Плоскости умножения в комплексном пространстве

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

Я имею в виду, что если пространство задается над полем -- например, над вещественным или комплексным.

Я тоже.
Вообще, вас, возможно, сбивает, что при рассмотрении $\mathbb R^n$ (и особенно $\mathbb R$) как векторного пространства у нас умножение на скаляр тесно связано с умножением в поле.
Но вообще говоря это две разные не особо связанные операции (единственное - требуется чтобы они были согласованы согласно аксиомам векторного пространства).

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

Может быть Вы хотели сказать "при выбранном умножении"?

Нет. Это интересное свойство именно $\mathbb Q$: если у нас есть два векторных пространства над $\mathbb Q$, $(X, +_X, \circ_1)$ и $(X, +_X, \circ_2)$ (т.е. совпадающие как абелевы группы, но быть может с разным умножением на скаляр), то $\circ_1 = \circ_2$. Т.е. результат умножения на рациональное число можно восстановить зная только как устроено сложение векторов. С $\mathbb R$ такое не проходит.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

Но само умножение на комплексное число определяется неоднозначно

Естественно. Я не понимаю, что в этом удивительного. Если у нас не определено умножение на вещественные числа, а только сложение, то и умножение на вещественные определяется неоднозначно. Вообще, если мы хотим добавить к структуре новую операцию, это часто можно сделать не единственным образом.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

а для того, чтобы сделать это (в пространстве с числом осей больше двух), есть бесконечное число возможностей

С двумя осями, кстати, тоже.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562073 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

Но само умножение на комплексное число определяется неоднозначно

Естественно. Я не понимаю, что в этом удивительного.

Удивительно для меня было не то, что умножение на комплексное число может определяться неоднозначно, а то, что этот факт, как мне казалось, игнорировался: пишут, что при умножении вектора на комплексное число он, кроме того, что растягивается (сжимается), еще и поворачивается на некоторый угол, но не указывают, в какой плоскости, как будто это не важно. И, что удивительно, решают задачи, и все получается! Как так?

Но вот сегодня я в двадцатый раз стал читать статью http://www.fipm.ru/kompl4.shtml и на этот раз что-то в ней понял. Я увидел, что плоскость умножения в самом деле важна, и она определяется линейным оператором $J:$

Цитата:

Пусть $L$ комплексное пространство, $L_\textbf R$-- его овеществление. Чтобы полностью восстановить умножение на комплексные числа в $L_\textbf R$, достаточно знать оператор $J: L_\textbf R\to L_\textbf R$ умножения на $i:J(l)=il.$ . Очевидно, этот оператор линеен над $\textbf R$ и удовлетворяет условию $J^2=-id$; если мы знаем его, то для любого комплексного числа $a+bi, \;\; a, b\in \textbf R$ имеем

$$(a+bi)l=al+bJ(l).$$

В результате умножения вектора $l$ на комплексное число $a+bi$ он растягивается (сжимается) и при этом поворачивается в плоскости, определенной парой векторов $l$ и $J(l).$

mihaild в сообщении #1562073 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1562028 писал(а):

а для того, чтобы сделать это (в пространстве с числом осей больше двух), есть бесконечное число возможностей

С двумя осями, кстати, тоже.

Я имел в виду вследствие именно бесконечного числа плоскостей, в которых лежит вектор.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562082 писал(а):

пишут, что при умножении вектора на комплексное число он, кроме того, что растягивается (сжимается), еще и поворачивается на некоторый угол, но не указывают, в какой плоскости, как будто это не важно. И, что удивительно, решают задачи, и все получается!

Пример можете привести? Обычно когда вектора умножают на комплексные числа, векторное пространство тоже берется над $\mathbb C$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562082 писал(а):

и при этом поворачивается в плоскости, определенной парой векторов $l$ и $J(l).$

Вообще говоря, понятие "поворота" в векторном пространстве (без скалярного произведения) не определено. И для определения умножения важна не только плоскость, но и как именно преобразуются вектора в ней (ну точнее достаточно это сказать про какой-нибудь один ненулевой, но хотя бы для одного задать нужно).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562087 писал(а):

Пример можете привести?

Не помню, где, но это было какое-то общее высказывание, оно мне запомнилось, там было сказано, что при умножении вектора на комплексное число он, кроме того, что растягивается (сжимается), еще и поворачивается на некоторый угол, но, насколько я помню, не говорилось ничего о плоскости, в которой должен производиться поворот.

mihaild в сообщении #1562087 писал(а):

Вообще говоря, понятие "поворота" в векторном пространстве (без скалярного произведения) не определено.

Я, конечно, имел в виду пространство с определенными расстояниями и углами. Кстати, есть ли другие такие пространства, кроме евклидовых? У Гельфанда, кажется, сказано, что можно было бы ввести определение (во всяком случае) расстояния непосредственно, но в общем система оказалась бы сложнее, чем со скалярным произведением.

mihaild в сообщении #1562087 писал(а):

И для определения умножения важна не только плоскость, но и как именно преобразуются вектора в ней (ну точнее достаточно это сказать про какой-нибудь один ненулевой, но хотя бы для одного задать нужно).

Я не очень понимаю, что Вы имеете в виду? Оператор $J$ определяет плоскость умножения произвольного вектора $l$ и преобразует его в ней в вектор $il$. Этого не достаточно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562091 писал(а):

что при умножении вектора на комплексное число он, кроме того, что растягивается (сжимается), еще и поворачивается на некоторый угол, но, насколько я помню, не говорилось ничего о плоскости, в которой должен производиться поворот

Тут вопрос в контексте. Чтобы говорить об умножении вектора на комплексное число - нужно уже комплексное пространство, и оно естественно задает и плоскости.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562091 писал(а):

Я, конечно, имел в виду пространство с определенными расстояниями и углами.

Тогда вопрос - про какую в точности структуру вы говорите? То у вас четномерное векторное пространство, теперь еще скалярное произведение появилось.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562091 писал(а):

Кстати, есть ли другие такие пространства, кроме евклидовых?

Расстояния ввести можно. Если потребовать, чтобы расстояние было инвариантно по сдвигу и линейно по умножению на положительные скаляры - это будет штука, называемая нормированным пространством. Например на плоскости можно задать норму $\|(x, y\) = |x| + |y|$ (называется $l_1$ норма). С углами всё хуже, можно через норму ввести относительно осмысленное понятие ортогональности, но она будет гораздо хуже чем в пространствах со скалярным произведением.
Евклидово пространство - всегда конечномерное (по определению), есть его обобщение - гильбертово пространство.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562091 писал(а):

Оператор $J$ определяет плоскость умножения произвольного вектора $l$ и преобразует его в ней в вектор $il$. Этого не достаточно?

Оператора достаточно. Самой по себе плоскости (=инвариантного подпространства оператора) недостаточно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562108 писал(а):

комплексное пространство, и оно естественно задает и плоскости.

А как оно задает плоскости (умножения векторов)?

Я имею в виду не комплексную структуру, которая происходит от вещественного пространства и в которой плоскости умножения задаются оператором $J,$ а комплексное пространство, которое вводится независимо от вещественного, или комплексификацию. (В этих двух случаях появляются плоскости умножения, которых не было до построения пространства: в первом случае этих плоскостей не было, потому что вообще ничего не было -- никакого пространства, а во втором случае появляются плоскости умножения, которых не было в исходном вещественном пространстве.)

Как задаются эти вновь появляющиеся плоскости?

Если сказано: пусть дано линейное пространство $L$ над $\mathbb {C}$ с базисом $\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots, \textbf e_n$, то пока что сказано недостаточно.

Указание поля и базиса достаточно для вещественного пространства, потому что каждый вектор в нем лежит в единственной прямой и может преобразовываться только в ней.

Но для комплексного пространство этого недостаточно, потому что все еще не указаны плоскости, в которых будут преобразовываться векторы.

Как я понимаю, задаваться оператором $J$ в этих случаях они не могут, так как это вещественный оператор.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562192 писал(а):

А как оно задает плоскости (умножения векторов)?

Чисто по определению: в комплексном векторном пространстве написано, как умножать вектора на комплексные числа.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562192 писал(а):

Но для комплексного пространство этого недостаточно, потому что все еще не указаны плоскости, в которых будут преобразовываться векторы.

Этого вполне достаточно, потому что с точки зрения комплексного пространства нет никаких "плоскостей". У векторов будут комплексные координаты, будет в пространстве например вектор $(1 + \pi i) \textbf e_3 + (\sqrt{2} - 17 i) \textbf e_{42}$, ничем принципиально не отличается от разложения по базису в вещественном случае.
С точки зрения вещественного пространства (в отличии от добавления новых операций, ограничение старых однозначно), будет, например, плоскость, состоящая из векторов вида $\alpha \textbf e_1 + \beta i \textbf e_1$, $\alpha$ и $\beta$ - вещественные.

[Vladimir Pliassov]

1.

mihaild в сообщении #1562196 писал(а):

с точки зрения комплексного пространства нет никаких "плоскостей".

Да, конечно, если рассматривать его просто как абелеву группу векторов над некоторым полем.

Но само это поле $\mathbb {C}$ (хотя и обладающее большими возможностями, чем поле $\mathbb {R}$) можно рассматривать как не самостоятельное: на его элементы можно смотреть как на конструирующиеся из элементов поля $\mathbb {R}$ (комплексные числа могут конструироваться из вещественных).

Поэтому и на комплексное пространство можно смотреть не как на самостоятельное, а как на производное от вещественного, то есть как на комплексную структуру или как на комплексификацию. Комплексная структура строится введением на четномерном вещественном пространстве $L$ оператора $J$ (http://www.fipm.ru/kompl4.shtml) а комплексификация -- введением этого же оператора на прямой сумме $L\oplus L$ (http://www.fipm.ru/kompl7.shtml).

(Кстати, если на прямую сумму $L\oplus L$ посмотреть как на самостоятельное пространство $V=L\oplus L,$ то комплексификация представится как комплексная структура на $V.$)

2.

Как я понимаю, поле $\mathbb {C}$ и в самом деле не самостоятельно, его зависимость от поля $\mathbb {R}$ настолько велика, что при аксиоматическом определении поля $\mathbb {C}$ берется аксиома

Цитата:

С12: Множество комплексных чисел $\mathbb {C}$ содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел $\mathbb {R}$ ("Комплексное число", Википедия).

По этой аксиоматике поле $\mathbb {C}$ конструируется из $\mathbb {R}$ и $i$. Это прямо стоит в аксиоме

Цитата:

С14 (аксиома минимальности): Пусть $M$ — подмножество $\mathbb {C}$, которое: содержит $\mathbb {R}$ и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда $M$ совпадает со всем $\mathbb {C}.$ (Там же)

Таким образом, определить комплексное пространство иначе, чем через вещественное пространство невозможно.

Понимание этого факта чрезвычайно облегчает понимание комплексного пространства.

Или я ошибаюсь, и комплексное пространство может быть определено не через вещественное пространство, а как-то иначе?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562295 писал(а):

Да, конечно, если рассматривать его просто как абелеву группу векторов над некоторым полем

Только "как векторное пространство над полем $\mathbb C$".

Vladimir Pliassov в сообщении #1562295 писал(а):

Но само это поле $\mathbb {C}$ (хотя и обладающее большими возможностями, чем поле $\mathbb {R}$) можно рассматривать как не самостоятельное: на его элементы можно смотреть как на конструирующиеся из элементов поля $\mathbb {R}$

А вещественные числа могут конструироваться из рациональных, или даже напрямую из целых (есть способ построения вещественных чисел как отображений из целых чисел в себя). Ну и что?

Vladimir Pliassov в сообщении #1562295 писал(а):

Таким образом, определить комплексное пространство иначе, чем через вещественное пространство невозможно

Non sequitur. Из того, что можно определить комплексные числа как расширение $\mathbb R$, не следует, что их нельзя определить иначе.

Vladimir Pliassov в сообщении #1562295 писал(а):

Или я ошибаюсь, и комплексное пространство может быть определено не через вещественное пространство, а как-то иначе?

Вы про комплексное пространство, или про сами комплексные числа?
Предположу, что про второе.
Во-первых, есть конструкция, не вводящая непосредственно мнимую единицу - а именно, комплексные числа - это $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$.
Во-вторых, можно например сначала построить комплексно-рациональные числа, определить квадрат их модуля (а при желании - перейти к алгебраическим числам и определить и сам модуль), соответственно задать сходимость и определить комплексные числа как пополнение комплексно-рациональных.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1562307 писал(а):

комплексные числа - это $\mathbb R[x] / \langle x^2 + 1\rangle$.

Что такое $\mathbb R[x] $ и $ \langle x^2 + 1\rangle?$

[alcoholist]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562311 писал(а):

Что такое $\mathbb R[x] $

кольцо вещественных многочленов

Vladimir Pliassov в сообщении #1562311 писал(а):

и $ \langle x^2 + 1\rangle?$

идеал в этом кольце

-- Ср авг 10, 2022 00:41:12 --

А можно построить $\mathbb{C}$ как пополнение поля алгебраических чисел, минуя $\mathbb{R}$. Без общей топологии (в рамках классического анализа) тут никак не обойтись.

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov в сообщении #1562295 писал(а):

Как я понимаю, поле $\mathbb {C}$ и в самом деле не самостоятельно, его зависимость от поля $\mathbb {R}$ настолько велика, что при аксиоматическом определении поля $\mathbb {C}$ берется аксиома

Цитата:

С12: Множество комплексных чисел $\mathbb {C}$ содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел $\mathbb {R}$ ("Комплексное число", Википедия).
По этой аксиоматике поле $\mathbb {C}$ конструируется из $\mathbb {R}$ и $i$. Это прямо стоит в аксиоме

Это самая естественная аксиома, какая только можно. Я для себя использую определение $\mathbb C$ в духе теоремы Фробениуса: как единственное поле, которое расширяет $\mathbb R$ и еще и как алгебра - конечномерная. По мне так это самое естественное определение из всех.

[alcoholist]

А еще $\mathbb{C}$ можно определить как поле матриц вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$ над $\mathbb{R}$

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1562315 писал(а):

Это самая естественная аксиома, какая только можно. Я для себя использую определение $\mathbb C$ в духе теоремы Фробениуса: как единственное поле, которое расширяет $\mathbb R$ и еще и как алгебра - конечномерная. По мне так это самое естественное определение из всех.

Но есть утверждение, что

mihaild в сообщении #1562307 писал(а):

Из того, что можно определить комплексные числа как расширение $\mathbb R$, не следует, что их нельзя определить иначе.

А мне как раз хотелось бы найти подтверждение тому, что их все же нельзя определить иначе (чем через вещественные числа), пусть и не потому, что комплексные числа являются расширением $\mathbb R.$ Я попытаюсь это сделать на следующем примере.

alcoholist в сообщении #1562316 писал(а):

А еще $\mathbb{C}$ можно определить как поле матриц вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$ над $\mathbb{R}$

Спасибо! Это определение для меня самое понятное из всех предложенных. Как я полагаю, в роли $-1$ выступает матрица $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},$ в роли $i$ матрица $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},$ в роли $-i$ матрица $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$
или наоборот. Чисто вещественные матрицы имеют нули на побочной диагонали, чисто мнимые -- на главной.

Это поле изоморфно комплексному пространству, построенному из обычных вещественных чисел. И вообще любое комплексное поле, как я понимаю, будет ему изоморфно.

И произвольный элемент любого комплексного поля можно выразить в алгебраической форме $a+ib,$ где $a,b$ вещественные элементы этого поля.

Уверен, что и в тригонометрической и показательной форме все его элементы также выражаются через его же вещественные элементы.

Так что, какова бы ни была природа комплексного числа, оно не самостоятельно, а зависит от вещественных чисел той же природы, например, в алгебраической форме комплексное число, являющееся по природе матрицей вида $\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix},$ выражается как

$$\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b&0\\0&b\end{pmatrix},$$

где $\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}b&0\\0&b\end{pmatrix}$ вещественные числа в виде матриц.

mihaild в сообщении #1562307 писал(а):

Вы про комплексное пространство, или про сами комплексные числа?

Прежде всего, про комплексные числа. Но теперь, надеюсь, с ними разобрался.

Ну, а что касается комплексного пространства, то, наверное, оно зависит от вещественного, раз его поле зависит от вещественного поля.

[Slav-27]

$\mathbb C$ можно определить как алгебраически замкнутое поле характеристики ноль и континуальной мощности.