2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение29.10.2022, 09:41 


23/01/07
3379
Новосибирск
waxtep в сообщении #1568019 писал(а):
скорее, не корень, а что-то вроде $\ln^4p$ (логарифм в четвёртой степени).

Если Вы имели в виду заменить в (3) $p_{t}+2$ на $ \ln^4p$, то неравенство сразу приобретает обратный знак.
А вот в неравенстве (4) в случае предлагаемой мной замены: $$\dfrac {P_{2}}{P_{1}}>\dfrac {S_{2}}{S_{1}}\cdot \sqrt{p_{t}+2}\eqno {(4)}$$
все вроде бы соблюдается (в пределах достигаемости моих расчетов), но правая часть растет очень медленно. Может быть, она имеет предел или перелом в дальнейшем, не знаю.

-- 29 окт 2022 13:46 --

waxtep в сообщении #1568065 писал(а):
Тогда, в (2) $p_t+2$ попадет в $S_0$, а в (1) - вовсе нет.

Условно это $S_{0}$ считаем за крайнее $S_{1}$. Разницы с моей точки зрения, никакой нет.

-- 29 окт 2022 14:01 --

Указанное $S_{0}$ не сокращаемое число, в отличие от всех предыдущих подобных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение29.10.2022, 12:51 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
Батороев в сообщении #1568107 писал(а):
Условно это $S_{0}$ считаем за крайнее $S_{1}$. Разницы с моей точки зрения, никакой нет.
Предлагаете "спрятать" $p_t+2$ в $S_1$? Можно, но Вы уверены, что при таком, новом определении $S_1$ дробь $\frac{S_2}{S_1}$ будет хотя бы больше единицы для достаточно больших $p_t$? Теперь оно начнет убывать к нулю потихоньку, чем дальше направо мы пойдем

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение31.10.2022, 09:31 


23/01/07
3379
Новосибирск
waxtep
Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}$ несомненно будет меньше единицы для любых $t$, т.к. рассматривает совокупность отношений составных, примыкающих к простому числу (или паре близнецов) снизу ($S_{2}$), к составным, примыкающим к этому же простому сверху ($S_{1}$).
Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}\cdot\sqrt{p_{t}+2}$ имеет отличие, заключающееся в том, что последнее число $s_{1t}=p_{t}+2$ берется не полным, а частичным (корень из него). Это приводит к тому, что неравенство:
Батороев в сообщении #1568107 писал(а):
$$\dfrac {P_{2}}{P_{1}}>\dfrac {S_{2}}{S_{1}}\cdot \sqrt{p_{t}+2}\eqno {(4)}$$

во-первых, соблюдается, а во-вторых, и в левой, и правой частях имеются возрастающие функции, по крайней мере, об этом говорят мои скромные расчеты.
Вопрос заключается в том, будет ли правая часть, продвигаясь вверх относительно моих расчетов, расти неограниченно или же имеет предел (или "перегиб", т.е. экстремум)?

-- 31 окт 2022 14:09 --

Наверное, можно ответ получить и теоретически, определив предел выражения: $$\prod\limit_{i=m}^t\dfrac {s_{1i}-4}{s_{1i}}\cdot \sqrt {s_{1t}}\eqno {(5)}$$
при $t$, стремящемся к бесконечности, имея в виду, что при некотором $m$ простые числа-близнецы "закончились" и разность в каждой паре составных: $s_{1i}-s_{2i}=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение01.11.2022, 11:13 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
Батороев в сообщении #1568390 писал(а):
Дробь $\frac {S_{2}}{S_{1}}$ несомненно будет меньше единицы для любых $t$, т.к. рассматривает совокупность отношений составных, примыкающих к простому числу (или паре близнецов) снизу ($S_{2}$), к составным, примыкающим к этому же простому сверху ($S_{1}$).
Да? Тогда, видимо, я не совсем правильно понимаю Вашу систему обозначений, давайте попробуем разобраться. Например, для $p_t=53$ я считал, что $S_1=25\cdot33\cdot49,S_2=27\cdot35\cdot51$ - произведения соответствующих чисел, не превышающих $53$; и тогда, конечно, $S_2>S_1$, как в этом примере, так и в любом другом. При этом в формуле $(2)$ надо еще отдельно учесть множитель $55$; он не входит ни в какое $S_j$ или $P_j$ просто потому что великоват.

Но возможно Вы по-другому делаете, типа в $(1)$ - числа не превышающие $p_t$, а в $(2)$ - не превышающие $p_t+2$, тогда в этом примере $S_1=25\cdot33\cdot49\cdot55,S_2=27\cdot35\cdot51$ и $S_2<S_1$, и надо аккуратно следить, что с чем можно сокращать. В таких обозначениях бывает как $S_2<S_1$ (если $p_t+2$ - "неизолированное составное, примыкающее к простому сверху"), так и $S_2>S_1$ (если $p_t+2$ - изолированное составное или простое).

Понятно, что на результат вычислений выбор обозначений не влияет, вопрос личных предпочтений и привычек. Мне больше первый из двух способов выше нравится, в нем всегда $S_2>S_1$, это удобно.

Еще мелкий вопрос, у Вас $p_1=3$ или $5$? Я так понял, что $5$. На самом деле, раз мы пытаемся доказать бесконечность близнецов, можно откинуть сколь угодно длинное (конечное) начало ряда, важно только как эти величины ведут себя "на бесконечности" (при достаточно больших $p_t$). Поэтому вот это совершенно нестрашно:
Батороев в сообщении #1568107 писал(а):
Если Вы имели в виду заменить в (3) $p_{t}+2$ на $ \ln^4p$, то неравенство сразу приобретает обратный знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение04.11.2022, 11:27 


23/01/07
3379
Новосибирск
waxtep
У нас есть полная свобода, что-за что принимать... в зависимости от подхода.

(Оффтоп)

и пока учебники по этой теме не написаны :-)

Чтобы получить доказательство, есть два варианта:
1. Получить неравенство, в котором отношение произведения бОльших близнецов к произведению меньших больше бесконечно возрастающей функции (это мой вариант с использованием корня из крайнего числа, но с сомнением бесконечности возрастания такой функции). Под функцией я подразумеваю правую часть неравенств.
2. Получить неравенство, в котором отношение произведения меньших близнецов к произведению бОльших меньше бесконечно убывающей функции.

Остальные варианты не подходят, т.е. показать, что отношение произведения бОльших близнецов к произведению меньших меньше постоянно возрастающей функции, не ведет к противоречию (что и происходит в Вашем случае с использованием четвертой степени логарифма). Также не будет продуктивным и неравенство, в котором отношение произведения меньших близнецов к бОльшим больше бесконечно убывающей функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.11.2022, 01:59 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
Раз свобода, предлагаю первого способа придерживаться, то есть:
а) пусть $p,s$ - упорядоченные естественным образом последовательности простых чисел больших $3$ и нечетных составных чисел соответственно, т.е. $p_1=5,p_2=7,\ldots,s_1=9,s_2=15,\ldots$;
б) определим зависящие от натурального индекса $t$ произведения$$\begin{cases}
P_0(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{i\leqslant t\\p_i\pm2\not\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_0(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i\pm2\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\
\\
P_1(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{i\leqslant t\\p_i+2\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_1(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i-2\in\mathbb{P}\\s_i+2\not\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\\\
P_2(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{2\leqslant i\leqslant t\\p_i-2\in\mathbb{P}}}\!\!\!p_i,\;S_2(t)=\!\!\prod\limits_{\substack{s_i<p_t\\s_i-2\not\in\mathbb{P}\\s_i+2\in\mathbb{P}}}\!\!\!s_i\\
\end{cases}$$Например, для $t=10,p_t=37$ и $$\begin{cases}P_0(10)=23\cdot37,\,S_0(10)=9\cdot15\cdot21\\
P_1(10)=5\cdot11\cdot17\cdot29,\,S_1(10)=25\cdot33\\
P_2(10)=7\cdot13\cdot19\cdot31,\,S_2(10)=27\cdot35\end{cases}$$Далее, в этих обозначениях имеем:$$G(t)=\prod\limits_{i=1}^{t}\frac{p_i+2}{p_i-2}=\frac{p_t+2}3\cdot\frac{P_2(t)}{P_1(t)}\cdot\frac{S_1(t)}{S_2(t)}\,\Rightarrow\,\frac{P_2(t)}{P_1(t)}=\frac{3G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}$$Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда $$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.11.2022, 03:25 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
Грызет меня червячок неаккуратности, давайте концовку выпишу поточнее, выделив добавленный текст:

Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что в этом предположении $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда, поскольку при сделанном предположении и изолированные составные числа закончились, можно записать$$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось, и, в полном соответствии со сделанным предположением, получаем$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\operatorname{const}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.11.2022, 10:29 


23/01/07
3379
Новосибирск
waxtep в сообщении #1568975 писал(а):
изолированные составные числа закончились


Не возьму в толк, на чем основывается данное утверждение. Или это - всего лишь предположение?

-- 05 ноя 2022 14:42 --

Изолированные составные числа яляются показателем наличия двоюродных простых чисел (простых, отличающихся друг от друга на $4$), но не простых чисел-близнецов. Т.е. для отсутствия изолированных чисел вкупе со сделанным предположением надо, как минимум, доказывать, что двоюродные простые заканчиваются одновременно (или раньше) простых чисел-близнецов. Боюсь, что эта задача такая же не тривиальная, как и рассматриваемая нами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.11.2022, 14:08 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
Батороев в сообщении #1568983 писал(а):
Изолированные составные числа яляются показателем наличия двоюродных простых чисел (простых, отличающихся друг от друга на $4$), но не простых чисел-близнецов.
Да, Вы правы, ерунду написал, имеет смысл дальше поразмышлять

-- 05.11.2022, 14:31 --

Вот так будет аккуратно:

Теперь, чтобы вывести противоречие из предположения, что простых близнецов лишь конечное число, достаточно доказать, что в этом предположении $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$ с ростом $t$ растет быстрее (или, наоборот, медленнее - это тоже годится!), чем $\dfrac{p_t}{G(t)}$; необязательно на корень, хотя бы чуть-чуть быстрее/медленнее, уже будет вполне достаточно. Получится ли? Мне кажется, к сожалению, нет: пусть $f$ - индекс последнего простого близнеца в последовательности $p$, и $t>f$, тогда, поскольку при сделанном предположении и изолированные составные числа закончились, можно записать$$\frac{S_1(f)}{S_2(f)}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{p_{f+1}-2}{p_f+2}\cdot\frac{p_{f+2}-2}{p_{f+1}+2}\cdot\ldots\cdot\frac{p_{t-1}-2}{p_{t-2}+2}\cdot\frac{p_{t}-2}{p_{t-1}+2}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t-2}{G(t-1)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{p_t+2}{G(t)}$$(поскольку для изолированных составных чисел $p_i+2=p_{i+1}-2$, и соответствующие изолированным составным дроби - это единицы), а это ровно скорость роста $\dfrac{p_t}{G(t)}$, - ни шага в сторону не получилось, и, в полном соответствии со сделанным предположением, получаем$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\operatorname{const}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.
Сообщение05.11.2022, 17:03 
Аватара пользователя


07/01/16
1264
Аязьма
...говоря человеческим языком, возможность сплошной записи$$\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{S_2(f)}{S_1(f)}\cdot\prod\limits_{i=f}^{t-1}\frac{p_{i+1}-2}{p_i+2}$$с использованием всех пар простых $(p_i,p_{i+1}),f\leqslant i\leqslant t-1$, без пропусков, опирается на два соображения:

а) наше предположение, что $f$ - индекс последнего близнеца в последовательности $p$, и для $i\geqslant f$ невозможно $p_i+2>p_{i+1}-2$ (что характерно именно для близнецов);
б) определение изолированного составного, для которого выполняется $p_i+2=p_{i+1}-2$; но раз так, в этом случае $\dfrac{p_{i+1}-2}{p_i+2}=1$ и таких дробей в произведение можно добавлять сколько угодно по вкусу.

Ну а все остальные пары, где $p_i+2<p_{i+1}-2$, входят в произведение по праву: $p_i+2$ в $S_1(t)$, а $p_{i+1}-2$ в $S_2(t)$, откуда и выводится в итоге$$t\geqslant f\Rightarrow\frac{G(t)}{p_t+2}\cdot\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac{G(f)}{p_f+2}\cdot\frac{S_2(f)}{S_1(f)}=\operatorname{const}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 295 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group