Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Составил формулу приблизительного расчета количества простых-близнецов до $n$:

$$\pi_{2}(n)=\dfrac {1,319\cdot n}{(\ln {n}-\frac {e^3+1}{e^3})^2}$$

где $n$ - натуральное число.

Хотелось бы узнать от специалистов, владеющих вычислительными методами, велика ли погрешность формулы на больших числах $n$?

[Dmitriy40]

Отношение числа по этой формуле к точному значению $\pi_2(n)$ из A000882:

Используется синтаксис Text

3!: 14.375420
5!: 1.789160
7!: 0.999948
11!: 0.985096
13!: 0.986999
17!: 0.993140
19!: 0.984737
23!: 0.994316
29!: 0.996078
31!: 0.997523
37!: 0.998398
41!: 0.998928
43!: 0.999257
47!: 0.999452

Для достаточно больших $n$ дробью в знаменателе (которая равна $1+e^{-3}\approx 1.049787$) можно пренебречь и получится классическое $2C_2\frac{n}{\ln^2(n)}$ с константой простых-близнецов. Соответственно вопрос о величине погрешности является переформулировкой вопроса о точности первой гипотезы Харди — Литтлвуда. Можно было сразу так и спросить.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1528328 писал(а):

Для достаточно больших $n$ дробью в знаменателе (которая равна $1+e^{-3}\approx 1.049787$) можно пренебречь и получится классическое $2C_2\frac{n}{\ln^2(n)}$ с константой простых-близнецов.

Та формула, которую Вы указали, на мой взгляд, обладает некоторым недостатком. Как мне видится, если кривизна ее графика не очень точно приближена к кривой действительного распределения пар простых-близнецов, то при любой константе кривые рано или поздно все равно разойдутся (может, и с пересечением друг с другом). Не буду утверждать, что оптимально приблизил форму своей кривой за счет дроби, но по крайней мере улучшил... что косвенно подтверждают Ваши расчеты (как Вы наверное поняли, я искал максимально приближенную "нижнюю границу" распределения пар простых-близнецов).
Кроме того, такая дробь также "улучшает" и классическую формулу количества самих простых чисел:

$$\pi(n) = \dfrac {n}{\ln{n}-(1+e^{-3})}$$

(т.е. коэффициент $B=1,08366$ в формуле Лежандра, на мой вгляд, завышен).

[Dmitriy40]

Эти (не ваши) формулы интересны на бесконечности (при достаточно больших $n$), а там это ваше "улучшение" исчезает.

[Sonic86]

Батороев в сообщении #1528354 писал(а):

Кроме того, такая дробь также "улучшает" и классическую формулу количества самих простых чисел:

$$\pi(n) = \dfrac {n}{\ln{n}-(1+e^{-3})}$$

(т.е. коэффициент $B=1,08366$ в формуле Лежандра, на мой вгляд, завышен).

Батороев, вот Вы сколько лет на форуме, но так и не выучили, что для $\pi (x)$ асимптотически наилучшим приближением является

$$\pi(x)\sim\mathop{Li}(x)=\int\limits_2^{x}\frac{dt}{\ln t}\sim\frac{0!x}{\ln x} + \frac{1!x}{\ln^2 x} + \frac{2!x}{\ln^3 x} + ...$$

(ряд получается интегрированием по частям)
С точностью

$$|\pi(x)-\mathop{Li}(x)|=O(\sqrt{x}\ln^2 x)$$

при условии истинности гипотезы Римана.
Ну как так-то!?

[Harris Starks]

This question is mathematically wrong. Check up to the first million on your computer. Furthermore, this question is incomplete from its end, the structure of the question asked is not well defined. In the limit of a fixed primary, the primes are distributed quite regularly. This query is totally wrong.

[ozheredov]

Harris Starks в сообщении #1531482 писал(а):

the structure of the question asked is not well defined

AI can not parse this question. Батороев, please rearrange some words in your starting message and try to ask your question again

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1528374 писал(а):

Эти (не ваши) формулы интересны на бесконечности (при достаточно больших $n$), а там это ваше "улучшение" исчезает.

Под словами "рано или поздно" я и подразумевал бесконечность.
Может, и мое "улучшение" исчезнет, но кое-какую "пищу для размышлений" дать успеет... быть может. Я записал свою формулу не для того, чтобы "потрясть мир", а всего лишь для того, чтобы кто-то помог мне определить степень приближения, что Вы с успехом и сделали. Спасибо в очередной раз!

Sonic86 в сообщении #1528381 писал(а):

Батороев, вот Вы сколько лет на форуме, но так и не выучили, что для $\pi (x)$ асимптотически наилучшим приближением является

Я в курсе, что в расчетах числа простых чисел математики продвинулись далеко и не собирался в этой области даже копаться, а привел вариант "классической" формулы лишь под рубрикой "кстати".

ozheredov в сообщении #1532244 писал(а):

AI can not parse this question. Батороев, please rearrange some words in your starting message and try to ask your question again

Хорошо. Но для того, чтобы этот ИИ правильно разобрался, для начала мне нужна структура его самого. А то без Вас я ничего из его слов не понял.

[Батороев]

Нашел удивитель необычный способ доказательства бесконечности простых чисел-близнецов.
В итоге получил, что в натуральном ряду в пределах чисел, не превышающих отдельно расположенное простое число $p_{0r}>100$, выполняется неравенство:

$$P_{1}\cdot P_{2}> \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2\cdot p_{0r}}{P_{0}^2\cdot (p_{0r}-2)}$$

где:
$P_{1};P_{2};P_{0}$ - произведения, соответственно: младших, старших простых чисел-близнецов (без учета чисел $3;5$) и отдельно расположенных простых чисел;
$S_{1};S_{2};S_{0}$ - произведения, соответственно: младших, старших составных чисел-близнецов (составные числа, отличающиеся друг от друга на $2$) и отдельно расположенных составных чисел.

[Dmitriy40]

Батороев
Что такое "отдельно расположенное простое число"? То которое не входит в простые числа-близнецы? Т.е. числа $x-2$ и $x+2$ оба составные?
Что такое "отдельно расположенное составное число"? То которое не входит в составные числа-близнецы? Т.е. значит числа $x-2$ и $x+2$ оба простые? Но ведь чётные числа все таковы (кроме 2 и 4).
Произведения подразумеваются всех чисел $\le p_{0r}$ или лишь одной любой пары (тройки)?
Если про произведения всех, то факт очевидный — и неверный: простых меньше чем чётных, потому произведение простых будет меньше произведения чётных.
Если произведение одной любой пары, то можно выбрать пару (тройку) простых сильно меньше пары (тройки) составных и формула снова будет неверной.
Так что будьте добры написать точные формулы для $P_1;P_2;P_0;S_1;S_2;S_0$. Символы сумм и произведений в LaTeX есть, факт простоты числа можно записать как $\operatorname{isprime}(x)$.

[Батороев]

Dmitriy40
Примеры:
- отдельно расположенные составные числа: $9, 15,21 $
- отдельно расположенные простые числа: $23,37,47$
- младшие составные числа: $25, 33, 49,...,115$
-старшие составные числа: $35,39,51,...,125$

Важное упущение. Следует читать с выделенным:

Батороев в сообщении #1565137 писал(а):

В итоге получил, что в натуральном ряду в пределах НЕЧЕТНЫХ чисел, не превышающих отдельно расположенное простое число $p_{0r}>100$, выполняется неравенство:

$$P_{1}\cdot P_{2}> \dfrac {S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{0}^2\cdot p_{0r}}{P_{0}^2\cdot (p_{0r}-2)}$$

Dmitriy40 в сообщении #1565151 писал(а):

Произведения подразумеваются всех чисел $\le p_{0r}$ или лишь одной любой пары (тройки)?

Имеются в виду произведения всех упомянутых нечетных чисел.

[Dmitriy40]

Батороев
Будут ли числа $91; 93; 95$ старшими/младшими составными? И тут две пары или одна (тогда какая и почему)?
Сколько пар составных среди чисел $889;891;893;895;897;899;901;903;905$ и какие (и почему если их не 8 штук)?

[Батороев]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1565151 писал(а):

Так что будьте добры написать точные формулы для $P_1;P_2;P_0;S_1;S_2;S_0$. Символы сумм и произведений в LaTeX есть, факт простоты числа можно записать как $\operatorname{isprime}(x)$.

Я уже писал, что занимаюсь математикой для своего удовольствия, поэтому выписывать формулы и само доказательство месяцами, как было в прошлый раз, нет времени. Техника ждет!

-- 21 сен 2022 19:39 --

Dmitriy40 в сообщении #1565163 писал(а):

Батороев
Будут ли числа $91; 93; 95$ старшими/младшими составными? И тут две пары или одна (тогда какая и почему)?
Сколько пар составных среди чисел $889;891;893;895;897;899;901;903;905$ и какие (и почему если их не 8 штук)?

Число $91$ - младшее составное; $95$ - старшее составное; $93$ - в формуле не участвует. Одна пара.
$889$ - младшее составное; $905$ - старшее составное; остальные в формуле не используются. Итого - опять одна пара.

[Dmitriy40]

Батороев
Вы не просто формулы не пишете, но и словами объясняете непонятно, пришлось дважды переспрашивать и самому домысливать.

Зачем в формуле коэффициент $p_{0r}/(p_{0r}-2)$ неясно, она и без него выполняется начиная с $p_{0r}=37$ (а не только $p_{0r}>100$).
Проверочный код на PARI:

{forprime(p0r=3,1000,
   if(isprime(p0r-2) || isprime(p0r+2), next);\\Считаем только до одиночных простых
   p1=1; p2=1; p0=1; s1=1; s2=1; s0=1;
   forstep(x=3,p0r,2,
      if(isprime(x),
         if(!isprime(x-2) && !isprime(x+2), p0*=x);\\Одиночное простое
         if(isprime(x-2), p1*=x-2; p2*=x);\\Конец простых близнецов
      ,
         if(isprime(x-2) && isprime(x+2), s0*=x);\\Одиночное составное
         if(isprime(x-2) && !isprime(x+2), s1*=x);\\Начало составных близнецов
         if(!isprime(x-2) && isprime(x+2), s2*=x);\\Конец составных близнецов
      );
   );
   if(p1*p2<s1*s2*s0^2*p0r/p0^2/(p0r-2), print("ERROR!"));
)}

[Батороев]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1565175 писал(а):

Вы не просто формулы не пишете, но и словами объясняете непонятно, пришлось дважды переспрашивать и самому домысливать

Я ранее упоминал, что в некоторых случаях, когда сильно "раскочегариваю" мозги, мысли начинают путаться. Уж сильно не обижайтесь на старика на пожилого человека.

Dmitriy40 в сообщении #1565175 писал(а):

Зачем в формуле коэффициент $p_{0r}/(p_{0r}-2)$ неясно, она и без него выполняется начиная с $p_{0r}=37$ (а не только $p_{0r}>100$).

Упомянутый Вами коэффициент, как мне представляется, повышает точность.
Могли бы Вы произвести оценку погрешности моего неравенства, поделив левую часть неравенства на правую для достаточно больших чисел?