2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 ... 215  След.
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 10:36 
Аватара пользователя


11/12/16
13849
уездный город Н
Пересобрал pdf-ки c доказательством $M(2pq) \le 3$
Изменения: исправлены опечатки и добавлен пропущенный случай - по недочетоам, обнаруженным увааемым Хуго.

Русский вариант тут
English version is here

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 11:53 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Обещанное усиление: $M(120) \ge 11$

(Оффтоп)

223067245274007707823598729135135580085175778953210764971646881207952891211761217995423740

Эмпирические прогнозы на поиск более длинных цепочек благоприятны по ожидаемому количеству проверок, но не по времени: факторизация будет сильно тормозить.

Напомню, для каких случаев реально удлинить рекордные цепочки, не спотыкаясь о факторизацию: 72, 96, 108 (если повезет :-) ), 144.
Для 72, 108 и 96 я публиковал шаблоны паттернов (для 72, AFAIR, есть и программы от Дмитрия).
Для 144 я, кажется, табличку не делал. Но могу сделать, если нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 12:49 


21/04/22
356
mathematician123 в сообщении #1559713 писал(а):
Вообще, было бы неплохо сделать что-то подобное а-файлу, но для теоретических оценок сверху. Чтобы в одном месте были ссылки на все оценки. Есть ли возможность это как-то организовать?

Создал проект в Overleaf: https://www.overleaf.com/read/xnyryzfvyjrj. Пока там только одно утверждение, как пример. Планирую добавить туда ссылки на доказательства всех оценок сверху, которые известны на данный момент. Также думаю создать раздел с гипотезами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 13:27 
Аватара пользователя


11/12/16
13849
уездный город Н
VAL в сообщении #1559675 писал(а):
Гипотеза Шинцеля

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 13:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11763
Россия, Москва
Yadryara в сообщении #1559729 писал(а):
Итого, если числа вида $q^3r^2$ и $q^5r$ присутствуют в искомой 15-шке, то только на местах $32p \pm 1,3,5,7$
Это можно немного усилить, рассмотрев по модулю $6$ (и исключив тройку из всех чисел, рассмотрев её отдельно): $32p \bmod 6 = \pm 2,\;\; q^2r^2 \bmod 6 = \pm 1,\;\; q^5 r \bmod 6 = \pm 1,\;\; q,r>3$, значит:
a) для $p=1 \pmod 6$ допустимы лишь позиции $-7,-3,-1,+3,+5$ (лишь 5 из 8);
б) для $p=5 \pmod 6$ допустимы лишь позиции $-5,-3,+1,+3,+7$ (тоже лишь 5 из 8).
Итого допустимы лишь 10 случаев из 16 возможных.

Аналогично можно рассмотреть случаи $q=3$ и $r=3$ и получить похожие ограничения где оно допустимо.
А учитывая что тройка быть обязана, и в первой степени, и в большей, то придётся условия на неё скомбинировать с 10-ю выше и получить небольшую кучу допустимых вариантов паттернов (ровно как мы и проделали в начале темы, я уж точно получал все возможные паттерны с постоянным $q$, включая и искомое большое в квадрате (там оно называлось $p^2$, тут оно выступает как $r^2$)).
И кстати под все варианты $q^5 r$ вполне можно наделать ускорителей и просчитать их все — большие $q$ (порядка сотни тысяч и больше) несложно проверяются в PARI, а для меньших наделать ускорителей.
А варианты $q^3 r^2$ почти все окажутся недопустимыми по модулю 8 (квадраты мало где могут стоять в паттерне, да и мало какие прочие коэффициенты окажутся допустимыми). Плюс даже когда они допустимы по модулям, то часто не имеют решений в простых числах (и даже в числах вида $6t\pm1$), хотя имеют в целых. Это тоже уже обсуждалось ближе к началу темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 13:39 
Аватара пользователя


11/12/16
13849
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1559738 писал(а):
Планирую добавить туда ссылки на доказательства всех оценок сверху, которые известны на данный момент.

Прекрасное начинание! Как само по себе, так и в контексте того, что для статьи нужно будет писать Introduction с обзором известных результатов.
Пара комментариев:
1. ИМХО, нужно начинать со статьи Дюнша и Эгглентона. По крайней мере, тривиальное утверждение $M(2n+1) = 1$ есть уже там.
2. Удобно делить утверждения по остаткам по модулю $12$:
а) $ k \equiv \pm 4 \pmod{12} \Rightarrow M(k) \le 7$ - известный результат (не раскопал только, где впервые приведен). И неулучшаемый.
б) $ k \equiv 6 \pmod{12}$ - один из "наших случаев". По нему тоже есть известные результаты (менее общие или менее строгие).
в) $ k \equiv \pm 2 \pmod{12}$ - один из "наших случаев". По нему тоже есть известные результаты (менее общие или менее строгие).
г) $ k \equiv 0 \pmod{12}$ По этому случаю есть общие результаты (например, что только этот случай обеспечивает цепочки длинее $7$), и для каждого конкретного случая - модульная система для оценки верхней границы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 14:26 


21/04/22
356
EUgeneUS в сообщении #1559743 писал(а):
1. ИМХО, нужно начинать со статьи Дюнша и Эгглентона.

На Дюнша и Эгглетона я планирую сослаться в доказательстве некоторых утверждений, например, $M(2p) \le 3$. А в качестве вводной статьи мне больше нравится статья Владимира и Василия. Мне кажется, там более понятное изложение.
EUgeneUS в сообщении #1559743 писал(а):
2. Удобно делить утверждения по остаткам по модулю $12$:

Тоже об этом думаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 15:04 


05/06/22
293
Huz в сообщении #1559717 писал(а):
В а-файле тоже приведена оценка $M(60) \le 23$, но никаких ссылок на доказательство там нет.

I found that showing $M(60) < 24$ required checking 7-smooth moduli up to 784; it also used an additional ("set 3") type of constraint along the lines of "no element greater than $360150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^4$ can be divisible by 210". (It is easy to check there are no solutions less than 360150 to complete the proof.)

Set 1: 64 mod 128; 24,120 mod 144; 36,180 mod 216; 128 mod 256; 54,270 mod 324; 40,120,280,360 mod 400; 256 mod 512; 56,168,280,504,616,728 mod 784.

Set 2: 24 mod 32; 30 mod 36; 40 mod 48; 30,42,66 mod 72; 24,56 mod 80; 54 mod 81; 30,70 mod 100; 24,40,104 mod 112; 42,78,102,138 mod 180; 42,70,182 mod 196; 30,70,110,130,190 mod 200; 30,105,120,165,195,210 mod 225; 30,78,102,114,186,246 mod 252; 110,170,230,290 mod 300; 189,297 mod 324; 42,70,154,182,210,266,322,378 mod 392; 54,189,216,351 mod 405; 360 mod 432; 42,105,168,210,231,273,357,399,420 mod 441; 135,270,351,459,513,540 mod 567; 480 mod 576; 70,154,238,322,406,574 mod 588; 250,375 mod 625; 540 mod 648; 30,130,170,190,270,310,330,410,470,590,610,690 mod 700.

Set 3: 0 mod 210 > 360150; 0 mod 420 > 144060; 0 mod 480 > 245760; 0 mod 630 > 216090; 0 mod 672 > 344064.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 15:22 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
По поводу статьи.
Введение предлагаю сделать кратким. Написать, мол в работах [1]-[4] (это статья Дюнша-Эгглтона (кстати, на русском пишется именно так), моя и две моих с Василием) получены следующие результаты. При этом е конкретизировать, где что доказано (это можно слелать там, где будут усилены конкретные результаты).
Про обозначения написать, что мы будем придерживаться принятых в последней нашей с Василием статье (кратко продублировав).
То, что классы следует рассматривать классы $k$ по модулю 12, считаю естественным и самоочевидным.
При этом полагаю, что стоит рассматривать случаи по возрастанию $M(k)>k$.

Мне представляется, что случай $k=12t\pm2$ получается слишком объемным.
Может быть (я не уверен, что именно так следует поступать, но можно обсудить), вынести его в отдельную статью, а в нашей изложить подходы и сослаться. Альтернативный вариант - вынести в отдельную статью не весь этот случай, а только результат Евгения. Ну или ничего не выносить.
Закончить этот раздел сентенцией о том, почему мы изъяли конкретные тройки из наших таблиц.

Случаи $k=12t\pm6$ и $k=12t\pm4$, вроде понятны. Второй из них можно пристегнуть к первому, ибо на отдельный раздел он не тянет. Что касается оценки $M(12t\pm4)\le 7$ не важно, где она впервые упомянута, поскольку она тривиальна. Когда я впервые задумался о последовательных числах, имеющих поровну делителей, (еще не ведая про Дюнша и Эгглтона) я сразу вывел эту оценку (в отличие от $M(6)\le5$, с которой пришлось повозиться). Более того, я часто даю получение этой оценку в качестве задачки для школьников и они без труда справляются.

Случай длинных цепочек начать с метода улучшения оценок, описанного Hugo. (Hugo высказал сомнения о его корректности, но я не вижу, каких-либо причин для сомнений. Если кто-то видит, поделитесь.)
Далее в идейном плане (без языковых подробностей) описать подход Дмитрия.
Завершить раздел конкретными достижениями, особо выделив случай $M(12)=15$ - на сегодняшний день единственное точное значение $M(k)$, большее 7 и единственное $k$, для которого доказано $M(k)$.

Ну а всю статью завершить обновленным списком гипотез, акцентировав внимание на том, какие утверждения перейдут в разряд доказанных в случае справедливости abc-гипотезы, гипотезы Диксона, гипотезы Шинцеля...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 15:38 
Аватара пользователя


11/12/16
13849
уездный город Н
VAL
Некоторые предложения звучат странно.

(Оффтоп)

Более подробно отвечу в электронной почте несколько позже

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 15:54 
Аватара пользователя


29/04/13
8108
Богородский
Dmitriy40, здорово, что Вы откликнулись.

В начале темы все прочие варианты затмил подкласс КМК37-11, поэтому всё что писалось про 5-ю степень и кубоквадраты как-то забылось. Но я ещё буду перечитывать.

Dmitriy40 в сообщении #1559742 писал(а):
И кстати под все варианты $q^5 r$ вполне можно наделать ускорителей и просчитать их все — большие $q$ (порядка сотни тысяч и больше) несложно проверяются в PARI, а для меньших наделать ускорителей.

Было бы здорово. Потому что я $q^5 r$ уже проверял. Все $q$ до $r=73$ включительно. Таким образом осталось проверять меньше миллиона $q$ для каждого $r$, но ведь $r$-то этих больше чем $10^{30}$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 16:31 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
$M(240)\ge 10$

(Оффтоп)

4186664257438609672131163298778434306770838966233032273743204686365382275973119

Нашлось неожиданно легко.

-- 08 июл 2022, 16:41 --

Обновил подробную таблицу, прилагаемую к первому сообщению темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 17:08 
Заслуженный участник


20/08/14
11763
Россия, Москва
Dmitriy40 в сообщении #1559742 писал(а):
Итого допустимы лишь 10 случаев из 16 возможных.
Рассмотрев выражения $32p$ и $q^5 r$ по модулю $30$ можно ещё усилить ограничения:
Код:
? w=30; n=0; for(p=1,w, if(gcd(p,w)>1, next); print1(p,":"); forstep(d=-7,+7,2, x=(32*p+d)%w; if(x>0 && gcd(x,w)==1, printf(" %+d",d); n++)); print); print("n=",n)
1: -3 -1 +5
7: -7 -3 -1 +3 +5
11: -5 -3 +1 +7
13: -7 -3 +3 +5
17: -5 -3 +3 +7
19: -7 -1 +3 +5
23: -5 -3 +1 +3 +7
29: -5 +1 +3
n=32
Итого допустимы лишь 32 варианта из 64.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 18:12 
Аватара пользователя


29/04/13
8108
Богородский
Dmitriy40 в сообщении #1559770 писал(а):
Итого допустимы лишь 32 варианта из 64.

Правда я не вижу какой это может дать выигрыш. Нижняя половина таблицы является отражением верхней. Надо читать нижнюю половину справа налево и снизу вверх и будет получаться верхняя с инверсией знака, прочитанная обычным способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пентадекатлон мечты
Сообщение08.07.2022, 18:35 
Заслуженный участник


20/08/14
11763
Россия, Москва
Yadryara в сообщении #1559776 писал(а):
Правда я не вижу какой это может дать выигрыш. Нижняя половина таблицы является отражением верхней. Надо читать нижнюю половину справа налево и снизу вверх и будет получаться верхняя с инверсией знака, прочитанная обычным способом.
Да, 16 вариантов зеркальны другим 16-ти. Но половина вариантов запрещена вообще, в этом и выигрыш. Правда дальше он что-то не улучшается ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3218 ]  На страницу Пред.  1 ... 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 ... 215  След.

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group