|n}\ln\frac{\tau(p)}{p}=\sum_{p|n}\ln\frac{2}{p}=-\ln\left(\prod_{p|n}\frac{p}{2}\right)$. Далее, $\prod_{p|n}\frac{p}{2}=\frac{\prod_{p|n}p}{2^{\omega(n)}}\leqslant\frac{n}{2^{\omega(n)}}$.

[vicvolf]

RIP в сообщении #1571865 писал(а):

vicvolf в сообщении #1571858 писал(а):

Для меня это не так очевидно.

Да просто $\sum_{p|n}\ln\frac{\tau(p)}{p}=\sum_{p|n}\ln\frac{2}{p}=-\ln\left(\prod_{p|n}\frac{p}{2}\right)$. Далее, $\prod_{p|n}\frac{p}{2}=\frac{\prod_{p|n}p}{2^{\omega(n)}}\leqslant\frac{n}{2^{\omega(n)}}$.

Спасибо! Получилась оценка $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}}) \geq \ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n})$.
Если сравнить с оценкой $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}}) \geq \ln(\frac {2}{n})$, поскольку обе оценки находятся в отрицательной области, то получается $\ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n}) \leq \ln(\frac {2}{n})$ и $\sum_{p|n}{\ln(\frac{\tau(p)}{p}})\geq \ln(\frac {2}{n}) \geq \ln(\frac {2^{\ln\ln(n)}}{n})$.

[vicvolf]

RIP
Справедливо ли такое утверждение?
Пусть $g(p)>0$ и $A(n)=e^{\sum_{p \leq p_w(n)}\ln(g(p))}$, тогда:
1. Если $g$ - монотонно убывает, то выполняется следующая оценка сверху:
$\prod_{p|n}g(p) \leq A(n)$,
2. Если $g$ - монотонно возрастает, то выполняется следующая оценка снизу:
$\prod_{p|n}g(p) \geq A(n)$.