Объясните мне, пожалуйста, почему у нормального (перестановочного со своим сопряженным) оператора и его сопряженного одни и те же собственные векторы.
Я лично в двух словах этого объяснить не смогу, факт не вполне тривиальный. В конечном счёте всё сводится к тому, что нормальность эквивалентна диагонализуемости унитарным преобразованием:

(где

диагональна и

унитарна), откуда

, ну а дальше уж очевидно.
И верно ли утверждение: у соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?
Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.
Первое утверждение верно безусловно (в конечномерном случае), второе -- совсем неверно.