Плоскости умножения в комплексном пространстве

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562318 писал(а):

Но есть утверждение, что

mihaild в сообщении #1562307 писал(а):

Из того, что можно определить комплексные числа как расширение $\mathbb R$, не следует, что их нельзя определить иначе.

А мне как раз хотелось бы найти подтверждение тому, что их все же нельзя определить иначе (чем через вещественные числа), пусть и не потому, что комплексные числа являются расширением $\mathbb R.$ Я попытаюсь это сделать на следующем примере.

"Как расширение $\mathbb R$" $\ne$ "через вещественные числа". Способ через фактор кольца многочленов - это "через вещественные числа", но не "как расширение $\mathbb R$". То же самое с матрицами. Во всех этих примерах вещественные числа в той или иной степени фигурируют.

Хотите совсем без вещественных чисел - тогда вариант Slav-27.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562318 писал(а):

И вообще любое комплексное поле, как я понимаю, будет ему изоморфно

А что такое "комплексное поле"? Корень из $-1$ можно добавить к любому полю, а в некоторых он уже есть.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562318 писал(а):

Но теперь, надеюсь, с ними разобрался

Видимо нет, судя по

Vladimir Pliassov в сообщении #1562318 писал(а):

его поле зависит от вещественного поля

Что это вообще значит?
Да, комплексные числа содержат подполе, изоморфное вещественным числам. А вещественные числа содержат подмоноид, изоморфный натуральным. Вы это называете "зависимостью"?

Slav-27 в сообщении #1562320 писал(а):

$\mathbb C$ можно определить как алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности

А алгебраическое замыкание например поля рациональных функций разве изоморфно $\mathbb C$?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

А алгебраическое замыкание например поля рациональных функций разве изоморфно $\mathbb C$?

Там как я понимаю нужен континуальный базис трансцендентности, а не само поле.

[alcoholist]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562318 писал(а):

в роли $i$ матрица $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},$ в роли $-i$ матрица $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$

обычно наоборот, хоть это и не суть важно, $\pm i$ не отличаются друг от друга внутри поля

-- Ср авг 10, 2022 12:42:12 --

Slav-27 в сообщении #1562320 писал(а):

поле характеристики ноль и континуальной мощности

лучше использовать полноту, чем понятие мощности, геометричнее и интуитивнее

-- Ср авг 10, 2022 12:43:21 --

EminentVictorians в сообщении #1562333 писал(а):

Там как я понимаю нужен континуальный базис трансцендентности

это какая-то "селедка с вареньем":) Вы знаете, что такое полное метрическое пространство?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1562333 писал(а):

Там как я понимаю нужен континуальный базис трансцендентности, а не само поле

Континуальный базис трансцендентности над чем?

alcoholist в сообщении #1562335 писал(а):

лучше использовать полноту, чем понятие мощности

А как определить полноту для произвольного поля (пусть даже алгебраически замкнутого и характеристики ноль)?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1562340 писал(а):

Континуальный базис трансцендентности над чем?

Базис трансцендентности - это максимальное по включение подмножество, алгебраически независимое над тем полем, которое мы расширяем, верно? Любое бесконечное поле нулевой характеристики содержит $\mathbb Q$, поэтому вся цепочка по включению алгебраически независимых подмножеств происходит над $\mathbb Q$, я так это понимаю.

alcoholist в сообщении #1562335 писал(а):

Вы знаете, что такое полное метрическое пространство?

Да, но как через полноту охарактеризовать $\mathbb C$ не знаю.

[Vladimir Pliassov]

Slav-27 в сообщении #1562320 писал(а):

$\mathbb C$ можно определить как алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности.

Как я понимаю, его алгебраическая замкнутость достигается именно введением числа $i$. А как же тогда понимать, что

mihaild в сообщении #1562307 писал(а):

есть конструкция, не вводящая непосредственно мнимую единицу - а именно, комплексные числа - это $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$

? Так, что конструкция $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$ не имеет элемента $i?$ (Я имею в виду не обязательно число $i$ из обычного поля комплексных чисел, а элемент, который ему соответствует в этой конструкции, подобно тому, как матрица $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ в поле матриц вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$ над $\mathbb{R}$ соответствует числу $i.$) Наверное, я как-то не так понимаю, потому что не может быть, чтобы в комплексном поле не было элемента $i$.

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

А что такое "комплексное поле"?

Под комплексным полем я понимаю то, что соответствует 14 аксиомам, то есть

Цитата:

минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна $−1$, — мнимую единицу. ("Комплексное число" Википедия)

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

Корень из $-1$ можно добавить к любому полю.

Если, например, его можно добавить к полю вычетов (оно всегда конечно?), то это, конечно, не будет $\mathbb C$. А, кстати, как это сделать?

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

а в некоторых он уже есть.

В каких, например?

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

Да, комплексные числа содержат подполе, изоморфное вещественным числам. А вещественные числа содержат подмоноид, изоморфный натуральным. Вы это называете "зависимостью"?

Нет, зависимостью я называю не то, что поле получается расширением другого поля, а то, что это расширение достигается добавлением элементов, получающихся из элементов исходного поля. Например, те элементы, которые добавляются к вещественным числам для получения $\mathbb C$, конструируются из вещественных чисел (и не могут конструироваться иначе, судя по трем известным мне формам комплексных чисел: алгебраической, тригонометрической и показательной.

EminentVictorians в сообщении #1562326 писал(а):

Во всех этих примерах вещественные числа в той или иной степени фигурируют.

Хотите совсем без вещественных чисел - тогда вариант Slav-27.

Slav-27 в сообщении #1562320 писал(а):

$\mathbb C$ можно определить как алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности.

Это, по-моему, общее определение, а если взять любое конкретное $\mathbb C$, например, поле матриц вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$ над $\mathbb{R}$ или поле комплексных чисел, то в нем элементы, добавленные к чисто вещественным для его получения, конструируются из чисто вещественных.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562344 писал(а):

Как я понимаю, его алгебраическая замкнутость достигается именно введением числа $i$.

Смотрите. Есть поля. Некоторые из них алгебраически замкнутые. Что это значит? Это значит, что любой многочлен над этим полем степени 1 и больше имеет хотя бы 1 корень. Не знаю как Вы, но я пока никаких $i$ не вижу.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562344 писал(а):

Так, что конструкция $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$ не имеет элемента $i?$

Что такое $i$? Как только ответите на этот вопрос, ответ на Ваш вопрос станет очевидным.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562344 писал(а):

Это, по-моему, общее определение, а если взять любое конкретное $\mathbb C$, например, поле матриц вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$ над $\mathbb{R}$ или поле комплексных чисел, то в нем элементы, добавленные к чисто вещественным для его получения, конструируются из чисто вещественных.

А можете сказать, что такое $\mathbb R$ в Вашем понимании?

[Slav-27]

mihaild в сообщении #1562331 писал(а):

А алгебраическое замыкание например поля рациональных функций разве изоморфно $\mathbb C$?

Да, $\overline{\mathbb C(x)}$ и $\overline{\mathbb Q_p}$ изоморфны $\mathbb C$, а $\overline{\mathbb Q(x)}$ нет.

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1562345 писал(а):

Смотрите. Есть поля. Некоторые из них алгебраически замкнутые. Что это значит? Это значит, что любой многочлен над этим полем степени 1 и больше имеет хотя бы 1 корень. Не знаю как Вы, но я пока никаких $i$ не вижу.

Речь идет о поле $\mathbb C.$ Если бы оно не имело $i,$ то не любой многочлен над этим полем степени 1 и больше имел бы хотя бы 1 корень.

EminentVictorians в сообщении #1562345 писал(а):

Что такое $i$? Как только ответите на этот вопрос, ответ на Ваш вопрос станет очевидным.

$i$ это элемент, квадрат которого равен $-1.$ Но, наверное, для того, чтобы ответ на мой вопрос стал для меня очевидным, я должен сначала разобраться с тем, что такое $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$.

EminentVictorians в сообщении #1562345 писал(а):

А можете сказать, что такое $\mathbb R$ в Вашем понимании?

$\mathbb R$ это поле, изоморфное полю вещественных чисел (которое тоже обозначается через $\mathbb R$.)

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562351 писал(а):

$\mathbb R$ это поле, изоморфное полю вещественных чисел (которое тоже обозначается через $\mathbb R$.)

Это достойно цитатника

[alcoholist]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562351 писал(а):

Но, наверное, для того, чтобы ответ на мой вопрос стал для меня очевидным, я должен сначала разобраться с тем, что такое $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$

В этом выражении замаскировано почитаемое вами соотношение $x^2=-1$, так что можете считать, что это то же самое.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562351 писал(а):

Речь идет о поле $\mathbb C.$ Если бы оно не имело $i,$

то оно не было бы полем $\mathbb C$

Vladimir Pliassov в сообщении #1562351 писал(а):

$i$ это элемент, квадрат которого равен $-1.$ Но, наверное, для того, чтобы ответ на мой вопрос стал для меня очевидным, я должен сначала разобраться с тем, что такое $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$.

Ну давайте так. Вам сказали, что эта штука изоморфна $\mathbb C$. Как думаете, там есть элемент, квадрат которого равен $(-1)$?

Vladimir Pliassov в сообщении #1562351 писал(а):

$\mathbb R$ это поле, изоморфное полю вещественных чисел (которое тоже обозначается через $\mathbb R$.)

Я не уверен, что мы одинаковым образом понимаем эту фразу, но может быть Вы и правы. На человеческом языке это звучит так: есть разные множества, которые можно называть вещественными числами. Их называют моделями. Они все изоморфны между собой, поэтому детали их построений в принципе не так уж и важны. Я этот пример веду к тому, что с $\mathbb C$ все то же самое. Вам в этой теме продемонстрировали гору разных определений комплексных чисел. С теоретико-множественной точки зрения они могут быть разными множествами. И $i$ в них будут разные. Но какая разница то? Все модели изоморфны между собой.

[alcoholist]

EminentVictorians в сообщении #1562356 писал(а):

там есть элемент, квадрат которого равен $(-1)$?

тогда уж $(-1)+\langle x^2+1\rangle$

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1562358 писал(а):

тогда уж $(-1)+\langle x^2+1\rangle$

я понимаю, что все действие происходит на классах эквивалентности, но ТС спрашивает, есть ли $i$ в заданной модели. Я и намекаю, что да, есть.