Плоскости умножения в комплексном пространстве

[mihaild]

ИМХО тут Винберг немного неудачно выразился.
Говорить просто о единственности какой-то алгебраической структуры - странная затея. Вот взяли наше $\mathbb C$, заменили в нём $i$ на первый попавшийся объект, не являющийся комплексным числом, определили операции с ним как с $i$ - получили формально другое поле комплексных чисел (естественно изоморфное оригинальному).
Это я неправильно прочитал, у Винберга всё хорошо. Теорема утверждает следующее: все поля комплексных чисел изоморфны, причем изоморфизм между двумя полями комплексных чисел переводит вещественные числа в себя. Вот это второе свойство возникает как раз из-за того, что в определении комплексных чисел явно используем конкретное поле вещественных (так что можно потом сказать, какое именно подполе нашей новой структуры - вещественные числа).

Еще тут важно следующее. У поля вещественных чисел нет нетривиальных автоморфизмов (если бы они были, то между двумя моделями можно было бы построить больше одного изоморфизма).
А вот у поля комплексных чисел нетривиальные автоморфизмы есть. Один из них сохраняет вещественные числа (и думаю вы его если постараетесь сможете найти), остальные нет (и в отсутствии аксиомы выбора остальные существовать не обязаны).
Но если зафиксировать, какое именно подполе поля комплексных чисел мы называем $\mathbb R$, а так же какой именно элемент является мнимой единицей, то с этими дополнительными структурами у поля комплексных чисел нетривиальных автоморфизмов уже не остается.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

А вот у поля комплексных чисел нетривиальные автоморфизмы есть. Один из них сохраняет вещественные числа (и думаю вы его если постараетесь сможете найти),

Я думаю, Вы имеете в виду сопряжение.

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

остальные нет

Все остальные получаются вращением плоскости комплексных чисел вокруг точки $0$ и сопряжением для каждого положения плоскости при этом вращении? Больше никаких нетривиальных автоморфизмов нет?

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

(и в отсутствии аксиомы выбора остальные существовать не обязаны).

Вот это я не очень понимаю. Мне кажется, что они существуют (раз можно вращать плоскость комплексных чисел), а выбирать их или нет, это другое дело. Но я, конечно, как-то не так понимаю.

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

Но если зафиксировать, какое именно подполе поля комплексных чисел мы называем $\mathbb R$,

то есть если выбрать прямую, проходящую через нулевую точку плоскости комплексных чисел, и назначить ее чисто вещественной прямой этой плоскости

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

а так же какой именно элемент является мнимой единицей,

[для каждой прямой, проходящей через нулевую точку плоскости комплексных чисел, имеется только два таких элемента (только две точки этой плоскости)]

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

то с этими дополнительными структурами у поля комплексных чисел нетривиальных автоморфизмов уже не остается.

Почему Вы здесь говорите о дополнительных структурах? По-моему, выбор подполя и одного из двух соответствующих ему элементов (назначаемого элементом $i$) это необходимое определение поля $\mathbb C$, а не дополнительная структура.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564649 писал(а):

Все остальные получаются вращением плоскости комплексных чисел вокруг точки $0$ и сопряжением для каждого положения плоскости при этом вращении?

Это не автоморфизм комплексных чисел - умножение не сохраняется.
Вообще, любой автоморфизм поля комплексных чисел сохраняет все рациональные числа (выше было упражнение от Someone со списком подсказок, как это доказать, сейчас может быть стоит сделать еще один подход).

Vladimir Pliassov в сообщении #1564649 писал(а):

Но я, конечно, как-то не так понимаю.

Посмотрите формулировку аксиомы выбора:) Она утверждает существование некоторых множеств, доказать существования которых без её использования не получится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564649 писал(а):

то есть если выбрать прямую, проходящую через нулевую точку плоскости комплексных чисел

Если у нас просто есть поле со сложением и умножением (и гарантией что оно содержит подполе, изоморфное $\mathbb R$ и имеет степень 2 над этим подполем), то всё еще непонятно, как выбирать "прямые".
Если же вы возьмете просто стандартную комплексную плоскость (по сути зафиксируете такое подполе), и посмотрите, какие еще есть подполя, изоморфные вещественным числам - то все подполя кроме зафиксированного прямыми не будут.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564649 писал(а):

По-моему, выбор подполя и одного из двух соответствующих ему элементов (назначаемого элементом $i$) это необходимое определение поля $\mathbb C$, а не дополнительная структура.

Нет, необходимое определение - это что такой выбор сделать можно. В некоторых местах естественным образом возникает поле, изоморфное $\mathbb C$, без явной фиксации, какая именно часть этого поля соответствует вещественным числам.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564658 писал(а):

Вообще, любой автоморфизм поля комплексных чисел сохраняет все рациональные числа (выше было упражнение от Someone со списком подсказок, как это доказать, сейчас может быть стоит сделать еще один подход).

Да, я это помню и держу в поле зрения:

Someone в сообщении #1562932 писал(а):

Обратите внимание, что изоморфизм аддитивных абелевых групп должен сохранять все соотношения вида $mx=ny$, где $m,n\in\mathbb Z$. (Почему?)
Поэтому группу $\mathbb R$ (и вообще $\mathbb R^n$, $n\in\mathbb N$) можно рассматривать как линейное пространство над $\mathbb Q$. (Почему?)

но, я думаю, у меня пока недостаточно информации, чтобы продуктивно этим заниматься, мне надо еще почитать учебники (например, учебник Винберга). То же касается и аксиомы выбора. Тем не менее, что-то я все-таки узнал:

mihaild в сообщении #1564633 писал(а):

У поля вещественных чисел нет нетривиальных автоморфизмов

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564668 писал(а):

Тем не менее, что-то я все-таки узнал

Вы же это утверждение выше сами цитировали из Винберга:)

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564686 писал(а):

Вы же это утверждение выше сами цитировали из Винберга:)

Ну все же не совсем, там ведь говорится не об автоморфизме, а об изоморфизме разных полей:

Цитата:

любые две модели поля вещественных чисел не просто изоморфны, но между ними имеется единственный изоморфизм.

Если можно, еще два вопроса.

Три аксиомы поля $\mathbb C$ по Винбергу (http://mathprofi.com/uploads/files/2581 ... 0d4d87caf3 стр. 20):

Цитата:

1) оно содержит в качестве подполя поле $\mathbb R$ вещественных чисел;

2) оно содержит такой элемент $i$, что $i^2=-1$;

3) оно минимально среди полей с этими свойствами, то есть если $K\subset \mathbb C$-- какое-либо подполе, содержащее $\mathbb R$ и $i$, то $K=\mathbb C.$.

Почему не сказать: "оно не имеет собственных подполей с этими свойствами"? Потому что кольцо, состоящее из одного нуля не считается полем, и поэтому нельзя провести аналогию с несобственными подмножествами? Но ведь можно было бы считать подполе, равное самому полю, его несобственным подполем, несмотря на то, что второго несобственного подполя нет. Впрочем, это не важный вопрос.

Но зачем нужна третья аксиома? Разве может быть поле $\mathbb C'$ с этими свойствами (и вообще какое-нибудь), такое, что $\mathbb C\subsetneq \mathbb C'$?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564689 писал(а):

Ну все же не совсем, там ведь говорится не об автоморфизме, а об изоморфизме разных полей:

Ну это совсем уж близкие вещи: возьмите в цитате Винберга в качестве двух моделей два раза одну и ту же, изоморфизм станет автоморфизмом.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564689 писал(а):

Почему не сказать: "оно не имеет собственных подполей с этими свойствами"?

Ровно это в третьем пункте и сказано. Просто расписано определение собственного подполя.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564689 писал(а):

Разве может быть поле $\mathbb C'$ с этими свойствами (и вообще какое-нибудь), такое, что $\mathbb C\subsetneq \mathbb C'$?

Давайте попробуем разобраться.
Пусть в нашем гипотетическом $\mathbb C'$ есть элемент, которого нет в $\mathbb C$. Обозначим этот элемент $\alpha$.
Пусть теперь $P(z)$ - многочлен с комплексными коэффициентами степени выше $0$. Что вы можете сказать о $P(\alpha)$ - может ли оно оказаться нулем? комплексным числом? Может ли для двух разных таких многочленов $P$ и $Q$ оказаться $P(\alpha) = Q(\alpha)$?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564692 писал(а):

Пусть в нашем гипотетическом $\mathbb C'$ есть элемент, которого нет в $\mathbb C$. Обозначим этот элемент $\alpha$.

Мне трудно представить, чтобы это было возможно:

Возьмем два множества: $\mathbb R$ и $\{i\}\;\; i\notin \mathbb R$.

Декартово перемножим эти множества, получим множество $i\mathbb R=i\times \mathbb R$.

Декартово перемножим множества $\mathbb R$ и $i\mathbb R$, получим множество $\mathbb C=\mathbb R\times i\mathbb R$.

На этом множестве строятся оба поля $\mathbb C, \mathbb C'$ (на основании первых двух аксиом), так что по составу элементов они равны.

Но я постараюсь представить.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564694 писал(а):

На этом множестве строятся оба поля $\mathbb C, \mathbb C'$ (на основании первых двух аксиом), так что по составу элементов они равны.

Нет, вам никто не обещал, что все элементы получаются таким образом. Собственно если бы получались, то $\mathbb C'$ имело бы размерность $2$ как векторное пространство над $\mathbb R$, а расширение степени $2$ (т.е. надполе, имеющее размерность $2$ как векторное пространство) у $\mathbb R$ всего одно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564703 писал(а):

Нет, вам никто не обещал, что все элементы получаются таким образом. Собственно если бы получались, то $\mathbb C'$ имело бы размерность $2$ как векторное пространство над $\mathbb R$, а расширение степени $2$ (т.е. надполе, имеющее размерность $2$ как векторное пространство) у $\mathbb R$ всего одно.

Значит, надо взять большее расширение $\mathbb R$. Пусть имеется одноэлементное множество $\{j\}$, такое, что $j\notin \mathbb C$. Декартово перемножим $\{j\}$ и $\mathbb C$, получим множество $j\mathbb C=\{j\}\times \mathbb C$.

Декартово перемножим $\mathbb C$ и $j\mathbb C$, получим множество $\mathbb C'=\mathbb C\times j\mathbb C$. В этом множестве найдется элемент $\alpha\notin \mathbb C$.

На множестве $\mathbb C'$, полагаю, можно построить систему четырехмерных чисел (в отличие от системы комплексных чисел, являющейся двухмерной). Такой (четырехмерной) системой чисел является система кватернионов, но почему-то в ней имеется не две мнимые единицы, а три. Как с точки зрения декартова произведения может быть в четырехмерной системе три элемента, каждого из которых не было в предыдущем множестве:

в одномерном $\mathbb R$ не было $i$, в двухмерном $\mathbb C$ не было $j$, теперь в четырехмерном $\mathbb C'$ пусть не будет $k$: декартово перемножим $\{k\}$ и $\mathbb C'$, получим $k\mathbb C'$, декартово перемножим $\mathbb C'$ и $k\mathbb C'$, получим восьмимерное $\mathbb C''$?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564708 писал(а):

В этом множестве найдется элемент $\alpha\notin \mathbb C$.

Например $\alpha = j$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564708 писал(а):

Такой (четырехмерной) системой чисел является система кватернионов, но почему-то в ней имеется не две мнимые единицы, а три.

Потому что у нас есть $i$ (из $\mathbb C$), $j$ (новый элемент) и их произведение.
Но кватернионы вам тут не нужны. Тем более что они не поле (нет коммутативности), а речь о поле.

В кватернионах у нас есть $i^2 = j^2 = -1$, но $i \neq \pm j$. Докажите, что в полях такого не бывает.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564708 писал(а):

На множестве $\mathbb C'$, полагаю, можно построить систему четырехмерных чисел

Поле - не получится. Единственные поля, содержащие $\mathbb R$ и имеющие конечную степень над ним - это вещественные и комплексные числа. Но это довольно сложно доказывается. А вот с построением примера поля, содержащего $\mathbb C$ в качестве собственного подполя вы, я думаю, должны справиться. Тем более конструкция универсальная (может быть это послужит вам еще подсказкой) - для любого поля $F$ можно построить поле, содержащее его в качестве собственного подполя.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564712 писал(а):

В кватернионах у нас есть $i^2 = j^2 = -1$, но $i \neq \pm j$. Докажите, что в полях такого не бывает.

Вы имеете в виду, что в любом поле $a^2=b^2\to a=\pm b$?

Доказательство должно основываться на коммутативности перемножения элементов в поле? (Система кватернионов не является полем только из-за некоммутативности перемножения элементов?)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564753 писал(а):

Доказательство должно основываться на коммутативности перемножения элементов в поле?

Да, коммутативность понадобится. Но только ей ограничиться не удастся, потому что например в $\mathbb Z_4$ выполнено $2^2 = 0 = 0^2$, но $2 = -2 \neq 0$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1564753 писал(а):

Система кватернионов не является полем только из-за некоммутативности перемножения элементов?

Да. Она является так называемым телом - в ней есть деление, но умножение не коммутативно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1564756 писал(а):

Да, коммутативность понадобится. Но только ей ограничиться не удастся, потому что например в $\mathbb Z_4$ выполнено $2^2 = 0 = 0^2$, но $2 = -2 \neq 0$.

Но ведь $\mathbb Z_4$ это не поле ($4$ -- не простое число.)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1564758 писал(а):

Но ведь $\mathbb Z_4$ это не поле

Не поле. Но кольцо с коммутативным умножением. Поэтому вам понадобятся и другие свойства поля, которых у произвольного коммутативного кольца нет.
Вообще, если вы хотите доказать какое-то утверждение, то может быть полезно ослабить условие и попробовать найти контрпример. Если найдется - то значит условие, которое ослабляли, обязательно нужно будет использовать в доказательстве.