Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Dmitriy40
Посмотрите неравенство:

Батороев в сообщении #1565473 писал(а):

$$\dfrac{\prod\limits_{s_{i}} (s)^2}{\prod\limits_{s_{i}}(s-2)(s+2)}<s_{i}+2\eqno{(1)}$$

В левой части первое составное $9$. Примыкающие к нему числа $7$ и $11$. Т.е. в указанном выражении $3$ и $5$ отсутствуют... в отличие от остальных простых.
В следующем выражении:

Батороев в сообщении #1565424 писал(а):

$$\dfrac{\prod\limits_{p_{0r}}(p-2)(p+2)}{\prod\limits_{p_{0r}} (p)^2}$$

все простые по определению должны присутствовать, но $3$ и $5$ полностью сократятся... в отличие от остальных простых.
Если выписать на бумаге эти два выражения (хотя бы, до $37$), то после сокращений в дробях можно будет увидеть их почти полную идентичность.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1565512 писал(а):

Посмотрите неравенство:

Не могу: не понимаю записи $\prod\limits_{s_i}(s^2)$ — снизу обычно пишется переменная по которой производятся действия в формуле и её начальное значение или множество значений, сверху конечное значение, у Вас переменная есть, но другая, не та что потом используется в формуле произведения. А пределов вообще нет. Такую запись можно понять как произведение всех возможных $s$ из множества $s_i$ — но у Вас $s_i$ не множество, а конкретное число. Не понимаю! Вы пишете в математическом разделе, могли бы использовать нормальную запись формул, совсем это не сложно.
По идее $s_i$ должно стоять сверху, а снизу или пусто (раз уж словами пишете что и как), или $s$ (опять же со словами пояснений), или $s \in odd\,composite$ (вот так понятно и без слов, причём раз произведения берутся одинаково, то это можно указать и один раз справа от дроби, а не в каждом $\prod{}$).
Впрочем, ладно, не хотите нормально писать — не буду и читать, вопрос закрываем.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1565473 писал(а):

Для всех нечетных составных чисел до $s_{i}$ соблюдается неравенство:

$$\dfrac{\prod\limits_{s_{i}} (s)^2}{\prod\limits_{s_{i}}(s-2)(s+2)}<s_{i}+2\eqno{(1)}$$

где $s$ - нечетные составные числа.

Батороев в сообщении #1565473 писал(а):

Запишем неравенство (3) для чисел, стремящимся к бесконечности, выделив участок, на котором простые числа-близнецы закончились и их произведение не должно расти (4):

$$P_{1}\cdot P_{2} > \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{ P_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p_{0r}}\cdot \dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{i}}\eqno {(5)}$$

где
$p_{0r}$ - простое число, следующее за последним простым числом-близнецом.
Числа со штрихом, аналогичны вышеуказанным, но превосходят $p_{0r}$.
Участок дроби, включающий $\dfrac {1}{p_{0r}}$ , и есть тот участок, который мы хотели выделить.
Остальная часть дроби $>1$ (6), что говорит о том, что произведение простых чисел-близнецов будет увеличиваться.
Противоречие с (4).

Мне по-прежнему кажется, что "здесь рыбы нет" по двум причинам разного характера:
1. Общие соображения. Конечные последовательности подряд идущих нечетных составных чисел отделены друг от друга либо "точками" (изолированными простыми), либо "тире" (парами простых-близнецов); третьего не дано - больше двух нечетных простых подряд не бывает (кроме не интересующих нас $3,5,7$ в начале ряда). Ну и если "тире" внезапно закончатся, "точки" по-прежнему справятся с ролью разделителей, никакой "магией сокращений" бесконечность близнецов отсюда не вытянуть. Простите за некоторую расплывчатость и образность, следующая причина будет иметь более конкретный характер:
2. Очень похоже, что неравенство (1) можно усилить, поставив в правую часть некоторую константу, не зависящую от $s_i$. А если это так, то правая часть (5) расти-то растет, но не безгранично. В самом деле, при достаточно больших $n$, $\ln\frac{n^2}{n^2-4}<\frac{4}{n^2-4}$, а бесконечный ряд из обратных квадратов сходится. Следовательно, левая часть (1) при $s_i\rightarrow\infty$ остается конечной, и аргумент в районе формулы (5) и после рушится (нет противоречия в силу ограниченности роста правой части (5)).

[Батороев]

Dmitriy40
Извините! Исправлюсь.

waxtep
Я тут заметил у себя неточности. Может, они и вызывали у Вас сомнения?
Сейчас устраню свои огрехи...

waxtep в сообщении #1565519 писал(а):

2. Очень похоже, что неравенство (1) можно усилить

Я специально и довольно долго подбирал наоборот "не сильное" неравенство (доказуемое), которое позволило бы при переходе к (3) получить в его правой части постоянно возрастающую дробь (также доказуемую).

-- 28 сен 2022 06:00 --

Я, похоже, даже знаю точное значение левой части (1). Надо перепроверить.

-- 28 сен 2022 06:25 --

ТЕЗИСНО:

Для всех нечетных составных чисел до $s_{t}$ соблюдается неравенство:

$$\dfrac{\prod\limits_{i=1}^t (s_{i})^2}{\prod\limits_{i=1}^t ((s_{i}-2)(s_{i}+2))}<s_{t}+2\eqno{(1)}$$

После сокращений получаем (на том же интервале):

$$\dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0}^2}<s_{t}+2\eqno{(2)}$$

где
$S_{1}; S_{2};S_{0}$ - произведения не отдельно расположенных составных чисел, примыкающих к простым числам, соответственно, сверху, снизу, а также произведение отдельно расположенных составных чисел;
$P_{1};P_{2}$ - произведения простых чисел-близнецов без учета простых $3; 5$;
$P_{0}$ - произведение отдельно расположенных простых чисел.

Преобразовав неравенство (2), получаем:

$$P_{1}\cdot P_{2} > \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{ P_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{(s_{t}+2)}\eqno {(3)}$$

Предположим, что простые числа конечны.
Запишем неравенство (3) для чисел $t$, стремящимся к бесконечности, выделив участок, на котором простые числа-близнецы закончились и их произведение не должно расти (4):

$$P_{1}\cdot P_{2} > \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{ P_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p_{0r}}\cdot \dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{t}}\eqno {(5)}$$

где
$p_{0r}$ - простое число, следующее за последним из простых чисел-близнецов.
Числа со штрихом, аналогичны вышеуказанным, но превосходят $p_{0r}$ .
Участок дроби, включающий $\dfrac {1}{p_{0r}}$ , и есть тот участок, который мы хотели выделить.
Остальная часть дроби:

$$\dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{t}}>(p_{0r}+2)\cdot (p_{0r+1}-2)\eqno {(6)}$$

В виду неопределенности фактической величины выделенной части, мы не можем сказать, увеличится ли значение произведения $P_{1}\cdot P_{2}$ на величину, превосходящую произведение следующих простых чисел или нет.
Но зато имеем возможность без изменения общности увеличивать $p_{0r}$ и рано или поздно прийдем к данному увеличению, что будет противоречитьусловию (4).
Следовательно, предположение ошибочно и простые числа-близнецы бесконечны.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1565529 писал(а):

Остальная часть дроби:

$$\dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{t}}>(p_{0r}+2)\cdot (p_{0r+1}-2)\eqno {(6)}$$

Э, нет, здесь знак неравенства-то в другую сторону

-- 29.09.2022, 08:15 --

waxtep в сообщении #1565230 писал(а):

А мой предыдущий многословный пост можно заменить простой картинкой:

$$\color{purple}7^2\color{blue}<9^2\color{purple}<11\cdot13\color{blue}<15^2\color{purple}<17\cdot19\color{blue}<21^2\color{purple}<23^2\ldots$$

Но отсюда к бесконечности простых-близнецов не прийти; это просто разбиение последовательности нечетных чисел на перемежающиеся кусочки с одинаковым признаком простоты.

+ предлагаю обратить внимание на вот эту штуку; ничего здесь страшного или интересного не случится, если с какого-то момента в пурпуре останутся только квадраты изолированных простых, а произведения близнецов пропадут

-- 29.09.2022, 08:30 --

Тут, честно говоря, ничего страшного не случится, даже если (о ужас и лженаука!) простые числа вообще закончатся: неравенства работают только потому, что а) мы останавливаемся на пурпурном числе б) пурпурных и синих одинаковое количество, ну и отношение каждого пурпурного к соседнему слева синему больше единицы

[Батороев]

waxtep в сообщении #1565627 писал(а):

Батороев в сообщении #1565529

писал(а):
Остальная часть дроби:

$$\dfrac {S'_{1}\cdot S'_{2}\cdot S'_{0}^2}{ P'_{0}^2}\cdot \dfrac {1}{p'_{t}}>(p_{0r}+2)\cdot (p_{0r+1}-2)\eqno {(6)}$$

Э, нет, здесь знак неравенства-то в другую сторону

Я не прав с точки зрения величины левой части неравенства. Конечно, можно было бы ввести "грубую" оценку для этой возрастающей дроби, но хочется сделать точнее. Буду над этим работать...

waxtep в сообщении #1565627 писал(а):

+ предлагаю обратить внимание на вот эту штуку; ничего здесь страшного или интересного не случится, если с какого-то момента в пурпуре останутся только квадраты изолированных простых, а произведения близнецов пропадут

Так это я и сделал, убрав "пурпурные" числа в левую часть (5), в правой оставив "синие".

waxtep в сообщении #1565627 писал(а):

Тут, честно говоря, ничего страшного не случится, даже если (о ужас и лженаука!) простые числа вообще закончатся: неравенства работают только потому, что а) мы останавливаемся на пурпурном числе б) пурпурных и синих одинаковое количество, ну и отношение каждого пурпурного к соседнему слева синему больше единицы

По п. а) - решение было иное - останавливаться на "синих" числах.
А вот пункт б) поражает - как Вы к этому пришли?!!!

[Батороев]

Батороев в сообщении #1565912 писал(а):

Я не прав с точки зрения величины левой части неравенства. Конечно, можно было бы ввести "грубую" оценку для этой возрастающей дроби, но хочется сделать точнее. Буду над этим работать...

Не прав я и в отношении знака. Я посмотрел свои расчеты в местах, где простые числа-близнецы отсутствуют и проверил изменение дроби от одного отдельно расположенного простого числа до следующего. Действительно, значение уменьшается.

-- 01 окт 2022 14:52 --

Но буду думать над этим своим доказательством...


А пока представлю другое (несколько парадоксальное, но как мне кажется, верное) доказательство:

В левой части неравенства (1) предыдущего поста имеем дробь:

$$\dfrac{\prod\limits_{i=1}^t (s_{i})^2}{\prod\limits_{i=1}^t ((s_{i}-2)(s_{i}+2))}\eqno{(1)}$$

После сокращений получаем (на том же интервале):

$$\dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0}^2}\eqno{(2)}$$

где
$S_{1}; S_{2};S_{0}$ - произведения не отдельно расположенных составных чисел, примыкающих к простым числам, соответственно, сверху, снизу, а также произведение отдельно расположенных составных чисел;
$P_{1};P_{2}$ - произведения простых чисел-близнецов без учета простых $3; 5$;
$P_{0}$ - произведение отдельно расположенных простых чисел.
Как видно из структуры дроби сумма числа указанных составных чисел соответствует числу простых чисел (за исключением двух простых $3$ и $5$) $(3)$.

Добавим числа в числитель и знаменатель, получив равенство:

$$\dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0}^2}\cdot \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}}{P_{1}\cdot P_{2}}= \dfrac {(S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0})^2}{(P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0})^2}\eqno{(4)}$$

В правой части равенства количество членов в числителе и знаменателе совпадает $(5)$. Действительно, сколько простых чисел, столько и пробелов среди составных.
Исходя из утверждений (3) и (5), во второй дроби получаем, что количество простых чисел близнецов равно количеству чисел, входящих в произведение $S_{1}\cdot S_{2}$, что и требовалось доказать для бесконечности первых, т.е. простых чисел-близнецов, т.к. число вторых растет не ограничено $(6)$ .

Подставляя полученный результат (5) в (2), получаем, что число отдельно стоящих чисел, входящих в произведение $P_{0}$ , совпадает с числом отдельно стоящих составных чисел, входящих в произведение $S_{0}$ и в виду доказанной бесконечности первых справедливо утверждение, что вторые тоже бесконечны.

Т.к. число $S_{0}$ определяет число двоюродных простых чисел (простые числа, отличающиеся друг от друга на $4$), то следовательно, и последние числа - двоюродные простые числа бесконечны $(7)$.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1565918 писал(а):

В правой части равенства количество членов в числителе и знаменателе совпадает $(5)$.

Здесь у меня ошибка: В (5) количество $P_{1}$ и $P_{2}$ в два раза больше, чем в (1), т.к. в (1) они входят в первой степени.
Поэтому соотношение количеств членов в этой правой части (5) другое по сравнению с ранее мной объявленным, но не нулевое.
Соответственно, будут другими и упомянутые мной соотношения количеств чисел, но это не меняет выводы.

-- 03 окт 2022 14:05 --

С учетом вышесказанного парадоксальность (которая меня смущала)

Батороев в сообщении #1566024 писал(а):

другое (несколько парадоксальное, но как мне кажется, верное) доказательство:

исчезает.

[Батороев]

То, что записал в предыдущем сообщении - ерунда!
Путь, который предложил для доказательства 01.10, т.е. использовать:

Батороев в сообщении #1565918 писал(а):

Добавим числа в числитель и знаменатель, получив равенство:

$$\dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2}{P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0}^2}\cdot \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}}{P_{1}\cdot P_{2}}= \dfrac {(S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0})^2}{(P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{0})^2}\eqno{(4)}$$

тупиковый, т.к. это тождество, а "крутить" тождества, на мой взгляд, дело бесполезное.

[Батороев]

ТЕЗИСНО:

Рассмотрим выражения с учетом сокращений:

$$\dfrac{\prod\limits_{i=1}^t (p_{i})}{\prod\limits_{i=1}^t (p_{i}-2)}= \dfrac {P_{2}\cdot P_{0}}{S_{2}\cdot S_{0}}\eqno{(1)}$$

$$\dfrac{\prod\limits_{i=1}^t (p_{i}+2)}{\prod\limits_{i=1}^t (p_{i})}=\dfrac {S_{1}\cdot S_{0}}{P_{1}\cdot P_{0}}\eqno{(2)}$$

где
$S_{1}; S_{2};S_{0}$ - произведения не отдельно расположенных составных чисел, примыкающих к простым числам, соответственно, сверху, снизу, а также произведение отдельно расположенных составных чисел;
$P_{1};P_{2}$ - произведения простых чисел-близнецов без учета сокращенного простого числа $5$;
$P_{0}$ - произведение отдельно расположенных простых чисел.

Перемножив (1) и (2), можно получить неравенство:

$$ \dfrac {P_{2}}{P_{1}}\cdot \dfrac {S_{1}}{S_{2}}>(p_{t}+2)\eqno {(3)}$$

Или:

$$ \dfrac {P_{2}}{P_{1}}>\dfrac {S_{2}}{S_{1}}\cdot (p_{t}+2)\eqno {(4)}$$

Предположим, что простые числа-близнецы конечны. Тогда левая часть неравенства (4) зафиксируется на некоторой постоянной величине. Но правая часть неравенства будет продолжать расти* и в некоторый момент неравенство "сломается". Следовательно, предположение - не верное и простые числа-близнецы бесконечны.
*Примечание: Для чисел $p_{t} >1699$.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1567498 писал(а):

Перемножив (1) и (2), можно получить неравенство:

$$ \dfrac {P_{2}}{P_{1}}\cdot \dfrac {S_{1}}{S_{2}}>(p_{t}+2)\eqno {(3)}$$

Это при условии, что

$$\prod\limits_{i=1}^t\frac{p_i+2}{p_i-2}>p_t+2$$

Верно ли это? Не пытался проверить точно, но с ростом $t$ отношение левой части к правой становится все меньше, например, для $p_t=307$ оно уже меньше двух...

-- 24.10.2022, 14:15 --

Нет, это неравенство не выглядит верным, требуется доказательство; смотрите (далее нестрогое рассуждение, тоже не факт, что верное), при переходе от $t-1$ к $t$ левая часть домножается на $\frac{p_t+2}{p_t-2}$, а правая - на $\frac{p_t+2}{p_{t-1}+2}$. Отношение первого множителя ко второму равно $\frac{p_{t-1}+2}{p_t-2}$, а это все чаще будет меньше единицы: простые числа чем дальше, тем реже встречаются; кто там кого "на бесконечности" перетянет - с ходу неочевидно

[waxtep]

Да, если расчехлить PARI/GP, становится видно, что неравенство в целом неверно; "ломается" оно как раз где-то в районе $p_t=1693$:

pr_mult(n)={p=primes(n+1); p=setminus(p,[2]); u=vector(n,i,log(p[i]+2)); d=vector(n,i,log(p[i]-2)); su=vecsum(u);sd=vecsum(d);lhs=exp(su-sd); return([lhs,p[n]+2]);};

(15:22) gp > pr_mult(100)
%57 = [882.03247174788917848100456643513207580, 549]
(15:24) gp > pr_mult(200)
%58 = [1423.7395255464211047092519312458253384, 1231]
(15:24) gp > pr_mult(300)
%59 = [1835.9896864305904733469818687620180278, 1995]
(15:24) gp > pr_mult(263)
%60 = [1693.7491374054377464487873413094611856, 1695]
(15:24) gp > pr_mult(30000)
%61 = [14523.905306499028169071896019894676186, 350383]

[Батороев]

waxtep в сообщении #1567525 писал(а):

Нет, это неравенство не выглядит верным, требуется доказательство; смотрите (далее нестрогое рассуждение, тоже не факт, что верное), при переходе от $t-1$ к $t$ левая часть домножается на $\frac{p_t+2}{p_t-2}$, а правая - на $\frac{p_t+2}{p_{t-1}+2}$. Отношение первого множителя ко второму равно $\frac{p_{t-1}+2}{p_t-2}$, а это все чаще будет меньше единицы: простые числа чем дальше, тем реже встречаются; кто там кого "на бесконечности" перетянет - с ходу неочевидно

Долго разбирался в причинах "перелома" неравенства. В конце-концов склонился к Вашей версии. Без множителя $p_{t}+2$ в правой части (3) рассматриваются отношения составных чисел, примыкающих сверху и снизу к отдельно расположенным простым или к паре близнецов, а с этим множителем рассмотрение переходит к отношению большего составного к меньшему в группе подряд идущих составных чисел, и как Вы справедливо отметили, эти группы "удлиняются".
Поэтому полностью сократить $S_{1}$ на последнее составное $p_{t}+2$ является "перебором". А вот, если сократить частично, например, $p_{t}+2$ в правой части (3) заменить на $\sqrt {p_{t}+2}$, может, и получится. Жаль PARI/GP не владею, поэтому предугадать возможность появления каких-либо "подводных камней" для этого случая для меня не представляется возможным.

[waxtep]

Батороев в сообщении #1567992 писал(а):

А вот, если сократить частично, например, $p_{t}+2$ в правой части (3) заменить на $\sqrt {p_{t}+2}$, может, и получится.

(задумчиво) скорее, не корень, а что-то вроде $\ln^4p$ (логарифм в четвёртой степени). В самом деле, $\ln\frac{p+2}{p-2}\sim\frac4p$, а для частичной суммы ряда из обратных простых известна нижняя оценка $\ln\ln p$ плюс константа. И тогда вроде бы получается желаемая оценка $\frac{P_2}{P_1}>\frac{S_2}{S_1}$ помножить на что-то неорганиченно растущее. Честно говоря, не верится, но и ошибки с ходу не вижу, имеет смысл ещё помедитировать

[waxtep]

waxtep в сообщении #1568019 писал(а):

И тогда вроде бы получается желаемая оценка $\frac{P_2}{P_1}>\frac{S_2}{S_1}$ помножить на что-то неорганиченно растущее. Честно говоря, не верится, но и ошибки с ходу не вижу, имеет смысл ещё помедитировать

Тут видимо вот в чем дело: одинаковые буквы в (1) и (2) обманчивы, поясню на примере. Предположим, $p_t+2$ - составное число, а $p_t+4$ - простое. Тогда, в (2) $p_t+2$ попадет в $S_0$, а в (1) - вовсе нет. Это разные "эс ноли". Это и прочие буквы лучше аккуратно расписать, кто из них не превышает $p_t$, а кто может быть и чуть больше, и не пропадает ли в результате магия

-- 28.10.2022, 23:08 --

Хотя что ж тут расписывать: в корректной записи (2) справа должен быть ещё множитель $p_t+2$, а тогда максимум, что можно доказать, это

$$\frac{P_2}{P_1}>\operatorname{const}\cdot\frac{\ln^4p_t}{p_t}\cdot\frac{S_2}{S_1}$$

Но тут множитель в правой части уже не растет неограниченно, а, наоборот, убывает к нулю, это ничего не дает