Пентадекатлон мечты

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1559957 писал(а):

Докажем, что $M(84) \le 15$

Я еще тогда, когда готовилась та статья, планировал посмотреть, не будет ли переноситься доказательство лемм 6 и 7 на другие $k$, сравнимые с 12 по модулю 24 и не кратные 5. Но так и не посмотрел

А что Вы думаете, по поводу гипотезы $M(60) \le 17$?

[Dmitriy40]

mathematician123 в сообщении #1559957 писал(а):

Подставим это в уравнение $8(x^2-1) = n_0$ и получим $32(w)(w+1)(w^2+w+1) = n_0$. Заметим, что сомножители в скобках попарно взаимнопросты. Тогда один из них не делится ни на $p$, ни на $q$. Тогда этот сомножитель будет $\le 2^6 \cdot 3^2$.

Из 576-ти вариантов $w$ лишь одно единственное $w=17$ даёт 84 делителя в $n_0$:

? for(w=1,576, n=32*w*(w+1)*(w^2+w+1); print1(numdiv(n)==84))
00000000000000001000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000

Остальные два сомножителя очевидно больше $w$ и потому входят в этот список.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1559957 писал(а):

Докажем, что $M(84) \le 15$.

Можно тем же способом доказывать $M(12p) \le 15$ при фиксированном простом $p \ge 11$. Там всё сведётся к конечному перебору.

VAL в сообщении #1559958 писал(а):

А что Вы думаете, по поводу гипотезы $M(60) \le 17$?

Можно попробовать выписать возможные факторизации $n_6$ и $n_8$. Далее подставить эти факторизации в уравнение $2(2x+1)(2x-1) = n_6$ и воспользоваться тем, что $3 \mid n_8$ или $3 \mid n_6$. Там получится несколько уравнений. Может быть, неразрешимость этих уравнений можно доказать.

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1559962 писал(а):

Можно попробовать выписать возможные факторизации $n_6$ и $n_8$. Далее подставить эти факторизации в уравнение $2(2x+1)(2x-1) = n_6$ и воспользоваться тем, что $3 \mid n_8$ или $3 \mid n_6$. Там получится несколько уравнений. Может быть, неразрешимость этих уравнений можно доказать.

Для $3 \mid n_6$ там есть разрешимость. Но при этом $n_6$, похоже, всегда имеет больше четырех различных простых делителей.
Впрочем, я не уверен, что все случаи рассмотрел.

[mathematician123]

VAL в сообщении #1559946 писал(а):

У меня нет строгого доказательства, но, похоже $n_6$ (а возможно, и $n_4$) не могут иметь 60 делителей, если их 60 у $n_8$.

Нашёл три контрпримера, когда $n_8$ и $n_6$ имеют по 60 делителей (далее привожу $n_8$):
192158408
374832200
77253693005000
Можно доказать, что для таких пар выполняется условие $n_8 = 2(m^2+1)^2$ для нечётного $m$. Моя программа написана на Python и работает медленно. Думаю, с помощью более быстрой программы можно найти ещё контрпримеры.

[Dmitriy40]

mathematician123 в сообщении #1559970 писал(а):

Думаю, с помощью более быстрой программы можно найти ещё контрпримеры.

Да таких контрпримеров туча:

? for(m=1,10^5, n8=2*(m^2+1)^2; if(numdiv(n8)==60 && numdiv(n8-2)==60, print("n6=",n8-2,", n8=",n8)))
n6=192158406, n8=192158408
n6=374832198, n8=374832200
n6=77253693004998, n8=77253693005000
n6=1293557988844998, n8=1293557988845000
n6=5974655053204998, n8=5974655053205000
n6=54412155578044998, n8=54412155578045000
n6=115231730184604998, n8=115231730184605000
n6=2802962104549444998, n8=2802962104549445000
n6=3806605840092004998, n8=3806605840092005000
n6=4798637497609804998, n8=4798637497609805000
n6=6518325379443749766, n8=6518325379443749768
n6=8595254719261058886, n8=8595254719261058888
n6=10534790380008844998, n8=10534790380008845000
n6=89138855932691644998, n8=89138855932691645000
n6=112523174693358004998, n8=112523174693358005000
time = 5,913 ms.

А вот с $n_4$ всё хуже (или формула для $m$ неадекватна):

? forstep(m=1,10^6,2, n8=2*(m^2+1)^2; if(numdiv(n8)==60 && numdiv(n8-4)==60, print("m=",m,", n4=",n8-4,", n6:",numdiv(n8-2),", n8=",n8)))
m=406207, n4=54452723755061781844996, n6:48, n8=54452723755061781845000
m=947957, n4=1615044701016587867644996, n6:216, n8=1615044701016587867645000
time = 1min, 3,664 ms.

(Продолжение)

? forstep(m=10^6+1,10^7,2, n8=2*(m^2+1)^2; if(numdiv(n8)==60 && numdiv(n8-4)==60, print("m=",m,", n4=",n8-4,", n6:",numdiv(n8-2),", n8=",n8)))
m=1966857, n4=29930993919455399152804996, n6:108, n8=29930993919455399152805000
m=3675493, n4=364999605905045763456604996, n6:288, n8=364999605905045763456605000
m=3887657, n4=456858552898323177270244996, n6:48, n8=456858552898323177270245000
m=3949207, n4=486485150296703244524644996, n6:432, n8=486485150296703244524645000
m=4574343, n4=875678932192279760413444996, n6:1296, n8=875678932192279760413445000
m=4669507, n4=950854615234714775382604996, n6:48, n8=950854615234714775382605000
m=6470257, n4=3505226777886781079761204996, n6:648, n8=3505226777886781079761205000
m=7489157, n4=6291609158726832238482844996, n6:720, n8=6291609158726832238482845000
m=8329507, n4=9627359419177197698910604996, n6:1296, n8=9627359419177197698910605000
m=9068139, n4=13523922390800771066519031364, n6:336, n8=13523922390800771066519031368
m=9711607, n4=17790755597892335383908004996, n6:648, n8=17790755597892335383908005000
time = 16min, 29,172 ms.
? forstep(m=10^7+1,10^8,2, n8=2*(m^2+1)^2; if(numdiv(n8)==60 && numdiv(n8-4)==60, print("m=",m,", n4=",n8-4,", n6:",numdiv(n8-2),", n8=",n8)))
m=10114975, n4=20935785040914832174002783748, n6:360, n8=20935785040914832174002783752
m=10518343, n4=24480445185710797375059844996, n6:1296, n8=24480445185710797375059845000
m=11478743, n4=34722207299629251387372004996, n6:96, n8=34722207299629251387372005000
m=11771665, n4=38404452063131173544340390148, n6:1728, n8=38404452063131173544340390152
m=12722461, n4=52397975639220175994647392964, n6:72, n8=52397975639220175994647392968
m=12832907, n4=54241311708507565675182844996, n6:864, n8=54241311708507565675182845000
m=13433157, n4=65124193503135683646556444996, n6:1080, n8=65124193503135683646556445000
m=13971857, n4=76216065219681103276018804996, n6:144, n8=76216065219681103276018805000
m=15138743, n4=105048356205233095796724004996, n6:288, n8=105048356205233095796724005000
m=15680493, n4=120911844787487147737602604996, n6:336, n8=120911844787487147737602605000
m=18326395, n4=225599518006466148423216385348, n6:144, n8=225599518006466148423216385352
m=18860293, n4=253060135957767541581004444996, n6:864, n8=253060135957767541581004445000
m=19013957, n4=261408692781615830457129244996, n6:1728, n8=261408692781615830457129245000
m=19143611, n4=268612017528869404280971479364, n6:48, n8=268612017528869404280971479368
m=19435657, n4=285382211980565034476737444996, n6:144, n8=285382211980565034476737445000
m=19522093, n4=290492888552982187519260844996, n6:144, n8=290492888552982187519260845000
m=19580593, n4=293990540654743857852523444996, n6:648, n8=293990540654743857852523445000
m=19642143, n4=297704548195063625973786004996, n6:216, n8=297704548195063625973786005000
m=20155957, n4=330098604519656590213240444996, n6:1296, n8=330098604519656590213240445000
m=20219259, n4=334265024788913136588680965444, n6:648, n8=334265024788913136588680965448
m=20276007, n4=338033487142298069088964804996, n6:432, n8=338033487142298069088964805000
m=20661043, n4=364450845352552032443499244996, n6:10368, n8=364450845352552032443499245000
m=20756207, n4=371211967149423363856041844996, n6:144, n8=371211967149423363856041845000
m=21101951, n4=396570529012076838140369971204, n6:2592, n8=396570529012076838140369971208
m=21861543, n4=456828553835509444563157444996, n6:648, n8=456828553835509444563157445000
m=22581843, n4=520076859172648576030870444996, n6:432, n8=520076859172648576030870445000
m=23037157, n4=563307487514649482327198044996, n6:2592, n8=563307487514649482327198045000
m=24324093, n4=700126661809766032048676044996, n6:360, n8=700126661809766032048676045000
m=26605043, n4=1002041841459029265078228844996, n6:576, n8=1002041841459029265078228845000
m=29064543, n4=1427197217471267232844922644996, n6:108, n8=1427197217471267232844922645000
m=29126093, n4=1439325180232598178925227244996, n6:1728, n8=1439325180232598178925227245000
m=29274955, n4=1468976811641048504437994209348, n6:3456, n8=1468976811641048504437994209352
m=29284559, n4=1470905422262866937921101136644, n6:96, n8=1470905422262866937921101136648
m=29957715, n4=1610885732490073029870853086148, n6:504, n8=1610885732490073029870853086152
m=30178607, n4=1658925006443061056200028404996, n6:384, n8=1658925006443061056200028405000
m=31499157, n4=1968909343840550645366646844996, n6:288, n8=1968909343840550645366646845000
m=31590395, n4=1991820604981485988592922625348, n6:432, n8=1991820604981485988592922625352
m=31680757, n4=2014708399517351101498116604996, n6:288, n8=2014708399517351101498116605000
m=32007293, n4=2099064469863600407347575244996, n6:144, n8=2099064469863600407347575245000
m=32819707, n4=2320431721340882988828172444996, n6:4320, n8=2320431721340882988828172445000
m=33961707, n4=2660651781415802409197219644996, n6:504, n8=2660651781415802409197219645000
m=35100657, n4=3035924574685691175501883444996, n6:1440, n8=3035924574685691175501883445000
m=37443157, n4=3931151954558008209071680444996, n6:96, n8=3931151954558008209071680445000
m=38073095, n4=4202451650908317379835821417348, n6:288, n8=4202451650908317379835821417352
m=40890993, n4=5591658298170502383247057204996, n6:648, n8=5591658298170502383247057205000
m=40924607, n4=5610067231633896768774219604996, n6:1728, n8=5610067231633896768774219605000
m=41774561, n4=6090845374231919913907319938564, n6:576, n8=6090845374231919913907319938568
m=42931843, n4=6794353293952716357527530444996, n6:48, n8=6794353293952716357527530445000
m=43710643, n4=7300939949229806187420109804996, n6:48, n8=7300939949229806187420109805000
m=44123615, n4=7580787827130979157326651974148, n6:864, n8=7580787827130979157326651974152
m=45726607, n4=8743914535779530134465566004996, n6:1728, n8=8743914535779530134465566005000
m=46145257, n4=9068558772519231202971151204996, n6:72, n8=9068558772519231202971151205000
m=47493743, n4=10175964589519503257569830004996, n6:2592, n8=10175964589519503257569830005000
m=49088007, n4=11612656907290560344561894404996, n6:240, n8=11612656907290560344561894405000
m=49294493, n4=11809285235644422285760283404996, n6:864, n8=11809285235644422285760283405000
m=50255769, n4=12757738234736020707604069150084, n6:432, n8=12757738234736020707604069150088
m=51153743, n4=13694294540573727246820782004996, n6:768, n8=13694294540573727246820782005000
m=52748007, n4=15482968002378490631790062404996, n6:1296, n8=15482968002378490631790062405000
m=53890007, n4=16867975272708555910354092004996, n6:360, n8=16867975272708555910354092005000
m=56210249, n4=19966044383771730697817069136004, n6:48, n8=19966044383771730697817069136008
m=57472299, n4=21820478801277107446763021083204, n6:2160, n8=21820478801277107446763021083208
m=57697993, n4=22165259610992952700935213604996, n6:288, n8=22165259610992952700935213605000
m=58538343, n4=23485061174759165744571531844996, n6:648, n8=23485061174759165744571531845000
m=60113399, n4=26116509695478074872127159145604, n6:360, n8=26116509695478074872127159145608
m=60277543, n4=26402932278916635035633307844996, n6:96, n8=26402932278916635035633307845000
m=60791357, n4=27314757383667829574318224204996, n6:864, n8=27314757383667829574318224205000
m=61761361, n4=29100297344779744469548160943364, n6:1152, n8=29100297344779744469548160943368
m=62740093, n4=30989218785214562698188893644996, n6:432, n8=30989218785214562698188893645000
m=64454407, n4=34517589860548561242156157444996, n6:216, n8=34517589860548561242156157445000
m=64632957, n4=34901661184801664906437853644996, n6:324, n8=34901661184801664906437853645000
m=64959493, n4=35612339275868206114121141404996, n6:2592, n8=35612339275868206114121141405000
m=65861393, n4=37631683174609230154378220404996, n6:7776, n8=37631683174609230154378220405000
m=66280043, n4=38597672930527902638353398844996, n6:864, n8=38597672930527902638353398845000
m=66880293, n4=40014985505269377861842452444996, n6:648, n8=40014985505269377861842452445000
m=67335607, n4=41115834895081990632192832804996, n6:144, n8=41115834895081990632192832805000
m=67455657, n4=41409835176841884388744585444996, n6:240, n8=41409835176841884388744585445000
m=68896257, n4=45062212199839915223909922004996, n6:1944, n8=45062212199839915223909922005000
m=69823043, n4=47536268141148423503776532044996, n6:144, n8=47536268141148423503776532045000
m=70903493, n4=50547597552978030970662322204996, n6:48, n8=50547597552978030970662322205000
m=72157691, n4=54220123955014617575897031992644, n6:48, n8=54220123955014617575897031992648
m=72737857, n4=55985041261279485193046322004996, n6:144, n8=55985041261279485193046322005000
m=72969229, n4=56700778995578383158355982262724, n6:768, n8=56700778995578383158355982262728
m=73636707, n4=58804076096822184568794149644996, n6:108, n8=58804076096822184568794149645000
m=73698257, n4=59000930710146752097589455604996, n6:3456, n8=59000930710146752097589455605000
m=74236957, n4=60745014827803514581618028044996, n6:432, n8=60745014827803514581618028045000
m=76393055, n4=68115430826989500471653210233348, n6:288, n8=68115430826989500471653210233352
m=78392579, n4=75531794865360077215031000445124, n6:324, n8=75531794865360077215031000445128
m=79365493, n4=79351815776330719605159204604996, n6:2592, n8=79351815776330719605159204605000
m=80119407, n4=82410187178842874281256803444996, n6:432, n8=82410187178842874281256803445000
m=80686043, n4=84766385524189764407199009244996, n6:1152, n8=84766385524189764407199009245000
m=81222991, n4=87045416617966696692207963421444, n6:1152, n8=87045416617966696692207963421448
m=81319907, n4=87461614275351769802237957644996, n6:144, n8=87461614275351769802237957645000
m=83600857, n4=97695129628292801111935953604996, n6:144, n8=97695129628292801111935953605000
m=86663657, n4=112817907611083951121995532644996, n6:864, n8=112817907611083951121995532645000
m=87744107, n4=118550073935755827897270867004996, n6:864, n8=118550073935755827897270867005000
m=88550843, n4=122970459456880488558509826844996, n6:432, n8=122970459456880488558509826845000
m=89540931, n4=128563124374070063931388039769284, n6:864, n8=128563124374070063931388039769288
m=89544857, n4=128585673705094206205592270404996, n6:288, n8=128585673705094206205592270405000
m=89569743, n4=128728677666360581357971009204996, n6:1296, n8=128728677666360581357971009205000
m=90471643, n4=133992319474227183407777136604996, n6:192, n8=133992319474227183407777136605000
m=91763381, n4=141810249893962919299099175100484, n6:192, n8=141810249893962919299099175100488
m=91912243, n4=142732691124900060230984020204996, n6:216, n8=142732691124900060230984020205000
m=93232793, n4=151114025364309046764020773444996, n6:144, n8=151114025364309046764020773445000
m=93291293, n4=151493655491508555217891320844996, n6:24, n8=151493655491508555217891320845000
m=93472893, n4=152676689018938223702451462604996, n6:504, n8=152676689018938223702451462605000
m=95067157, n4=163362368533016134943611850044996, n6:192, n8=163362368533016134943611850045000
m=95153593, n4=163957302026569327594947066244996, n6:72, n8=163957302026569327594947066245000
m=95753843, n4=168133730006622402015439745644996, n6:144, n8=168133730006622402015439745645000
m=96747857, n4=175224734952131165781030294004996, n6:3456, n8=175224734952131165781030294005000
m=97554593, n4=181142718511439280198412077844996, n6:192, n8=181142718511439280198412077845000
m=98308507, n4=186807538510406981880405235804996, n6:600, n8=186807538510406981880405235805000
m=99807607, n4=198465292113562406676715831204996, n6:96, n8=198465292113562406676715831205000
time = 4h, 12min, 19,523 ms.

И все варианты не дают 60 делителей в $n_6$.

[Yadryara]

VAL, спасибо за добрые слова.

$T(6,14) \leqslant 1096498735329146833535591491104451546$

$\tikz[scale=.08]{ \fill[green!90!blue!50] (10,210) rectangle (80,220); \fill[green!90!blue!50] (10,200) rectangle (30,210); \fill[green!90!blue!50] (10,190) rectangle (30,210); \fill[green!70!blue] (20,210) rectangle (40,220); \fill[green!70!blue] (20,190) rectangle (30,200); \draw[step=10cm] (0,160) grid +(100,70); \node at (15,225){\text{41}}; \node at (25,225){\text{43}}; \node at (35,225){\text{47}}; \node at (45,225){\text{53}}; \node at (55,225){\text{59}}; \node at (65,225){\text{61}}; \node at (75,225){\text{67}}; \node at (85,225){\text{71}}; \node at (95,225){\text{73}}; \node at (5,215){\text{37}}; \node at (15,215){\text{23}}; \node at (25,215){\text{35}}; \node at (35,215){\text{61}}; \node at (45,215){\text{105}}; \node at (55,215){\text{154}}; \node at (65,215){\text{172}}; \node at (75,215){\text{228}}; \node at (85,215){\text{268}}; \node at (95,215){\text{289}}; \node at (5,205){\text{31}}; \node at (15,205){\text{75}}; \node at (25,205){\text{92}}; \node at (35,205){\text{130}}; \node at (45,205){\text{192}}; \node at (55,205){\text{262}}; \node at (65,205){\text{287}}; \node at (75,205){\text{367}}; \node at (85,205){\text{425}}; \node at (95,205){\text{455}}; \node at (5,195){\text{29}}; \node at (15,195){\text{100}}; \node at (25,195){\text{120}}; \node at (35,195){\text{163}}; \node at (45,195){\text{234}}; \node at (55,195){\text{314}}; \node at (65,195){\text{342}}; \node at (75,195){\text{434}}; \node at (85,195){\text{499}}; \node at (95,195){\text{534}}; \node at (5,185){\text{23}}; \node at (15,185){\text{218}}; \node at (25,185){\text{250}}; \node at (35,185){\text{318}}; \node at (45,185){\text{431}}; \node at (55,185){\text{558}}; \node at (65,185){\text{603}}; \node at (75,185){\text{749}}; \node at (85,185){\text{853}}; \node at (95,185){\text{907}}; \node at (5,175){\text{19}}; \node at (15,175){\text{366}}; \node at (25,175){\text{412}}; \node at (35,175){\text{512}}; \node at (45,175){\text{678}}; \node at (55,175){\text{864}}; \node at (65,175){\text{931}}; \node at (75,175){\text{1143}}; \node at (85,175){\text{1296}}; \node at (95,175){\text{1376}}; \node at (5,165){\text{17}}; \node at (15,165){\text{482}}; \node at (25,165){\text{540}}; \node at (35,165){\text{664}}; \node at (45,165){\text{872}}; \node at (55,165){\text{1104}}; \node at (65,165){\text{1188}}; \node at (75,165){\text{1453}}; \node at (85,165){\text{1644}}; \node at (95,165){\text{1744}}; }$

EUgeneUS в сообщении #1559865 писал(а):

просьба сообщить свой электронный адрес (мне в личные сообщения на форуме), на котором зарегистрирован ваши аккаунты в Papeeria.

Но у меня нет никакого аккаунта в Papeeria.

[EUgeneUS]

Yadryara

(Оффтоп)

Yadryara в сообщении #1559974 писал(а):

Но у меня нет никакого аккаунта в Papeeria.

Papeeria - это он-онлайн редактор ЛаТеХ, позволяющий организовать совместную работу над текстом.
Общая статья пишется в проекте в Papeeria на моём аккаунте.
Соответственно, чтобы подключиться к работе над ней нужно:
а) Иметь (завести) аккаунт на Papeeria
б) Сообщить мне его
в) я расшарю проект для Вас.

-- 12.07.2022, 08:55 --

Dmitriy40 в сообщении #1559919 писал(а):

Первое понятно уже устарело, как и M36n13 и M60n11, а 48,72,84 делителей вполне готовы.

Спасибо!
По 84 делителям, мы же 10-ку нашли с ускорителями. А значит 11-ка будет требовать увеличения мощностей или времени примерно на порядок. В одного искать 11-ку будет грустно.
В ближайшие дни запущу поиск цепочек на 72 делителя.

А ускорителей на 24 и 96 делителей у Вас нет в планах?

[EUgeneUS]

mathematician123 в сообщении #1559957 писал(а):

Тогда $2x = z^2+1$

Можно ещё так поступить.
$x = (z^2 +1)/2$
$n_0 = 8(x+1)(x-1) = 2 (z^2 +3)(z+1)(z-1)$
Сделаем замену: $w=z-1$, тогда

$n_0 = 2 (w(w+2)+4)(w+2)(w)$

Числа $(w(w+2)+4)$ и $(w+2)(w)$ не могут иметь общих делителей, кроме $4$ (и $2$, как делитель $4$)
Числа $(w+2)$ и $(w)$ не могут иметь общих делителей, кроме $2$.

Тогда подбирая форму четного числа $w = 2^a m + 2b$, можно добиться, чтобы у нас вынеслось за скобки (и сократилась) именно та степень двойки, которая есть в $n_0$.
После чего у нас останется произведение трех чисел, не имеющих общих делителей с одной стороны, и с другой стороны.
Так как в факторизации $n_0$ обязательно есть тройка или степень тройки, то у нас будет конечное (и небольшое) количество уравнений для определения $m$.

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1559970 писал(а):

Можно доказать, что для таких пар выполняется условие $n_8 = 2(m^2+1)^2$ для нечётного $m$. Моя программа написана на Python и работает медленно. Думаю, с помощью более быстрой программы можно найти ещё контрпримеры.

Понятно.
Это означает, что цепочки из чисел по 60 делителей длиннее 17 (даже если существуют) недоступны нашим сегодняшним алгоритмам даже теоретически (при гипотетическом увеличения быстродействия в триллионы раз).

Опишу наши подходы к поиску не для участников группы (полагаю они в курсе), а скорее, для более четкого уяснения наших действий, в том числе и для себя (а может, и для статьи).

Не беря во внимание дополнительные фильтры и ухищрения (иногда они дают колоссальный эффект, поэтому во вминание я их не беру только временно), все наши алгоритмы нахождения цепочек можно разделить на линейные и квадратично-линейные.

В линейных мы решаем линейные сравнения, с помощью КТО находим начальное значение множителя одного из чисел паттерна и дальше перебираем числа в классе вычетов, задаваемых этим множителем, то есть опять-таки линейно. Ну и для каждого числа проверяем соответствующую цепочку.

В квадратично-линейных мы сначала подбираем систему модулей, чтобы для них были разрешимы требуемые квадратные сравнения. Это дает не один а много классов. Далее для одного (нескольких, каждого) класса мы опять перебираем представители (то есть действуем линейно) и проверяем соответствующие цепочки.

Первым методом были найдены все цепочки, кроме пятерок. Вторым - все пятерки.
Дмитрий задавался вопросом, можно ли применить второй метод к нахождению длинных цепочек.
Предложенный паттерн для нахождения цепочек длины 16 (он тривиально достраивается до паттерна для 17) и есть такой пример. Важно, что первым методом не удастся построить цепочек длиннее 15 ($n_8$ туда не вписывается). Разумеется, ни до 17, ни до 15 чисел, имеющих по 60 делителей мы за обозримое время не доберемся ни одним из подходов. Но теоретически это означает, что существуют длинные цепочки, находимые вторым методом, но не первым.

Для построения цепочек (для $k=60$) длиннее 17 (даже если они есть) не годен и второй подход.
Теоретически можно допустить, найдется диофантово уравнение с бесконечной серией решений, позволяющее строить пары $(n_6, n_8)$ и испытывать цепочки для них. Но на практике решения будут расти так быстро (экспоненциально), что через пару десятков шагов мы, по сути, уткнемся в бесконечность.

[EUgeneUS]

VAL в сообщении #1559983 писал(а):

Дмитрий задавался вопросом, можно ли применить второй метод к нахождению длинных цепочек

Помнится, я предлагал поискать этим методом ("с одним квадратом") 14-ку на 36 делителей.
Введение квадрата там несколько купирует неприятные последствия того, что не удаётся оптимально расставить тройки.
Можно вернуться к этому вопросу...

[VAL]

EUgeneUS в сообщении #1559987 писал(а):

Помнится, я предлагал поискать этим методом ("с одним квадратом") 14-ку на 36 делителей.
Введение квадрата там несколько купирует неприятные последствия того, что не удаётся оптимально расставить тройки.
Можно вернуться к этому вопросу...

Там размер чисел сразу станет таким, что нужно будет искать все 14 чисел проверкой на простоту. И вероятность успеха будет мизерная.

-- 12 июл 2022, 12:33 --

Доказательство $M(60)\le 17$ не состоялось.
Зато есть доказательство $M(60)\ge 17$ с точностью до гипотезы Шинцеля.

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1559976 писал(а):

А ускорителей на 24 и 96 делителей у Вас нет в планах?

На 96 если кто-то будет считать то сделать ускорители можно. Но, там же всего 3 проверяемых числа, да ещё и на краях цепочки, т.е. 14-ка будет искаться неэффективно, да и для 15-ки ускорение будет не столь значительным.

24 делителя я пробую искать по своим паттернам с 6-ю проверяемыми числами, 5 из которых в центре, но за двое суток в одном потоке проверено 2млрд кандидатов и ничего интересного не найдено, 99.999997% срубились проверкой isprime и факторизацией по простым до $2^{15}$, из оставшихся 56шт ни один не прошёл факторизацию по простым до $2^{25}$, не говоря уж про полное разложение. Хотя числа не слишком большие, 80-82 цифр. Перспективы грустные. А делать по комплекту ускорителей на каждое увеличение длины на 1 тоже как-то не радует.

[Huz]

Yadryara в сообщении #1559974 писал(а):

VAL, спасибо за добрые слова.

$T(6,14) \leqslant 1096498735329146833535591491104451546$

Congrats. :)

Latest estimate for my code suggests it may be able to prove $T(6,10)$ minimal in under 90 days (down from nearly 500 days); it starts to become tempting to stop all other searches and run 5 or 6 shards of that search in parallel.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1559995 писал(а):

На 96 если кто-то будет считать то сделать ускорители можно. Но, там же всего 3 проверяемых числа, да ещё и на краях цепочки, т.е. 14-ка будет искаться неэффективно, да и для 15-ки ускорение будет не столь значительным.

поиск 14 чисел по 96 я запустил (без ускорителей). Надеюсь, скоро найдутся. С ускорителями лучше искать сразу 15.