Пентадекатлон мечты

[EUgeneUS]

Пересобрал pdf-ки c доказательством $M(2pq) \le 3$
Изменения: исправлены опечатки и добавлен пропущенный случай - по недочетоам, обнаруженным увааемым Хуго.

Русский вариант тут
English version is here

[VAL]

Обещанное усиление: $M(120) \ge 11$

(Оффтоп)

223067245274007707823598729135135580085175778953210764971646881207952891211761217995423740

Эмпирические прогнозы на поиск более длинных цепочек благоприятны по ожидаемому количеству проверок, но не по времени: факторизация будет сильно тормозить.

Напомню, для каких случаев реально удлинить рекордные цепочки, не спотыкаясь о факторизацию: 72, 96, 108 (если повезет ), 144.
Для 72, 108 и 96 я публиковал шаблоны паттернов (для 72, AFAIR, есть и программы от Дмитрия).
Для 144 я, кажется, табличку не делал. Но могу сделать, если нужно.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1559713 писал(а):

Вообще, было бы неплохо сделать что-то подобное а-файлу, но для теоретических оценок сверху. Чтобы в одном месте были ссылки на все оценки. Есть ли возможность это как-то организовать?

Создал проект в Overleaf: https://www.overleaf.com/read/xnyryzfvyjrj. Пока там только одно утверждение, как пример. Планирую добавить туда ссылки на доказательства всех оценок сверху, которые известны на данный момент. Также думаю создать раздел с гипотезами.

[EUgeneUS]

VAL в сообщении #1559675 писал(а):

Гипотеза Шинцеля

Спасибо!

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1559729 писал(а):

Итого, если числа вида $q^3r^2$ и $q^5r$ присутствуют в искомой 15-шке, то только на местах $32p \pm 1,3,5,7$

Это можно немного усилить, рассмотрев по модулю $6$ (и исключив тройку из всех чисел, рассмотрев её отдельно): $32p \bmod 6 = \pm 2,\;\; q^2r^2 \bmod 6 = \pm 1,\;\; q^5 r \bmod 6 = \pm 1,\;\; q,r>3$, значит:
a) для $p=1 \pmod 6$ допустимы лишь позиции $-7,-3,-1,+3,+5$ (лишь 5 из 8);
б) для $p=5 \pmod 6$ допустимы лишь позиции $-5,-3,+1,+3,+7$ (тоже лишь 5 из 8).
Итого допустимы лишь 10 случаев из 16 возможных.

Аналогично можно рассмотреть случаи $q=3$ и $r=3$ и получить похожие ограничения где оно допустимо.
А учитывая что тройка быть обязана, и в первой степени, и в большей, то придётся условия на неё скомбинировать с 10-ю выше и получить небольшую кучу допустимых вариантов паттернов (ровно как мы и проделали в начале темы, я уж точно получал все возможные паттерны с постоянным $q$, включая и искомое большое в квадрате (там оно называлось $p^2$, тут оно выступает как $r^2$)).
И кстати под все варианты $q^5 r$ вполне можно наделать ускорителей и просчитать их все — большие $q$ (порядка сотни тысяч и больше) несложно проверяются в PARI, а для меньших наделать ускорителей.
А варианты $q^3 r^2$ почти все окажутся недопустимыми по модулю 8 (квадраты мало где могут стоять в паттерне, да и мало какие прочие коэффициенты окажутся допустимыми). Плюс даже когда они допустимы по модулям, то часто не имеют решений в простых числах (и даже в числах вида $6t\pm1$), хотя имеют в целых. Это тоже уже обсуждалось ближе к началу темы.

[EUgeneUS]

mathematician123 в сообщении #1559738 писал(а):

Планирую добавить туда ссылки на доказательства всех оценок сверху, которые известны на данный момент.

Прекрасное начинание! Как само по себе, так и в контексте того, что для статьи нужно будет писать Introduction с обзором известных результатов.
Пара комментариев:
1. ИМХО, нужно начинать со статьи Дюнша и Эгглентона. По крайней мере, тривиальное утверждение $M(2n+1) = 1$ есть уже там.
2. Удобно делить утверждения по остаткам по модулю $12$:
а) $ k \equiv \pm 4 \pmod{12} \Rightarrow M(k) \le 7$ - известный результат (не раскопал только, где впервые приведен). И неулучшаемый.
б) $ k \equiv 6 \pmod{12}$ - один из "наших случаев". По нему тоже есть известные результаты (менее общие или менее строгие).
в) $ k \equiv \pm 2 \pmod{12}$ - один из "наших случаев". По нему тоже есть известные результаты (менее общие или менее строгие).
г) $ k \equiv 0 \pmod{12}$ По этому случаю есть общие результаты (например, что только этот случай обеспечивает цепочки длинее $7$), и для каждого конкретного случая - модульная система для оценки верхней границы.

[mathematician123]

EUgeneUS в сообщении #1559743 писал(а):

1. ИМХО, нужно начинать со статьи Дюнша и Эгглентона.

На Дюнша и Эгглетона я планирую сослаться в доказательстве некоторых утверждений, например, $M(2p) \le 3$. А в качестве вводной статьи мне больше нравится статья Владимира и Василия. Мне кажется, там более понятное изложение.

EUgeneUS в сообщении #1559743 писал(а):

2. Удобно делить утверждения по остаткам по модулю $12$:

Тоже об этом думаю.

[Huz]

Huz в сообщении #1559717 писал(а):

В а-файле тоже приведена оценка $M(60) \le 23$, но никаких ссылок на доказательство там нет.

I found that showing $M(60) < 24$ required checking 7-smooth moduli up to 784; it also used an additional ("set 3") type of constraint along the lines of "no element greater than $360150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^4$ can be divisible by 210". (It is easy to check there are no solutions less than 360150 to complete the proof.)

Set 1: 64 mod 128; 24,120 mod 144; 36,180 mod 216; 128 mod 256; 54,270 mod 324; 40,120,280,360 mod 400; 256 mod 512; 56,168,280,504,616,728 mod 784.

Set 2: 24 mod 32; 30 mod 36; 40 mod 48; 30,42,66 mod 72; 24,56 mod 80; 54 mod 81; 30,70 mod 100; 24,40,104 mod 112; 42,78,102,138 mod 180; 42,70,182 mod 196; 30,70,110,130,190 mod 200; 30,105,120,165,195,210 mod 225; 30,78,102,114,186,246 mod 252; 110,170,230,290 mod 300; 189,297 mod 324; 42,70,154,182,210,266,322,378 mod 392; 54,189,216,351 mod 405; 360 mod 432; 42,105,168,210,231,273,357,399,420 mod 441; 135,270,351,459,513,540 mod 567; 480 mod 576; 70,154,238,322,406,574 mod 588; 250,375 mod 625; 540 mod 648; 30,130,170,190,270,310,330,410,470,590,610,690 mod 700.

Set 3: 0 mod 210 > 360150; 0 mod 420 > 144060; 0 mod 480 > 245760; 0 mod 630 > 216090; 0 mod 672 > 344064.

[VAL]

По поводу статьи.
Введение предлагаю сделать кратким. Написать, мол в работах [1]-[4] (это статья Дюнша-Эгглтона (кстати, на русском пишется именно так), моя и две моих с Василием) получены следующие результаты. При этом е конкретизировать, где что доказано (это можно слелать там, где будут усилены конкретные результаты).
Про обозначения написать, что мы будем придерживаться принятых в последней нашей с Василием статье (кратко продублировав).
То, что классы следует рассматривать классы $k$ по модулю 12, считаю естественным и самоочевидным.
При этом полагаю, что стоит рассматривать случаи по возрастанию $M(k)>k$.

Мне представляется, что случай $k=12t\pm2$ получается слишком объемным.
Может быть (я не уверен, что именно так следует поступать, но можно обсудить), вынести его в отдельную статью, а в нашей изложить подходы и сослаться. Альтернативный вариант - вынести в отдельную статью не весь этот случай, а только результат Евгения. Ну или ничего не выносить.
Закончить этот раздел сентенцией о том, почему мы изъяли конкретные тройки из наших таблиц.

Случаи $k=12t\pm6$ и $k=12t\pm4$, вроде понятны. Второй из них можно пристегнуть к первому, ибо на отдельный раздел он не тянет. Что касается оценки $M(12t\pm4)\le 7$ не важно, где она впервые упомянута, поскольку она тривиальна. Когда я впервые задумался о последовательных числах, имеющих поровну делителей, (еще не ведая про Дюнша и Эгглтона) я сразу вывел эту оценку (в отличие от $M(6)\le5$, с которой пришлось повозиться). Более того, я часто даю получение этой оценку в качестве задачки для школьников и они без труда справляются.

Случай длинных цепочек начать с метода улучшения оценок, описанного Hugo. (Hugo высказал сомнения о его корректности, но я не вижу, каких-либо причин для сомнений. Если кто-то видит, поделитесь.)
Далее в идейном плане (без языковых подробностей) описать подход Дмитрия.
Завершить раздел конкретными достижениями, особо выделив случай $M(12)=15$ - на сегодняшний день единственное точное значение $M(k)$, большее 7 и единственное $k$, для которого доказано $M(k)$.

Ну а всю статью завершить обновленным списком гипотез, акцентировав внимание на том, какие утверждения перейдут в разряд доказанных в случае справедливости abc-гипотезы, гипотезы Диксона, гипотезы Шинцеля...

[EUgeneUS]

VAL
Некоторые предложения звучат странно.

(Оффтоп)

Более подробно отвечу в электронной почте несколько позже

[Yadryara]

Dmitriy40, здорово, что Вы откликнулись.

В начале темы все прочие варианты затмил подкласс КМК37-11, поэтому всё что писалось про 5-ю степень и кубоквадраты как-то забылось. Но я ещё буду перечитывать.

Dmitriy40 в сообщении #1559742 писал(а):

И кстати под все варианты $q^5 r$ вполне можно наделать ускорителей и просчитать их все — большие $q$ (порядка сотни тысяч и больше) несложно проверяются в PARI, а для меньших наделать ускорителей.

Было бы здорово. Потому что я $q^5 r$ уже проверял. Все $q$ до $r=73$ включительно. Таким образом осталось проверять меньше миллиона $q$ для каждого $r$, но ведь $r$-то этих больше чем $10^{30}$ .

[VAL]

$M(240)\ge 10$

(Оффтоп)

4186664257438609672131163298778434306770838966233032273743204686365382275973119

Нашлось неожиданно легко.

-- 08 июл 2022, 16:41 --

Обновил подробную таблицу, прилагаемую к первому сообщению темы.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1559742 писал(а):

Итого допустимы лишь 10 случаев из 16 возможных.

Рассмотрев выражения $32p$ и $q^5 r$ по модулю $30$ можно ещё усилить ограничения:

? w=30; n=0; for(p=1,w, if(gcd(p,w)>1, next); print1(p,":"); forstep(d=-7,+7,2, x=(32*p+d)%w; if(x>0 && gcd(x,w)==1, printf(" %+d",d); n++)); print); print("n=",n)
1: -3 -1 +5
7: -7 -3 -1 +3 +5
11: -5 -3 +1 +7
13: -7 -3 +3 +5
17: -5 -3 +3 +7
19: -7 -1 +3 +5
23: -5 -3 +1 +3 +7
29: -5 +1 +3
n=32

Итого допустимы лишь 32 варианта из 64.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1559770 писал(а):

Итого допустимы лишь 32 варианта из 64.

Правда я не вижу какой это может дать выигрыш. Нижняя половина таблицы является отражением верхней. Надо читать нижнюю половину справа налево и снизу вверх и будет получаться верхняя с инверсией знака, прочитанная обычным способом.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1559776 писал(а):

Правда я не вижу какой это может дать выигрыш. Нижняя половина таблицы является отражением верхней. Надо читать нижнюю половину справа налево и снизу вверх и будет получаться верхняя с инверсией знака, прочитанная обычным способом.

Да, 16 вариантов зеркальны другим 16-ти. Но половина вариантов запрещена вообще, в этом и выигрыш. Правда дальше он что-то не улучшается ...