К статье.
Прикинул Absract. Он получается сильно похож на аннотацию к нашей с Василием статье. Что естественно: мы ведь просто продвинулись дальше в том же направлении (тех же направлениях).
Цитата:
We improve upper bounds for the length of runs of consecutive positive integers each with exactly
divisors for some given classes of even
and some concrete values of
. We have found exact values of the maximum possible runs for many fixed values of
. In particular, we exhibit the run of 15 consecutive positive integers each with exactly 12 divisors. Also we have found the long runs of consecutive equidivisible integers for some
, including the longest (to date) run of 20 consecutive numbers with 48 divisors.
Чуть подробнее.
После введения пойдут оценки сверху для
и
(это вотчина Дениса и Евгения). При этом длинное доказательство
будет вынесено в отдельную статью, а в нашей мы на нее сошлемся и приведем схему доказательства (мы с Евгением и Денисом согласовали этот момент).
Далее напишем об обесценивании (в свете новых теоретических результатов) конкретных троек и приведем полные списки тех
, для которых доказано
и
В следующем разделе планируется привести улучшенные верхние оценки для конкретных
, кратных 12, полученные Hugo.
Hugo, we will glad to see You among the authors.
Далее расскажем о том, как удалось доказать
. Здесь на авансцену выходит Дмитрий. Полагаю, следует остановиться на математической идее ускорителей, а программистские тонкости осветить обзорно. Впрочем, тут последнее слово за Дмитрием.
Далее напишем, что наиболее значительный эффект ускорители дают, когда для большого количества чисел в искомой цепочке осуществляется проверка на простоту. В нашем случае, это числа сравнимые с 12 по модулю 24. Для чисел кратных 24 эффект меньше. В частности, рекордные цепочке для них, представленные в приводимой таблице, получены без применения ускорителей. Но, возможно, применение ускорителей позволить улучшить и эти рекорды.
Далее приводим цепочку из 20 чисел по 48 делителей и отмечаем, что это самая длинная на сегодняшний день цепочка. Наверное, следует привести и первое число для цепочки из 18 чисел по 24 делителя (разумеется, ранее уже приведено число, открывающее цепочку из 15 чисел по 12 делителей, а может и вся цепочка). Остальные длинные цепочки представлены только своими
и
в таблице.
В заключение приводим гипотетические утверждения и отмечаем, какие их них станут доказанными при условии справедливости abc-гипотезы, гипотезы Диксона, гипотезы Шинцеля...
Полагаю авторский коллектив должен состоять из 6 человек: Антон, Денис, Дмитрий, Евгений, Hugo и ваш покорный слуга.
В проекте статьи не нашлось места конкретике от Антона (про минимальные цепочки речь не ведется), но я уверен, что без координирующей роли Антона наш авторский коллектив не сложился бы в принципе. А без его дотошности среди наших результатов было бы в разы больше ошибок, чем сейчас.
Отдельная статья про
практически готова.
Впрочем, и основная тоже. Осталось только написать