Плоскости умножения в комплексном пространстве

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Но у меня возник вопрос: а что значит, что прямая сохраняется? Если все ее точки будут налицо, но порядок между ними нарушится, это ведь не пойдет?

Если речь идёт только об изоморфизме аддитивной группы, то пойдёт.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Если бы Вы могли намекнуть еще, как решить и эту задачу:

mihaild в сообщении #1562667 писал(а):

Подумайте, существует ли автоморфизм аддитивной группы $(\mathbb R^2, +)$, сохраняющий множества $x = 0$ и $y = 0$, но переводящий прямую $x = y$ во что-то, не являющееся прямой.

!

Базисы Гамеля Вам в помощь!

Обратите внимание, что изоморфизм аддитивных абелевых групп должен сохранять все соотношения вида $mx=ny$, где $m,n\in\mathbb Z$. (Почему?)
Поэтому группу $\mathbb R$ (и вообще $\mathbb R^n$, $n\in\mathbb N$) можно рассматривать как линейное пространство над $\mathbb Q$. (Почему?)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Но у меня возник вопрос: а что значит, что прямая сохраняется? Если все ее точки будут налицо, но порядок между ними нарушится, это ведь не пойдет?

Поэтому я с самого начала написал "сохраняет множество". Это понятно что значит: точки из множества отображаются в само множество.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Я исходил из того, что и порядок, и направление должны сохраняться.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562921 писал(а):

Если бы Вы могли намекнуть еще, как решить и эту задачу

Эта задача существенно сложнее.
Попробуйте решить промежуточные (прямая и плоскость рассматриваются как группы по сложению):
1. Автоморфизм прямой сохраняет отношение "лежать между", тогда и только тогда, когда этот автоморфизм - умножение на вещественное число.
2. Если автоморфизм плоскости действует на осях как умножение на число (возможно свое для каждой оси), то этот автоморфизм переводит прямые в прямые.
3. Если автоморфизм плоскости действует тождественным образом на $Oy$, переводит точку $(1, 0)$ в себя, переводит $Ox$ в себя, и его ограничение на $Ox$ не является тождественным, то этот автоморфизм переводит множество $x = y$ в множество, не являющееся прямой.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562934 писал(а):

1. Автоморфизм прямой сохраняет отношение "лежать между", тогда и только тогда, когда этот автоморфизм - умножение на вещественное число.

Пусть дана аддитивная группа $(\mathbb R, +)$, ее элементы $a, b, c$ и отображение $f(a)=\lambda a \;\; \lambda \in \mathbb R, \lambda >0,$ и пусть будет $a<b<c$ (либо $a>b>c$). Тогда и $\lambda a<\lambda b<\lambda c$ (соответственно, $\lambda a>\lambda b>\lambda c$), то есть $f$ сохраняет для элементов $(\mathbb R, +)$ отношение "лежать между".

Пусть, с другой стороны, $f$ сохраняет для элементов $(\mathbb R, +)$ отношение "лежать между", то есть пусть будет $f(a)<f(b)<f(c)$ (либо $f(a)>f(b)>f(c)$).

Дальше я не продвинулся. Даже и в том, что, поскольку $f(a)<f(b)<f(c)$, то элементы $f(a), f(b), f(c)$ лежат в одной прямой, так как они и так должны лежать в одной прямой, потому что $f$ -- эндоморфизм ($(\mathbb R, +)$ отображается в себя).

Если $a<b<c,$ то $a<b, a<c$ и $b<c$, то есть утверждение "автоморфизм прямой сохраняет отношение "лежать между" можно заменить на утверждение "автоморфизм прямой сохраняет отношение "больше, меньше", таким образом, надо доказать, что $f(a)<f(b)$ возможно, только если умножить $a, b$ на вещественное число, то есть доказать для этого случая уникальность умножения вещественного числа на вещественное число. Но это значит, что надо доказать, что никакая другая операция над вещественными числами не приведет к нужному результату, то есть перебрать все возможные операции и показать, что ни одна из них не годится. Это невозможно. Я могу только показать, что некоторые операции не годятся, например, если $f$ определить как $f=a+\lambda$ или как $f=a^\lambda$, то это не будет гомоморфизм.

Надо найти нечто уникальное в операции умножения вещественного числа на вещественное число, доказывающее предложенное утверждение, но не через перебирание всех возможных операций.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563022 писал(а):

Если $a<b<c,$ то $a<b, a<c$ и $b<c$, то есть утверждение "автоморфизм прямой сохраняет отношение "лежать между" можно заменить на утверждение "автоморфизм прямой сохраняет отношение "больше, меньше",

Я не понимаю этого "то есть", и утверждение неверно: умножение на $-1$ не сохраняет порядок, но сохраняет отношение "лежать между".

Попробуйте так:
1. Сведите общий случай к автоморфизму, который переводит $1$ в себя, т.е. по произвольному автоморфизму $f$ постройте новый автоморфизм $g$, такой что $g(1) = 1$ и $g$ сохраняет отношение "лежать между" тогда и только тогда, когда его сохраняет $f$, и $g$ является умножением на вещественное число тогда и только тогда, когда им является $f$.
2. Докажите, что автоморфизм, переводящий $1$ в себя, переводит любое рациональное число в себя (см. подсказку Someone).
3. Докажите, что автоморфизм, сохраняющий отношение "лежать между" и переводящий любое рациональное число в себя - тождественный.

[Vladimir Pliassov]

Я вижу, что у меня слишком большие пробелы в этом вопросе, так что я мало что понимаю. Мне надо найти учебник, в котором материал излагается доступно и последовательно (а то в тех пособиях, которые я нахожу, почти сразу же начинаются какие-то ужасы.)

И, по-моему, это должен быть не Гельфанд: я не нахожу у него автоморфизмов (может быть, плохо смотрю), а если они у него и есть, то, кажется, не в достаточной степени, чтобы решать предложенные мне сейчас задачи.

[mihaild]

Vladimir Pliassov, Винберга "Курс алгебры" смотрели?
Гельфанд - это же "Лекции по линейной алгебре"? В них да, общему понятию группы внимание не уделяется, про векторные пространства слишком много интересного можно сказать и без него. Но вот для задач вроде "что можно выразить через сложение" оно нужно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563059 писал(а):

Винберга "Курс алгебры" смотрели?

Спасибо! Винберга попробовал несколько месяцев назад, но мне показалось слишком сложно. Еще попробую.

[Vladimir Pliassov]

Винберга читаю, идет лучше, чем в прошлый раз.

mihaild в сообщении #1562584 писал(а):

Подпространства, безусловно, являются подгруппами группы векторов как аддитивной группы. Но у этой группы есть еще куча подгрупп, подпространствами не являющихся. Причем могут быть и автоморфизмы группы, переводящие первые подгруппы во вторые, поэтому отличить их, глядя только на сложение, без умножения на скаляр, невозможно.
И в частности нельзя определить размерность.

То есть, как я понимаю, если брать все подгруппы, то нельзя определить размерность группы. Но если брать не все подгруппы, а только те, которые совпадают с подпространствами пространства, построенного на группе, то есть если выделить из структуры группы подструктуру, совпадающую со структурой линейного пространства, построенного на этой группе?

Сделаю третью попытку -- на примере конкретной группы.

1.

Возьмем группу $V=(\mathbb R^4, +)$. По своей природе ее элементы являются четырехэлементными кортежами вещественных чисел, и $(\mathbb R^4, +)$ можно обозначить как $((x, y, z, t), +),$ где $x, y, z, t$ принимают всевозможные значения из $\mathbb R.$

1 вариант определения размерности группы $V$.

Она имеет подгруппы $V_1^1=((x, 0, 0, 0), +), V_2^1=((0, y, 0, 0), +), V_3^1=((0, 0, z, 0), +), V_4^1=((0, 0, 0, t), +)$ (верхний индекс означает число элементов в кортеже, не обязательно равных нулю). Назовем их подгруппами первого порядка.

Группа $V$ является прямой суммой подгрупп $V_1^1, V_2^1, V_3^1, V_4^1$, в том смысле, что произвольный элемент $a\in V$ может быть представлен в виде суммы элементов, взятых по одному из каждой подгруппы, причем это разложение $a$ единственно.

В этом смысле можно считать совокупность подгрупп $V_1^1, V_2^1, V_3^1, V_4^1$ базисом группы $V.$

(В них, после введения на группе $V$ умножения на вещественные числа, могут лежать базисные векторы пространства $\mathcal V,$ полученного в результате введения этого умножения.)

Будем считать размерностью группы $V$ число ее базисных подгрупп (первого порядка), то есть в первом варианте определения ее размерность равна четырем.

2 вариант определения размерности группы $V$.

Группа $V$ имеет также подгруппы $V_1^2=((x, y, 0, 0), +), V_2^2=((0, 0, z, t), +)$ (верхний индекс здесь также означает число элементов в кортеже, не обязательно равных нулю). Назовем их подгруппами второго порядка.

Таким образом, $V$ это группа четвертого порядка.

Группа $V$ является прямой суммой подгрупп $V_1^2, V_2^2$, в том смысле, что произвольный элемент $a\in V$ может быть представлен в виде суммы элементов, взятых по одному из каждой подгруппы, причем это разложение $a$ единственно.

В этом смысле можно считать совокупность подгрупп $V_1^2, V_2^2$ базисом группы $V.$

(В них, после введения на группе $V$ умножения на комплексные числа, могут лежать базисные векторы пространства $\mathcal V,$ полученного в результате введения этого умножения.)

Будем считать размерностью группы $V$ число ее базисных подгрупп (второго порядка), то есть во втором варианте определения ее размерность равна двум.

Заметим, что мы уже определили размерность $V$ (в двух вариантах), хотя еще не вводили умножение ее элементов на числа.

2.

Будем называть подгруппы $V_1^1, V_2^1, V_3^1, V_4^1$ осями группы $V$ как при первом, так и при втором варианте определения размерности, то есть в первом варианте оси совпадают с базисными подгруппами, и их столько же, сколько и базисных подгрупп, то есть четыре, а во втором варианте число осей вдвое больше числа базисных подгрупп, то есть их также четыре, хотя базисных подгрупп всего две.

Таким образом, порядок группы $V$ равен числу ее осей, но он может не совпадать с ее размерностью.

3.

После введения умножения на вещественные числа подгруппы $V_1^1, V_2^1, V_3^1, V_4^1$ совпадают с соответствующими вещественными прямыми.

После введения умножения на комплексные числа подгруппы $V_1^2, V_2^2$ совпадают с соответствующими комплексными прямыми.

4.

Я смог выделить только по одному базису группы $V$ для каждого из двух вариантов, переход к другим базисам, без использования умножения на числа, как я понимаю, проблематичен.

Но и одного базиса достаточно, чтобы получить любой элемент абелевой группы и чтобы определить ее размерность.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

то есть если выделить из структуры группы подструктуру, совпадающую со структурой линейного пространства, построенного на этой группе?

Проблема в том, что на этой группе можно построить много неизоморфных пространств.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

По своей природе ее элементы являются четырехэлементными кортежами вещественных чисел

Вот это не очень алгебраично. Как правило когда мы говорим про алгебраические структуры хочется ограничиваться явно указанными на них операциями, а не залезать в устройство элементов.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

Заметим, что мы уже определили размерность $V$ (в двух вариантах), хотя еще не вводили умножение ее элементов на числа

ИМХО это звучит слишком громко. Вы по сути занимаетесь представлением группы в виде прямой суммы подгрупп, это можно сделать гигантским количеством способов.

Вообще, что вы получить-то хотите в итоге?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563281 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

то есть если выделить из структуры группы подструктуру, совпадающую со структурой линейного пространства, построенного на этой группе?

Проблема в том, что на этой группе можно построить много неизоморфных пространств.

Взять одно из этих пространств, найдется подструктура группы, совпадающая со структурой этого пространства.

(Как я понимаю, структура линейного пространства гораздо беднее, чем структура его абелевой группы.)

mihaild в сообщении #1563281 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

По своей природе ее элементы являются четырехэлементными кортежами вещественных чисел

Вот это не очень алгебраично. Как правило когда мы говорим про алгебраические структуры хочется ограничиваться явно указанными на них операциями, а не залезать в устройство элементов.

Я взял конкретную группу, потому что не мог сформулировать мысль для группы вообще. Но ведь и на конкретном примере можно увидеть общий принцип?

mihaild в сообщении #1563281 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563280 писал(а):

Заметим, что мы уже определили размерность $V$ (в двух вариантах), хотя еще не вводили умножение ее элементов на числа

ИМХО это звучит слишком громко. Вы по сути занимаетесь представлением группы в виде прямой суммы подгрупп, это можно сделать гигантским количеством способов.

Но мне удалось как-то определить размерность рассматриваемой группы $V?$

mihaild в сообщении #1563281 писал(а):

Вообще, что вы получить-то хотите в итоге?

Мысль была такая: убедиться не только в том, что все векторы уже были в абелевой группе пространства еще до введения умножения на числа, но и в том, что они в абелевой группе уже были организованы в ту же структуру, что и в пространстве (эта структура является подструктурой структуры группы) -- и, что важно, организованы, разумеется, без использования умножения (потому что оно в группе еще не введено).

Но вчера у меня появилось одно соображение, которое опрокинуло эту мысль, во всяком случае в отношении умножения на рациональные числа. Соображение такое: не бывает аддитивной абелевой группы, на которой не было бы определено умножение на числа, по крайней мере, на рациональные.

В самом деле, пусть нам дана аддитивная абелева группа $V.$ Имеем

$$\underbrace {a+a+\ldots +a}_\text{k times}=ka\;\; a\in V, k\in \mathbb N.$$

Далее, пусть

$$a=\underbrace {b+b+\ldots +b}_\text{l times}\;\; b\in V, l\in \mathbb N.$$

Тогда

$$\underbrace {b+b+\ldots +b}_\text{m times}=\frac {m}{l}a \;\; m\in \mathbb N,$$

где $k, \frac {m}{l}\in \mathbb Q.$

То есть, как только на множестве вводится операция сложения его элементов, тем самым вводится операция умножения его элементов на рациональные числа, и множество становится не только аддитивной абелевой группой, но и линейным пространством (рациональным).

(Таким образом, абелева группа имеет все то, что имеет линейное пространство, в том числе подпространства и размерность.)

2.

Так же как у вещественного пространства, размерность рационального пространства равна числу его осей (об осях я писал ранее).

Возникает вопрос: нельзя ли, подобно полю $\mathbb C$, которое строится на основе поля $\mathbb R$, построить рационально-комплексное поле, которое строилось бы на основе рационального поля $\mathbb Q$?

Тогда число его измерений было бы вдвое меньше числа осей.

3.

Более того, поскольку иррациональное число определяется через рациональные числа (оно находится между всеми своими рациональными приближениями по недостатку и всеми своими рациональными приближениями по избытку), можно считать, что умножение на иррациональные числа, а значит и умножение на вещественные числа, на аддитивной абелевой группе также уже задано, как только она задана на множестве.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

структура линейного пространства гораздо беднее, чем структура его абелевой группы

Наоборот, богаче. У группы одна операция, у векторного пространства две, и они связаны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

Но ведь и на конкретном примере можно увидеть общий принцип?

Проблема в том, что на конкретном примере может показаться, что есть какой-то принцип, которого на самом деле нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

Но мне удалось как-то определить размерность рассматриваемой группы $V?$

Нет, не удалось. Вы сказали "а давайте найдем в группе 4 подгруппы", и они нашлись. Но можно было с тем же успехом найти 42 подгруппы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

но и в том, что они в абелевой группе уже были организованы в ту же структуру, что и в пространстве

Еще раз - это просто неправда. Прямая и плоскость отличаются как векторные пространства, но аддитивные группы у них изоморфны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

То есть, как только на множестве вводится операция сложения его элементов, тем самым вводится операция умножения его элементов на рациональные числа

На целые. Да, любая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом целых чисел. Возможность умножения на произвольные рациональные никто не гарантирует (группа, в которой уравнение $n \cdot x = y$ разрешимо относительно $x$ для любого $y$ и ненулевого $n$ называется делимой).

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

об осях я писал ранее

Что-то невнятное. Ну рассмотрели векторное пространство над полем как пространство над полем; размерность пространства над подполем равна произведению его размерности над полем и степени поля над подполем.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

Возникает вопрос: нельзя ли, подобно полю $\mathbb C$, которое строится на основе поля $\mathbb R$, построить рационально-комплексное поле, которое строилось бы на основе рационального поля $\mathbb Q$?

А в чем проблема? Рассмотрите числа вида $a + bi$, где $a, b \in \mathbb Q$. Деление определить сможете?

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

можно считать, что умножение на иррациональные числа, а значит и умножение на вещественные числа, на аддитивной абелевой группе также уже задано, как только она задана на множестве

Нельзя. Как вы будете определять, какой элемент в произвольной абелевой группе лежит между двумя множествами?

Вообще, пытаться покрутить понятия это конечно занятие полезное, но вы кажется тут застряли на одной совершенно бесперспективной идее, но чтобы понять её бесперспективность вам нужно разобраться с основными понятиями теории групп. И, возможно, всё же понадобится понять, как именно строится изоморфизм между прямой и плоскостью как группами по сложению.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

но и в том, что они в абелевой группе уже были организованы в ту же структуру, что и в пространстве

Еще раз - это просто неправда. Прямая и плоскость отличаются как векторные пространства, но аддитивные группы у них изоморфны.

Я, наверное, так и понимаю, но не смог объяснить. Прямая и плоскость как пространства одной и той же размерности (равной единице) отличаются как векторные пространства, при этом аддитивные группы у них не только изоморфны, но это может быть одна и та же группа, и именно этот случай я рассматриваю.

Я имею в виду не одну, а две структуры -- одну для вещественного, другую для комплексного пространства. Но они обе в группе уже есть (как я полагаю, но, может быть, ошибаюсь -- это-то я и хочу выяснить), одна из них проявляется при умножении на вещественные, а другая при умножении на комплексные числа.

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1563393 писал(а):

об осях я писал ранее

Что-то невнятное. Ну рассмотрели векторное пространство над полем как пространство над полем;

то есть, в данном случае, комплексное пространство

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

размерность пространства над подполем

то есть размерность вещественного пространства

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

равна произведению его размерности над полем

то есть произведению размерности комплексного пространства, пусть она равна $n,$

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

и степени поля над подполем.

как я понимаю, степени $\mathbb C$ над $\mathbb R$, она равна 2? Значит, размерность вещественного пространства равна $2n.$

То, что я предлагаю, дает тот же результат. Но комплексное пространство должно рассматриваться как произошедшее от вещественного, то есть как комплексная структура. Я считаю осями вещественного пространства прямые, в которых лежат его базисные векторы, то есть осей столько же, сколько базисных векторов, пусть это будет $2n$ штук. При введении комплексной структуры все оси -- как вещественные прямые -- сохраняются, но половина из них перестает быть базисными, то есть осей остается столько же -- $2n$ штук, -- а размерность уменьшается в два раза: была $2n$, а стала $n$.

Но если комплексное пространство берется не как комплексная структура, а просто как пространство над полем $\mathbb C,$ то тогда, конечно, осей нет, если не считать осями комплексные прямые, в которых лежат базисные векторы.

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

Да, любая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом целых чисел. Возможность умножения на произвольные рациональные никто не гарантирует (группа, в которой уравнение $n \cdot x = y$ разрешимо относительно $x$ для любого $y$ и ненулевого $n$ называется делимой).

Бывают ли такие группы, в которых есть возможность умножения на произвольные рациональные числа? Наверное, это группы $(\mathbb Q, +),$ $(\mathbb R, +),$ $(\mathbb C, +)$, а также $(\mathbb Q^2, +),$ $(\mathbb R^2, +),$ $(\mathbb C^2, +)$ и так далее? А еще?

mihaild в сообщении #1563396 писал(а):

Вообще, пытаться покрутить понятия это конечно занятие полезное, но вы кажется тут застряли на одной совершенно бесперспективной идее, но чтобы понять её бесперспективность вам нужно разобраться с основными понятиями теории групп. И, возможно, всё же понадобится понять, как именно строится изоморфизм между прямой и плоскостью как группами по сложению.

Надеюсь до этого дойти, читаю Винберга (с начала).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563414 писал(а):

Но они обе в группе уже есть (как я полагаю, но, может быть, ошибаюсь -- это-то я и хочу выяснить)

Что это значит?
Это могло бы означать "векторное пространство на группе строится единственным образом", но это неправда. Векторное пространство над $\mathbb Q$ - да, над $\mathbb R$ - нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1563414 писал(а):

Бывают ли такие группы, в которых есть возможность умножения на произвольные рациональные числа?

Вы же цитируете сообщение, в котором я даже написал, как такие группы называются.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1563415 писал(а):

Вы же цитируете сообщение, в котором я даже написал, как такие группы называются.

Да, теперь разобрался. Но, значит, все делимые группы являются рациональными линейными пространствами?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1563420 писал(а):

Но, значит, все делимые группы являются рациональными линейными пространствами?

Нет, там не обязательно аксиомы будут выделены.
Я на самом деле плохо написал: умножение на рациональные числа это не то же самое, что разрешимость уравнения $n\cdot x = y$ относительно $x$ - у этого уравнение может быть больше одного решения. Не знаю, стоит ли эту ситуацию называть "определено умножение на рациональные числа".