Подмножества вещественных чисел

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

"бесконечнее континуума" (то есть $\aleph_2$)

Это я пропустил, но вообще говоря из ZFC нельзя вывести, как соотносятся континуальная мощность и $\aleph_2$ - может равны, можно одно меньше, может другое.

Dicson в сообщении #1565028 писал(а):

Только что в моём посте натолкнуло вас на этот вопрос?

Выражение

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

реального объекта, который "бесконечнее континуума"

Совершенно очевидно, что никакие математические объекты в природе не встречаются, и $\aleph_2$ ничем в этом смысле не отличается от числа $2$.

Dicson в сообщении #1565028 писал(а):

А $\aleph_2$ какой?

Ильф и Петров, 12 стульев писал(а):

Ну, такой... в форме змеи.

Вопрос "какие свойства есть у математического объекта" малоосмысленен. Смысл имеет вопрос "обладает ли данный объект данным свойством". Какие именно свойства вас интересуют?

Dicson в сообщении #1565031 писал(а):

где я, по-моему, всё максимально понятно написал

Внятен из этого только раздел, в котором окажется тема, если вы не начнете более четко формулировать.

[Dicson]

mihaild в сообщении #1565033 писал(а):

из ZFC нельзя вывести, как соотносятся континуальная мощность и $\aleph_2$ - может равны, можно одно меньше, может другое.

Так это и ответ. Впрочем, я так сразу и предположил.

Соответственно, вот это:

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

Но по аналогии некоторые свойства $\aleph_2$, вероятно, предположить можно. Или нельзя? Например, если в действительных числах массово возникают такие объекты, координаты которых можно указать только приблизительно, то в "более бесконечном, чем континуум" объекте, вероятно, массово будут возникать такие объекты, про которые можно только сказать, что они есть (то есть только назвать их, обозначить), потому что как-либо формально "задать" их координаты будет уже невозможно. Из чего, в свою очередь, следует, что если такой объект и существует, то это явно будет что-то очень необычное.

...возможно (если мощность $\aleph_2$ больше континуальной), но необязательно (потому что, как соотносится мощность $\aleph_2$ и континуума, неизвестно)?

И если говорить неформально. Мы наблюдаем в природе поверхности, линии и абстрагируем эти явления в континуум - математический объект, формализуем его и т. д.. Можете ли вы предположить такое реальное явление, которое после абстрагирования и формализации потребует определить его мощность, как мощность выше континуальной и как именно $\aleph_2$?

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565034 писал(а):

Соответственно, вот это:

Является, извините, набором слов, не имеющих никакого математического смысла.
$\aleph_2$ существует ровно в том же смысле, что и число $2$, вещественные числа и пустое множество.

И чем вам так важен именно $\aleph_2$? Почему не $\aleph_{42}$ и не $\aleph_{\omega \cdot 666}$?

Dicson в сообщении #1565034 писал(а):

Мы наблюдаем в природе поверхности, линии и абстрагируем эти явления в континуум - математический объект, формализуем его и т. д.

Перечитайте

mihaild в сообщении #1565027 писал(а):

И то, что два разных объекта называются одним словом, не означает, что между ними есть какая-то связь.

и прекратите спекулировать на омонимии.

[Someone]

Dicson в сообщении #1565028 писал(а):

Что касается свойств, то у континуума есть свойства? Он сплошной, например (видимо, есть формальное определение этого свойства, но сейчас это не важно).

? Что значит — "сплошной"? Я не знаю такого термина. Связный?

И о каком "континууме" Вы говорите?
Если о кардинале (мощности множества действительных чисел), то к нему топологическое понятие связности неприменимо. С другой стороны, в книге Виленкина упоминается канторово совершенное множество. Его мощность равна континууму (об этом у Виленкина написано), но оно несвязно и даже нульмерно. В каком смысле оно может быть "сплошным", представить себе трудно.
Если о связном компактном метрическом пространстве, то оно связно по определению.

Dicson в сообщении #1565028 писал(а):

А $\aleph_2$ какой? Впрочем, я уже пояснил, что имеется в виду.

А что Вас так именно кардинал $\aleph_2$ заинтересовал? Континуум может быть больше не только $\aleph_1$, но также больше $\aleph_2,\aleph_3,\ldots,\aleph_{\omega},\aleph_{\omega+1},\ldots,\aleph_{\omega_1}$, и так далее. Конечно, до первого сильно недостижимого кардинала он не дотянет, но меньше континуума может оказаться совершенно необозримое множество кардиналов.

Dicson в сообщении #1565034 писал(а):

Можете ли вы предположить такое реальное явление, которое после абстрагирования и формализации потребует определить его мощность, как мощность выше континуальной и как именно $\aleph_2$?

Откуда мы знаем, какие явления нам могут встретиться в будущем, и какие для них потребуются модели? Да и на теории множеств свет клином не сошёлся.

[Dicson]

Someone в сообщении #1565037 писал(а):

И о каком "континууме" Вы говорите?

Я говорю вот об этом континууме - см. цитату ниже. У Виленкина континуум явным образом отождествляется в том числе с такими объектами, как линия/площадь/объём, и одновременно с множеством действительных чисел.

Цитата:

"Теперь уже несложно доказать, что множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел, так как каждой точке прямой соответствует действительное число и обратно. (…) Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности."

Рассказы о множествах, стр. 79, 86.

Именно так я и понимал связь множества точек континуума и множества действительных чисел до прочтения Виленкина, а его книга это понимание только подтвердила. И далее, исходя из этой связи, я спрашивал о возможных свойствах объекта, который, с одной стороны, будет больше континуума как множества действительных чисел, а с другой - больше континуума как линии/площади/объёма. Проще говоря, речь идёт о такой, условно говоря, "линии/площади/объёме", мощность множества точек которой больше мощности множества действительных чисел.

Математически существование такого объекта вроде бы возможно. В построении порядковых чисел мы отображаем множество точек луча $(0; \infty)$ на промежуток $(0; 1)$, строим новый луч, снова отображаем и так бесконечно. Таким образом, когда-нибудь мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ этого луча станет сколь угодно больше мощности действительных чисел.

Одновременно я предполагаю, что, вероятно, свойства этого объекта, как объекта больше линии/площади/объёма, только математическими средствами невыводимы (то есть необходимо вначале увидеть этот объект в реальности, как мы увидели линию/площадь/объём). А также делаю предположение о свойствах этого объекта, как объекта больше множества действительных чисел, исходя из известных свойств действительных чисел.

Что касается названия этого объекта, то я исходил из аналогии (неверной?), что если $\aleph_0$ - это мощность натуральных чисел, $\aleph_1$ - мощность континуума, то $\aleph_2$ в таком случае - мощность больше континуума. Поэтому и спрашивал об $\aleph_2$. Надо же этот объект как-то обозначить. То есть я понимаю, что $\aleph_2$ - это просто мощность множества, его характеристика, а не какой-либо конкретный объект, но как ещё описать объект, для которого нет названия, как не через его известную характеристику и одновременно добавить пояснения, что конкретно имеется в виду? Это же и не множество натуральных чисел, и не множество действительных, и потому линией/площадью/объёмом или континуумом его по этим причинам тоже назвать нельзя. Может быть, вместо просто $\aleph_2$ в этом случае всё-таки подойдёт название "гиперконтинуум" с указанием мощности?

Что в сказанном неверно? На каком шаге? Вроде бы я не отхожу от АИ в лице Виленкина, а лишь пытаюсь узнать, что за объекты находятся за той, как он говорит, "мощностью, которую мы знаем", каковы свойства этих объектов. Причём даже если на эти вопросы нет ответа, то сами-то вопросы, наверное, имеют смысл.

[svv]

А что такое АИ?

[Dicson]

svv в сообщении #1565097 писал(а):

А что такое АИ?

Вы, например, полагаю - как ЗУ. Авторитетный источник.

[svv]

Спасибо Только, к сожалению, не в этих вопросах.

[Dicson]

Сделали замечание, что мощность континуума - $2^{\aleph_0}$, тогда "больше континуума" - $2^{2^{\aleph_0}}$.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

У Виленкина континуум явным образом отождествляется в том числе с такими объектами, как линия/площадь/объём

Это неправда. Виленкин говорит, что мощности этих множеств - континуум. Это примерно как сказать, что утверждение "температура кипения воды 100 градусов" отождествляет воду с числом 100.

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

В построении порядковых чисел мы отображаем множество точек луча $(0; \infty)$ на промежуток $(0; 1)$, строим новый луч, снова отображаем и так бесконечно. Таким образом, когда-нибудь мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ этого луча станет сколь угодно больше мощности действительных чисел.

Никакого отношения к порядковым числам этот текст не имеет, и к доказательству существования мощностей больших континуальных - тоже.

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

свойства этого объекта

О каких свойствах речь? Минимум второй раз спрашиваю.

[Dicson]

mihaild в сообщении #1565105 писал(а):

Это неправда. Виленкин говорит, что мощности этих множеств - континуум. Это примерно как сказать, что утверждение "температура кипения воды 100 градусов" отождествляет воду с числом 100.

Почему неправда? Через действительные числа. В цитате написано: "множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел" и далее, вторая цитата: "мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума". То есть континуум - это не просто количество, но ещё и действительные числа, а действительные числа - это числовая прямая, отрезки, то есть континуум в смысле мощности множества точек отрезка, линии и т. д.. Разве не так?

mihaild в сообщении #1565105 писал(а):

Никакого отношения к порядковым числам этот текст не имеет, и к доказательству существования мощностей больших континуальных - тоже.

У меня не хватает знаний, чтобы с вами не согласиться, но не могли бы вы пояснить, почему не имеет отношения? И второе. Как я понимаю, вы утверждаете, что существование мощностей больше континуальных не доказано, хотя и возможно. Но разве $2^\mathbb R$ не больше континуума?

mihaild в сообщении #1565105 писал(а):

О каких свойствах речь? Минимум второй раз спрашиваю.

Я это уже писал и не один раз. Например вчера (адрес ссылки оставил, а цитату изменил с учётом прошедшего обсуждения).

Dicson в сообщении #1565024 писал(а):

Если всё сказанное верно, то на самом деле ответ на вторую часть моего вопроса тоже получен. Свойства именно реального объекта, который "больше континуума", то есть такой линии/площади/объёма, мощность множества точек которого больше мощности множества действительных чисел, одними только математическими средствами невыводимы. Чтобы эти свойства узнать, надо прежде обнаружить такой объект где-то в природе.

Но по аналогии некоторые свойства этого объекта, как уже объекта математического, вероятно, предположить можно. Например, если на числовой прямой (понимая её как синоним множества действительных чисел) массово возникают такие элементы, координаты которых можно указать только приблизительно, то в объекте больше действительных чисел, вероятно, массово будут возникать такие элементы, про которые можно только сказать, что они есть (то есть только назвать их, обозначить), потому что как-либо формально "задать" их координаты будет уже совершенно невозможно. Из чего, в свою очередь, следует, что если такой объект и существует, то это явно будет что-то очень необычное.

Но вообще, чтобы рассуждать о том, что может быть реальным прообразом "линии/площади/объёма, множество точек которой больше множества действительных чисел", и возможно ли такое явление в реальности вообще, по-моему, надо тему в Свободном полёте открывать. Здесь же, я думаю, следует ограничиться необходимым минимумом в трансляции каких-то собственных идей. Вот предположением, которое выше, я хочу и ограничиться.

[Mikhail_K]

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

В цитате написано: "множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел" и далее, вторая цитата: "мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума". То есть континуум - это не просто количество, но ещё и действительные числа, а действительные числа - это числовая прямая, отрезки, то есть континуум в смысле мощности множества точек отрезка, линии и т. д.. Разве не так?

Это верно, что континуум есть мощность множества действительных чисел или, что то же самое, мощность множества точек на прямой. Однако, мощность континуум могут иметь и многие другие множества, в т.ч. вообще не геометрической природы. Поэтому можно определить континуум как мощность прямой, но нельзя "отождествлять" континуум только с геометрическими объектами.

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

В построении порядковых чисел мы отображаем множество точек луча $(0; \infty)$ на промежуток $(0; 1)$, строим новый луч, снова отображаем и так бесконечно. Таким образом, когда-нибудь мощность множества точек каждого отрезка $[n; n + 1]$ этого луча станет сколь угодно больше мощности действительных чисел.

mihaild в сообщении #1565105 писал(а):

Никакого отношения к порядковым числам этот текст не имеет, и к доказательству существования мощностей больших континуальных - тоже.

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

У меня не хватает знаний, чтобы с вами не согласиться, но не могли бы вы пояснить, почему не имеет отношения?

Потому что это очень странный текст, в котором не видно никакого смысла. Откуда Вы его взяли? Могу предположить, что это из какого-то очень популярного изложения, к тому же неточно переданного.

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

Как я понимаю, вы утверждаете, что существование мощностей больше континуальных не доказано, хотя и возможно.

Нет, mihaild утверждает лишь, что конкретно приведённый Вами текст не имеет отношения к доказательству существования таких мощностей. А так, Вы правы в том, что мощности больше континуума существуют и это доказано.

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

Но разве $2^\mathbb R$ не больше континуума?

Да, больше.

[mihaild]

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

"мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума". То есть континуум - это не просто количество, но ещё и действительные числа

Нет. Я вам уже говорил - словосочетание "мощность континуума" неделимо. Фраза Виленкина говорит о мощности множества точек прямой, а не самом этом множестве.
Сама по себе мощность объектом теории множеств не является (на вашем текущем уровне; есть некоторые хитрые способы это частично обойти, но сейчас они неважны).
Можно сказать "два множества имеют одинаковую мощность". Можно сказать "множество имеет мощность континуума" (иногда говорят "множество имеет мощность континуум", "мощность множества - континуум", "множество континуально" и т.д. - это всё "синтаксический сахар", просто более удобные грамматически способы сказать одно и то же) - это означает "множество равномощно вещественным числам". Прочитайте внимательно определение у Виленкина на странице 85:

Цитата:

Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие множества назвали множествами мощности континуума

Иногда мощность для удобства даже как-нибудь обозначают и потом сравнивают с другой мощностью. Например говорят "множество натуральных чисел имеет мощность меньше $\mathfrak{c}$". Но означает это утверждение "мощность натуральных чисел меньше множества вещественных", что, в свою очередь, означает, что существует инъективная функция из натуральных чисел в вещественные, но не наоборот.

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

У меня не хватает знаний, чтобы с вами не согласиться, но не могли бы вы пояснить, почему не имеет отношения?

А почему должно иметь? Почти любой текст никак не связан с ординалами, и ваш в этом плане вполне типичен.

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

Как я понимаю, вы утверждаете, что существование мощностей больше континуальных не доказано, хотя и возможно

Неправильно понимаете. Существование мощностей больше континуальной - тривиальное следствие из теоремы Кантора.

(Оффтоп)

Хотя на каком-то экзамене студент, у которого один из вопросов был как раз теорема Кантора (о неравномощности $A$ и $\mathcal P(A)$) после (хорошо рассказанного) доказательства на вопрос "а существуют ли множества мощности больше чем континуум?" уверенно ответил "нет".

Dicson в сообщении #1565111 писал(а):

Я это уже писал и не один раз.

Процитированный (вами ниже) фрагмент ответа на вопрос не содержит.

[Someone]

Dicson в сообщении #1565096 писал(а):

Я говорю вот об этом континууме - см. цитату ниже. У Виленкина континуум явным образом отождествляется в том числе с такими объектами, как линия/площадь/объём, и одновременно с множеством действительных чисел.

Вы здесь явно путаетесь. У Вас получается, образно говоря, что "вода" и "температура воды" — это одно и то же. Виленкин нигде не говорит, что кардинал, называемый "континуум" — это и есть множество действительных чисел. По определению, континуум — это мощность множества действительных чисел. А также мощность отрезка числовой прямой, квадрата, куба, канторова совершенного множества, множества подмножеств натурального ряда, множества последовательностей рациональных чисел. А также ещё большого количества множеств разной степени интересности. Наделять этот кардинал свойствами, присущими какому-либо конкретному множеству, не следует. Я вижу, что Вас это сбило с толку и увело в направлении бессмысленных философствований.

[svv]

Dicson
Может, Вам нужен просто понятный пример множества мощности большей, чем континуум? Таково, например, множество функций $f: \mathbb R\to\mathbb R$ (вещественнозначных функций вещественной переменной). Или даже множество функций $f: \mathbb R\to\{0, 1\}$.