Пентадекатлон мечты

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1558649 писал(а):

Стоит отличать принципиальную пользу от практической:

Конечно. См. ниже.

Huz, Спасибо! Я конечно же ничего не понял, но как говорил мой друг: "Внушает!"

Представим себе, что космолёт отправляется к другой обитаемой планете. Огромную ценность для немногочисленных местных представляют спички. Более того, они очень любят делить богатство поровну. Зная об этом, экипаж решает доставить туда спички, потому как без подарка нельзя.

Сколько же взять? Можно не больше полумиллиона.

Смотрим сюда: A002182. И понимаем, что лучше взять 498960 спичек. Ибо это минимальное число имеющее 200 делителей.

Если выяснится, что пришло встречать 5 человек, то мы легко разделим все спички поровну и межгалактический конфликт не возникнет. И если окажется, что местных всего 2079 человек, то и в этом случае проблем с делением поровну не будет. И во многих других случаях тоже.

То есть число 498960 наименее конфликтное для данной грузоподъёмности.

Таким образом, пользу от A002182 я вроде могу себе представить. А какой толк может быть от того, что $M(12) = 15$ ?

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1558687 писал(а):

Таким образом, пользу от A002182
я вроде могу себе представить.

А ещё с помощью A000027 можно считать яблоки.

Пустое это всё, искать практическую пользу в результатах чистой математики.
Либо польза есть, либо её сейчас нет. Что будет через некоторое, может быть длительное, время - никто не знает.

Более того, даже хорошо, что в для этой задаче с цепочками практическиая польза сейчас не просматривается. В противном случае над задачей работали бы большие коллективы и большие (очень большие) вычислительные мощности. И любителям там места не было бы. А так - пожалуйста

[Dmitriy40]

$M(248)=7$:

(Оффтоп)

300526572351832879993302663371234434257726183397799747746619771341026663902883015246962161412264740745495919877184876466024075920102408097462742644124680140067823231220245361328125
Трудно находимые делители если кто будет проверять: 313900342913,140147251101157,492844461376013,49788381807785239,1056814594700789599253,26440332885919034856329

[VAL]

Улучшил результат для 168: $M(168)\ge 10$

(Оффтоп)

4515352679991302757022241862967058608167200107319283061553273785622232150355497792184366715109372

И для 144 тоже: $M(144)\ge 11$

(Оффтоп)

723938158596886125563374192253719006601367638809852021625292540

Учитывая как быстро нашлась цепочка из 11 чисел по 144, сейчас запущу сразу для 13.
Прогнозы по вероятности нахождения неплохи и для более длинных цепочек. Но там начнутся проблемы с факторизацией.

[EUgeneUS]

К вопросу о $M(k) \le 5, k \equiv 6 \pmod{12}$

1. Как писал ранее, наличие таких цепочек свелось к наличию нетривиальных решений некоторого набора (16 штук) диофантовых уравнений вида $a n^4 + b n^2 = c m^4 + d m^2$

2. FGJ, первоначально эти уравнения были выписаны с ошибкой, которая была найдена и исправлена.

3. Были исключены $8+3 = 11$ уравнений из 16.

4. А вчера уважаемый mathematician123 получил новый замечательный результат: наличие решений уравнения вида $a n^4 + b n^2 = c m^4 + d m^2$ было связано с наличием решений уравнений Туэ вида $a n^4 - b m^4 = z$, где $z$ принимает конечный набор значений.

Например, одно из пяти нерешенных уравнений привело к 12 уравнениям Туэ.

Это уже доказывает, что количество возможных цепочек $M(k) > 5, k \equiv 6 \pmod{12}$ - конечно!

Кроме того, несложно организовать перебор всех уравнений Туэ в системах компьютерной алгебры (например, в PARI/GP) и убедиться, что решений уравнений Туэ или нет, или они не дают решения исходного уравнения.

В связи с чем вопрос: может ли считаться такая проверка доказательством?
Этот вопросу уже был прокомментирован уважаемым nnosipov тут, но хотелось бы послушать мнениия и других участников.

[VAL]

Если границы таковы, что компьютерный перебор возможен, то решение, полученное компьютерным перебором, на мой взгляд, вполне себе решение.
Просто, описывая нужно указать как и с помощью чего велся перебор.
Но даже если границы таковы, что перебрать нереально, то, все равно, утверждение о конечности числа цепочек - результат!

[Huz]

EUgeneUS в сообщении #1558771 писал(а):

несложно организовать перебор всех уравнений Туэ в системах компьютерной алгебры (например, в PARI/GP) и убедиться, что решений уравнений Туэ или нет, или они не дают решения исходного уравнения.

В связи с чем вопрос: может ли считаться такая проверка доказательством?

What algorithm are those computer algebra systems using to find these results? Is it possible to demonstrate the same results directly?

Personally, I would not usually regard a statement like "it's true because this program says it is" to be the same as a proof, unless it is practical for me to verify it - first by examining the complete source code of the program to show that it is free of bugs, and then by running it myself to confirm that it gives the result. (This is why it is valuable for OEIS sequences to have multiple independently-written programs to confirm the results.)

[EUgeneUS]

VAL
Huz
(Хуго, приношу извинения за русский, а не английский текст ниже)

VAL в сообщении #1558805 писал(а):

Просто, описывая нужно указать как и с помощью чего велся перебор.

С помощью чего и как - это описать вообще не вопрос.
1. С помощью PARI/GP, например. Функции thueinit() и thue().
2. Как - можно опубликовать код скрипта PARI/GP.

А вот, что внутри этих функций в PARI/GP - вот это вопрос, конечно.
Если у кого-то есть ссылки на подробную документацию на эти функции - поделитесь, пожалуйста. Я нашел только описание, как их использовать.
Нам надо быть уверенным, что если thue() вернуло решения или не вернуло решений (но не выдало ошибку), то других решений нет.

-- 29.06.2022, 18:21 --

P.S. Впрочем, один из 4-х "блоков" уже разрешен уважаемым mathematician123, возможно, и с оставшимися тремя будет успех.

P.P.S. Вообще говоря, системы компьютерной алгебры (WolframAlpfa, например) уже сразу показывали отсутствие нетривиальных решений для "исходных уравнений" вида $a n^4 - b n^4 = \pm c n^2 \pm d m^2$.
1. Но так как мало известно, что "внутри". Это нельзя было считать доказательством.
2. Что же касается уравнений Туэ, они более изучены, и (вроде бы) эффективные методы нахождения их решений встроены в CAS.

[Huz]

EUgeneUS в сообщении #1558811 писал(а):

(Хуго, приношу извинения за русский, а не английский текст ниже)

Please do not apologize, I fully understand that this is a Russian forum.

Цитата:

But what is inside these functions in PARI / GP - this is the question, of course.

I stopped using PARI/GP about 10 years ago, mostly because I found its source code entirely incomprehensible - I can speak French to some degree, but I do not think French.

It is possible that https://oeis.org/wiki/User:M._F._Hasler would know more, he has a lot of PARI expertise.

[EUgeneUS]

Huz в сообщении #1558814 писал(а):

I stopped using PARI/GP about 10 years ago, mostly because I found its source code entirely incomprehensible - I can speak French to some degree, but I do not think French.

Cast in granite!

(Оффтоп)

I know that granite is not cast like plaster or concrete. This is a meme

Huz в сообщении #1558814 писал(а):

It is possible that https://oeis.org/wiki/User:M._F._Hasler
would know more, he has a lot of PARI expertise.

Thanks for the contact!
But, I think the priority is:
а) Prove without CAS like PARI/GP, maybe it will be successful or not
b) Prove with CAS like PARI/GP with links to the official documentation, maybe it will or not
c) Prove with CAS like PARI/GP with links to the personal contacts

[VAL]

$M(132)\ge 8$

(Оффтоп)

19507375047076365343940639984245454097159693468113575545777794081842400471394734078210592055465299277343744

Там 8 десятых степеней присутствуют. Так что, искать приходиться среди чисел, где факторизация может зависнуть чуть меньше, чем навсегда.
Чтобы не висла, искал через 8 isprime. С ускорителями, наверное, можно и на 9 замахнуться.

[EUgeneUS]

1. По поиску решений уравнения Туэ в PARI/GP. Нашел в их документации, что решениям можно доверять, при некоторых условиях: при верно установленном флаге в thueinit() или при свободном члене равном $\pm 1$. Если кому-то интересно - могу скинуть ссылку на документацию.

2. Пока копал документацию на PARI/GP, уважаемый mathematician123 уже всё доказал!

Так что $M(k) \le 5$ при $k \equiv 6 \pmod{12}$ можно считать доказанным. С чем нас всех и поздравляю

Конечно, нужно будет собрать доказательство в кучу, офомить и предоставить на суд общественности.

[VAL]

EUgeneUS в сообщении #1558891 писал(а):

Так что $M(k) \le 5$ при $k \equiv 6 \pmod{12}$ можно считать доказанным. С чем нас всех и поздравляю

Поздравляю всех причастных и деепристных!

Но не без примеси толики горечи: я пятерки считал, считал... А теперь их можно пачками клепать. Не миллионами, как тройки, но сотнями, а то и тыщами.
Но чертовы дюжины пока товар штучный. Но не единичный. Вот еще две штуки:
$M(144) \ge 13$

(Оффтоп)

12372581816821923240839024697650131695687203199454880068356669700264946940
12418339265966567471316050264965816005659176956685903603417352666755596540

-- 30 июн 2022, 14:25 --

Продолжу тему "Как нам реорганизовать Рабкрин поступить с пятерками".
Убирать, как тройки - жалко. Тем более, поиск новых, в свете доказательства $M(12t+6)\le 5$, хотя и стал доступен для еще многих $k$, но, все же, представляет собой содержательную задачу (а не рутинное упражнение на тему КТО, к которому свелся поиск троек).
Плодить новые? Не вижу большого смысла.
Решил оставить уже найденные (не убирать с первой страницы этой темы, из приложения к Марафону и опубликованных таблиц), но новые не искать.
Тем более, что на данный момент найдены пятерки ровно для 97 значений $k$. И еще 3 у меня считаются (и рано или поздно досчитаются). Наверное, это знак!

[VAL]

Добавил полную таблицу для $M(k)>3$ в первое сообщение ветки.
Буду благодарен, если укажете мне на ошибки и глюки.
Полагаю, все вычистить нереально. Но стремиться к совершенству следует.

[EUgeneUS]

VAL в сообщении #1547645 писал(а):

Усилиями Иво Дюнша, Роджера Эгглтона, Василия Дзюбенко, Владимира Лецко, Евгения Жилицкого и Дениса Шатрова оценку $M(k)\le 3$ для таких $k$ удалось строго доказать для следующих случаев:
$M(2p) \le 3$, где $p$ - простое число, большее 3;
$M(2pq) \le 3$, где $p,q$ - простые числа, большие 3 (не обязательно различные);
$M(2P) \le 3$, где $P=\prod_{i=1}^s p_i$, а $p_i$ - простые числа такие, что $gcd_{i=1}^s(p_i-1) > 2$.

Что касается "строго доказать" в последних двух случаях. А Вы верифицировали\проверили эти доказательства?
Насколько знаю, пока:
а) мы верифицировали с Денисом друг друга и всё
б) по второму случаю читает уважаемый Хуго, он даже нашел там дырку (которую закрыли), но пока финального "ОК" не прислал..

-- 01.07.2022, 09:09 --

VAL в сообщении #1547645 писал(а):

Последнее условие позволяет искать подходящие тройки даже для очень больших $k$.

Давно хотел спросить, а что мешало искать тройки до доказательства этого условия?

-- 01.07.2022, 09:14 --

VAL в сообщении #1547645 писал(а):

По-видимому, для всех $k$ вида $12t+6$ справедлива оценка $M(k)\le5$.

Кстати, это доказательство:
а) вполне подходит для всех $k \equiv 2 \pmod{4}$.
Просто для $k\equiv \pm 2 \pmod{12}$ накладываются более жёсткие ограничения.

б) Более того, оно подходит для цепочек из чисел с разными $k \equiv 2 \pmod{4}$