Сопряжённые операторы

[bubu gaga]

Определение

$$ \langle Lv, w \rangle = \langle v, L^*w \rangle $$

Вопрос про мотивацию такого определения. Зачем выделять такие операторы вообще? В конечномерных пространствах всё на первый взгляд довольно просто. Есть ли какой-нибудь пример, где видно как переход к сопряжённому оператору упрощает задачу?

Спасибо!

[Gafield]

Например, это понятие используется в теоремах Фредгольма о разрешимости системы $Ax=b$.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Определение

$$ \langle Lv, v \rangle = \langle v, L^*v \rangle $$

Вопрос про мотивацию такого определения. Зачем выделять такие операторы вообще? В конечномерных пространствах всё на первый взгляд довольно просто. Есть ли какой-нибудь пример, где видно как переход к сопряжённому оператору упрощает задачу?

Спасибо!

О-о, это -- крутой вопрос. Дело в том, что для матриц определение эрмитового сопряжёния часто формулируют как транспонирование плюс комплексное сопряжение. Но это выглядит как некий формальный трюк, и непонятно зачем.

А вот эквивалентное этому определение сопряжения на языке скалярных произведений -- весчь уже весьма идейная и распространяется вовсе не только на матрицы, а на гораздо более широкий круг объектов.

Наиболее впечатляющее приложение -- такая универсальная и простенькая (но эффектная) теорема, звучащая прям как стихи: "Ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". А между тем -- это ведь признак разрешимости операторных задач.

[Really]

Gafield в сообщении #154480 писал(а):

Например, это понятие используется в теоремах Фредгольма о разрешимости системы $Ax=b$.

Маленькое уточнение. Теоремами Фредгольма обычно называют те,
которые рассматривают оператор $A=I-K$, $K$ - компактный. Или
более широкий класс нормально разрешимых операторов, для которых
дополнение к ядру сопряженного совпадает с образом.

[bubu gaga]

Правильно ли я понял, что сопряжённость - это "транспонирование" для операторов на пространствах любых размерностей?

[AD]

Во всяком случае, эту фразу весьма трудно опровергнуть.

[bubu gaga]

Хм. Ладно попробую другой вопрос задать. Можнет ли кто-нибудь привести пример нетривиальной сопряжённой пары операторов, чтобы впечатлиться?

Спасибо!

[AD]

Ну, например, сопряженность друг другу операторов сдвига влево и вправо на $\ell_2(\mathbb{Z})$ вас удивит? Или тривиально?
(здесь $\ell_2^*\sim \ell_2$)


P.S. Щас, только как-то вы странно определение привели. $v$ и $v$ - это один и тот же вектор?

[nestoklon]

Смотря что называть тривиальным. Меня всегда смущали в этом месте всякие операторы дифференцирования. Это вполне себе нетривиально, что оператор импульса самосопряжённый и (в некотором роде) потому его собственные значения вещественные. Попробуйте показать это, не пользуясь классическим определением.

[Алексей К.]

AD в сообщении #154650 писал(а):

$v$ и $v$ - это один и тот же вектор?

Даже чайники заинтересовались вопросом...

[bubu gaga]

AD писал(а):

Щас, только как-то вы странно определение привели.

Ой Поправил

Сдвиг последовательности - это ведь всё равно матрица, пусть и бесконечная?

[AD]

Ну хорошо, ну давайте сдвигать функции в $L_\infty(\mathbb{R})$ ...

[bubu gaga]

AD писал(а):

Ну хорошо, ну давайте сдвигать функции в $L_\infty(\mathbb{R})$ ...

Да, неплохо получается. А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?

[AD]

bubu gaga в сообщении #154665 писал(а):

А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?

Ну есть разные теоремы по этому поводу. Типа что если оператор обладает каким-то свойством, то сопряженный тоже им обладает. Вообще, да, по идее, похожи.

Вот вам еще пример: неопределенные интегралы $\int_0^xf(t)\,dt$ и $\int_x^1f(t)\,dt$ на $L_2[0,1]$. (тоже, конечно, "матрицы повсюду, они окружают нас ...")

[ewert]

nestoklon писал(а):

Смотря что называть тривиальным. Меня всегда смущали в этом месте всякие операторы дифференцирования. Это вполне себе нетривиально, что оператор импульса самосопряжённый и (в некотором роде) потому его собственные значения вещественные. Попробуйте показать это, не пользуясь классическим определением.

А вот, кстати, и не всегда! Оператор импульса на полуоси -- вовсе не самосопряжён, и сделать его самосопряжённым не выйдет никакими усилиями, и этот факт прекрасно согласуется с физикой.

Добавлено спустя 25 минут 20 секунд:

bubu gaga писал(а):

А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?

Это -- особенность примера. Оператор сдвига -- унитарен, а для унитарных операторов сопряжённый всегда равен обратному. Собственно, это -- одно из эквивалентных определений унитарности.