Подмножества вещественных чисел

[Dicson]

Здравствуйте, помогите разобраться, пожалуйста. Множество подмножеств вещественных чисел больше самого множества вещественных чисел. Какие числа выражают множество этих подмножеств? И правильно ли я понимаю, что множество подмножеств вещественных чисел, потом их множество подмножеств и так далее в бесконечность, называются гипер-гипер-…гиперконтинуумы?

Попытка самостоятельного решения. Я раньше считал, что вещественных чисел достаточно для всего, так как в любом случае мы можем представить или точку, или континуум. Потом узнал, что множество подмножеств больше самого множества. Если так, то множество подмножеств вещественных чисел тоже должно быть больше самого множества вещественных чисел. Поэтому, чтобы выразить количество подмножеств вещественных чисел, нужны уже какие-то другие числа и так бесконечно. В Википедии нашлось много чего по этой теме - от теорем расширения числовых систем до "других числовых систем" - но, по-моему, там нет ответа на мой вопрос.

[zykov]

Cardinal number

[Dicson]

Я правильно понимаю, что подмножества множества вещественных чисел - это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"? Или надо понимать так, что это такая же несчётная бесконечность вещественных чисел, просто она вмещает все бесконечности? Только по одной ссылке мне сложно разобраться, там столько подробностей, не знаю, на что внимание обращать.

И это гиперконтинуумы? По второму вопросу.

[alcoholist]

Dicson в сообщении #1564055 писал(а):

Какие числа выражают множество этих подмножеств?

Числа не выражают множеств. Формулируйте вопросы аккуратнее.

[Dicson]

alcoholist в сообщении #1564062 писал(а):

Числа не выражают множеств. Формулируйте вопросы аккуратнее.

Я понимаю, правильно - равномощны. Я хотел, чтобы меня понятнее было.

[mihaild]

Поянтнее будет, если вы будете стараться выражаться правильно:)
Множество подмножеств $\mathbb R$ имеет большую мощность, чем само $\mathbb R$. Мощности множеств прямого отношения к вещественным числам не имеют.

[Dicson]

mihaild в сообщении #1564065 писал(а):

Мощности множеств прямого отношения к вещественным числам не имеют.

Ясно. Тогда так. Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел. Какой "континуум" равномощен множеству подмножеств вещественных чисел? Этот "континуум" называется гиперконтинуум? Каким числам он равномощен? Так как эти "множества подмножеств" можно строить бесконечно, то как понимать их связь с числами?

[zykov]

Если множество конечно и содержит $n$ элементов, то множество всех его подмножеств тоже конечно и содержит $2^n$ элементов.
Мощность (cardinality) множества натуральных чисел (счётного множества) обозначается $\aleph_0$.
Мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел обозначается $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ и эквивалентна мощности множества всех действительных чисел.
Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$.
И т.д.

[Dicson]

zykov в сообщении #1564068 писал(а):

Далее, мощность множества всех подмножеств множества действительных чисел обозначается $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$.

Как обозначается, понятно, спасибо. Но как это надо понимать? "Множество всех подмножеств множества действительных чисел" - это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"? Или это такая же несчётная бесконечность вещественных чисел, просто она вмещает все бесконечности?

Или в другой формулировке: Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел. Какой "континуум" равномощен множеству подмножеств вещественных чисел? Этот "континуум" называется гиперконтинуум? Каким числам он равномощен? Так как эти "множества подмножеств" можно строить бесконечно, то как понимать их связь с числами?

[zykov]

Dicson в сообщении #1564069 писал(а):

это нечто "больше несчётной бесконечности вещественных чисел"?

Да.
За ним так же можно следующий сконструировать, и так далее.

[Dicson]

zykov в сообщении #1564071 писал(а):

Да.
За ним так же можно следующий сконструировать, и так далее.

Теперь ясно, спасибо.

Я правильно понимаю, что "множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект (так как он непредставим и его нельзя построить на практике) и что во "второй формулировке" из моего поста выше - это гиперконтинуум? И все остальные построенные таким способом "континуумы" - это будут гипер-гипер...гиперконтинуумы?

[mihaild]

Dicson в сообщении #1564067 писал(а):

Конитинуум равномощен множеству вещественных чисел

Слово "континуум" в данном контексте не означает какой-то конкретный объект. В фразе "множество имеет мощность континуум" словосочетание "мощность континуум" неделимо.

Dicson в сообщении #1564067 писал(а):

Каким числам он равномощен?

А почему он должен быть равномощен каким-то числам?

zykov в сообщении #1564068 писал(а):

Мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел обозначается $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ и эквивалентна мощности множества всех действительных чисел.

Лихо Вы гипотезу континуума самоочевидной объявили.

Dicson в сообщении #1564073 писал(а):

"множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект

А что, вещественные числа построить можно?

Dicson в сообщении #1564073 писал(а):

И все остальные построенные таким способом "континуумы" - это будут гипер-гипер...гиперконтинуумы?

"Гиперконтинуум" - не очень общепринятый термин, не исключаю, что в разных местах у него могут быть неэквивалентные определения. Каким вы пользуетесь?

[zykov]

mihaild в сообщении #1564075 писал(а):

Лихо Вы гипотезу континуума самоочевидной объявили.

Думаю, сейчас ТС не до таких тонкостей.

Dicson в сообщении #1564073 писал(а):

Я правильно понимаю, что "множество подмножеств вещественных чисел" - это неконструктивный объект

Почему же? Вот мы взяли множество всех вещественных чисел, потом взяли множество всех его подмножеств. Вот мы его и сконструировали.
Может я конечно ошибаюсь, но вроде "неконструктивный объект" - это когда мы доказали существование объекта, но никак не сконструировали его.

[gris]

Может быть множество подмножеств для наглядности можно представить себе как множество индикаторных функций на множестве? Ну то есть в вашем случае $\mathbb R \to \{0,1\}$

[mihaild]

zykov в сообщении #1564077 писал(а):

Думаю, сейчас ТС не до таких тонкостей.

ТС очевидно в алефах сейчас не разберется. Но ИМХО это означает, что их вообще не надо упоминать. Тем более что есть $\beth$, которые определяются ровно как вы написали.

zykov в сообщении #1564077 писал(а):

Может я конечно ошибаюсь, но вроде "неконструктивный объект" - это когда мы доказали существование объекта, но никак не сконструировали его.

Тут вопрос в том, какие средства нам разрешают использовать для конструирования.