Счётное подмножество вещественных чисел

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1552686 писал(а):

Возможно придумал велосипед

Нет, даже велосипед с квадратными колесами не придумали.
Общепринятого понятия "аналитических чисел" нет, есть алгебраические числа, но их катастрофически не хватает, даже длину окружности не измеришь. Между любыми двумя различными вещественными числами есть бесконечно много даже рациональных, поэтому никакой конкретный "бесконечно малый" отрезок выбрать нельзя, если только не запретить большую часть даже рациональных чисел.
Да, можно построить счетную модель множества вещественных чисел, но пользы от неё нет. Внезапно оказывается что работать с несчетным множеством гораздо удобнее.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1552739 писал(а):

Между любыми двумя различными вещественными числами есть бесконечно много даже рациональных

Интересно, а где это, или каким образом доказывается это утверждение? (вопрос не скепсис, а реально интересно)

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555321 писал(а):

Интересно, а где это, или каким образом доказывается это утверждение?

Зависит от определения вещественных чисел, вы каким пользуетесь?. В любом случае, достаточно показать, что есть хотя бы одно, а из этого уже можно показать, что есть и бесконечно много.

[Anton_Peplov]

Доказательство становится особенно наглядным, если принять, что действительное число - это десятичная дробь с бесконечным количеством знаков после запятой (когда оно конечно и равно $n$, просто считаем, что все знаки начиная с $n+1$-го суть нули).

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555323 писал(а):

Зависит от определения вещественных чисел, вы каким пользуетесь?

Буквально вчера вентилировал этот вопрос, т.к. профессионально не пользую эту тему. Полагаю что всегда представлял их как геометрическое представление понятия длины. Потом еще поразмышлял, допустил такое определение как: вещественные числа это расширение поля рациональных чисел из отношнний целых чисел с конечным количеством знаков (в позиционном представлении неважно какого основания, десятеричного, двоичного и т.д.), на отношение целых чисел с бесконечным (счетным) количеством знаков. Однако что-то помню что пытались изучить числа с бесконечным количестаом знаков, и получилась там нескладуха что это дело завернули.
Вопрос в непредставимых вещественных числах, то есть числа которып невозможно описать аналитически (раз уж нет четкого определения аналитических чисел). Есть такие? Или все вещественные числа представимы?

Anton_Peplov в сообщении #1555324 писал(а):

десятичная дробь с бесконечным количеством знаков после запятой

Вот можно на этом дальше разогнать тему: имеется вроде как истинный факт что 0.(9) = 1. С другой стороны можно представить как два числа с бесконечным количеством знаков у которых младший (наименьший) регистр отличается на 1 и вроде они тогда разные числа, но считается что одинаковые... Понятно что числа с бесконечным количеством знаков имею отличающийся подход от конечных чисел, но по мне так есть что обдумать в плане концепций...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555408 писал(а):

Буквально вчера вентилировал этот вопрос, т.к. профессионально не пользую эту тему

Тогда прочитайте, как строятся вещественные числа, в учебнике, сами вы это не придумаете (это сложно). Лично мне нравится изложение в "Основах математического анализа" Рудина, но в любом приличном учебнике по математическому анализу оно должно быть (правда есть несколько эквивалентных, но технически разных конструкций).
Конкретно построение через десятичные дроби есть то ли в Зориче, то ли в Фихтенгольце, но мне оно не нравится.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555409 писал(а):

Тогда прочитайте, как строятся вещественные числа, в учебнике, сами вы это не придумаете (это сложно).

Почитаю спасибо, интересно.
Еще в догонку вспомнилось доказательство Кантора о том что мощность множества всех точек на прямой строго больше чем алеф ноль, то есть не счетно. Там сначала дается простое разбиение - для любой точки на отрезке разбивается отрезок пополам, если в первом то 0, если во втором то 1, далее отрезок в котором находится точка опять разбивается и понеслось так до бесконечности. В итоге строится биекция на булеан счетного бесконечного множества, и диагональным методом доказывается что их мощности не равны (извините если известные темы расписываю). Теперь собственно дальше рассуждаю - вернусь к моменту из предыдущего моего комментария что 0.(9) = 1. Но с точки зрения канторового представления точек на прямой это разные точки, им соответствуют разные элементы множества. Получается противоречие, как с ним быть?
Скажу что видел разъяснение что математически вообще не корректно проведена операция умножения 0.(3)*3, умножать нужно справа, а справа (наименьшего разряда) у нас бесконечность. И лишь на рассуждениях что при умножении 3*3 нет переноса разрядов, то есть единицы остаются единицами то и утверждают что получится 0.(9)...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555413 писал(а):

Но с точки зрения канторового представления точек на прямой это разные точки, им соответствуют разные элементы множества. Получается противоречие, как с ним быть?

Этот метод строит биекцию между булеаном натуральных чисел и не отрезком $[0, 1]$, а множеством бесконечных двоичных последовательностей. Это почти одно и то же, но не совсем, как раз из-за того, что некоторые последовательности задают одно и то же число.
С этим можно справиться двумя способами.
Во-первых, можно, чуть-чуть постаравшись, построить честную биекцию между отрезком и бесконечными двоичными последовательностями.
Во-вторых, можно заметить, что у нас уже есть инъективное отображение отрезка (ну точнее полуинтервала $[0, 1)$) в множество двоичных последовательностей, дальше можно построить инъективное отображение двоичных последовательностей в отрезок и это по теореме Кантора-Бернштейна будет означать их равномощность. Для такого отображения удобно использовать например десятичные дроби: заменим нули в последовательности на четверки, а единицы на пятерки, и слева поставим 0 и запятую, получится что каждой последовательности сопоставлена своя десятичная дробь.

WaRLoC в сообщении #1555413 писал(а):

вернусь к моменту из предыдущего моего комментария что 0.(9) = 1

В зависимости от определения десятичных дробей, либо $0.(9)$ вообще не является корректной десятичной дробью, либо эта дробь задает то же число, что и $1.(0)$ (либо можно сказать, что $1.(0)$ не является корректной дробью, это тоже допустимо).
Вообще именно из-за этих проблем мне (и не только мне) и не нравится определять вещественные числа через десятичные дроби. Лучше уж построить как-то иначе, а потом договориться о способе записи. И скажем несчетность вещественных чисел можно доказать, опираясь на метрику, без использования десятичных дробей.

WaRLoC в сообщении #1555413 писал(а):

Скажу что видел разъяснение что математически вообще не корректно проведена операция умножения 0.(3)*3, умножать нужно справа, а справа (наименьшего разряда) у нас бесконечность

Не читайте больше источник, в котором вы это прочитали.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555417 писал(а):

некоторые последовательности задают одно и то же число

вооот, мне бы теперь как-то провентилировать этот момент... собственно из дробных представлений вытекает что числа у которых отличаются знаки только через бесконечное количество позиций (ну или конечное число знаков начиная с наименьшей позиции), такие числа не отличаются, хотя как бесконечные двоичные последовательности они разные. Пока у меня тут нет внятного представления =(

Ознакомился с первой главой основ анализа Рудина где про сечения. В каком-то смысле вечественные числа представлены как открытый луч на прямой от минус бесконечности до некого рационального числа. Рациональным числам представлены такие лучи, у которых дополнение в виде луча вверх до прямой будет закрытым этим самым рациональным числом. Я увидел теорему по которой утверждается что между двумя неравными сечениями есть рациональное число. Но... Здесь неравенство задается на базе порядка между рациональными числами. Мне кажется это дырка в целостности... Исходя из этих утверждений получается что каждому рациональному числу сопоставлено только одно вещественное число но это вроде как не может быть т.к. это будет биекция рациональных чисел на вещественные, значит каждому рациональному числу сопоставлено (бесконечное) множество вещественных чисел в котором не определено отношение порядка, и непонятно даже является ли это множество полем....

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555420 писал(а):

собственно из дробных представлений вытекает что числа у которых отличаются знаки только через бесконечное количество позиций

Такого вообще не бывает. Нет никаких "через бесконечное количество позиций", каждая позиция имеет натуральный номер.

WaRLoC в сообщении #1555420 писал(а):

Пока у меня тут нет внятного представления

Десятичные дроби довольно неплохо определены у Зорича. Он правда сначала определяет вещественные числа, и уже потом по ним строит дроби. И в его конструкции дробей, в которых на всех позициях, начиная с некоторой, идут девятки, не бывает.

WaRLoC в сообщении #1555420 писал(а):

В каком-то смысле вечественные числа представлены как открытый луч на прямой от минус бесконечности до некого рационального числа

Нет, и это важно. Вещественное число на рукомахательном уровне задается как множество рациональных чисел, его меньших. Т.е. правая точка луча не обязана быть рациональной.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555423 писал(а):

правая точка луча не обязана быть рациональной.

Не то что не обязана, а и не должна быть в множестве луча т.к. луч открыт справа из определения сечения.
Меня таки другое теперь озадачило, я уже обозначил: данное определение сечения биективно задает вещественные числа к рациональным, а этого не может быть т.к. множества неравномощны....

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555424 писал(а):

данное определение сечения биективно задает вещественные числа к рациональным

Нет, не задает. Какое, например, рациональное число сопоставлено сечению $\{x | x < 0 \vee x^2 < 2\}$ (так же известному как $(-\infty, \sqrt{2})$?

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555423 писал(а):

Нет никаких "через бесконечное количество позиций", каждая позиция имеет натуральный номер.

Так то да, это накладки определения ординальных чисел. Там вполне определены ординалы типа алеф ноль +1 и т.д. При этом ординалы из порядковых номеров и пошли... Не знаю как это согласовывать...

[mihaild]

WaRLoC в сообщении #1555426 писал(а):

Так то да, это накладки определения ординальных чисел

Это никак не связано с ординалами, это связано с определением десятичных дробей. Десятичная дробь - это пара (целая часть, функция $\mathbb N \to \{0, 1, \ldots, 9\})$.

[WaRLoC]

mihaild в сообщении #1555425 писал(а):

Нет, не задает. Какое, например, рациональное число сопоставлено сечению $\{x | x < 0 \vee x^2 < 2\}$ (так же известному как $(-\infty, \sqrt{2})$?

Так тут задано сечение по вещественному числу, а не рациональному. А в определении речь шла про рациональные числа. перечитал, вопрос снимаю...