Сопряжённые операторы

[nestoklon]

ewert в сообщении #155117 писал(а):

Он не всегда самосопряжён.

А вы думали, что всегда? Ну, что я могу сделать...

[ewert]

Можете аккуратнее выражаться. Если он не допускает самосопряжённых расширений, то что Вы предлагаете считать собственными числами -- ядро спектра, остаточный спектр или все вместе?

[nestoklon]

Если он не допускает самосопряжённых расширений, я предлагаю избегать говорить о собственных числах.
"обычно" -- допускает. Тогда о них говорить можно.

[alleut]

В разных источниках встречаю два утверждения:
1) определитель унитарной матрицы равен 1
2) спец. унитарная матрица - унитарная матрица с определителем, равным 1.

Получается, все унитарные матрицы (над полем комплексных чисел) специальные?

[ewert]

Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице, и какому чудаку пришло в голову 1-е утв. -- непонятно.

В вещественном случае матрицы с плюс единичным определителем действительно играют выделенную роль -- они отвечают поворотам без отражений. Зачем выделять этот случай в комплексном случае -- опять же не знаю.

[alleut]

ewert писал(а):

Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице, и какому чудаку пришло в голову 1-е утв. -- непонятно.

В вещественном случае матрицы с плюс единичным определителем действительно играют выделенную роль -- они отвечают поворотам без отражений. Зачем выделять этот случай в комплексном случае -- опять же не знаю.

да, конечно по модулю в первом случае.
жестоко меня глючило, только сейчас понял разницу

[alleut]

кстати, как доказывается что определитель унитарной матрицы по модулю равен единице (сопряжение - эрмитово)?
det(UU*)=det(U*U)=1
detU detU*=detU* detU=1
(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)
тогда
detU detU*=(detU)^2=1
|detU|=1

[AD]

alleut в сообщении #174317 писал(а):

(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)

Подозреваю, что $\det U^*=\overline{\det U}$ (комплексное сопряжение). Ну что определитель транспонированной матрицы равен определителю нетранспонированной - это-то Вы знаете?

[alleut]

AD писал(а):

alleut в сообщении #174317 писал(а):

(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)

Подозреваю, что $\det U^*=\overline{\det U}$ (комплексное сопряжение). Ну что определитель транспонированной матрицы равен определителю нетранспонированной - это-то Вы знаете?

про транспонирование естественно знаю
положим A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix}, detA=i
тогда A* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix}, detA*=-i
т. о. в общем случае утверждение неверно.
или же меня очень, очень сильно где-то коротит

[ewert]

alleut писал(а):

положим A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix}, detA=i
тогда A* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix}, detA=-i
т. о. в общем случае утверждение неверно.
или же меня очень, очень сильно где-то коротит

да, сильно. Какое именно утверждение неверно: что $\overline{(i)}=-i$ ? ...

[alleut]

спасибо большое надо научиться читать медленнее

[mkot]

alleut писал(а):

(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)

Здесь как раз неправда.

AD писал(а):

$\det U^*=\overline{\det U}$

Поэтому
$\det(UU^*) = \det U \cdot \overline{\det U} = 1$.
Но $|z|^2 = z\overline{z}$ для комплексного числа,
следовательно ,
$|\det U| = 1$.

[alleut]

спасибо, я все понял. мне прям стыдно за мой "тупизм"

[alleut]

$$(\mathcal{A}x, y)=(x, \mathcal{A^*}y)$$

Оператору $\mathcal{A}$ соответствует матрица $A$, отператору

$$\mathcal{A^*}$$

-

$$\overline{A^T}$$

,

$$a_{ij}\in\mathbb{C}$$

.
В общем случае общему собственному вектору (если он есть) этих двух операторов соответствуют комплексно сопряженные собственные числа.
Объясните мне, пожалуйста, почему у нормального (перестановочного со своим сопряженным) оператора и его сопряженного одни и те же собственные векторы. (У Гантмахера есть объяснение, но я его не понимаю )

И верно ли утверждение: все соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?
Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.

[ewert]

alleut в сообщении #176123 писал(а):

Объясните мне, пожалуйста, почему у нормального (перестановочного со своим сопряженным) оператора и его сопряженного одни и те же собственные векторы.

Я лично в двух словах этого объяснить не смогу, факт не вполне тривиальный. В конечном счёте всё сводится к тому, что нормальность эквивалентна диагонализуемости унитарным преобразованием: $A=U^*\Lambda\,U$ (где $\Lambda$ диагональна и $U$ унитарна), откуда $A^*=U^*\Lambda^*U$, ну а дальше уж очевидно.

alleut в сообщении #176123 писал(а):

И верно ли утверждение: у соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?

Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.

Первое утверждение верно безусловно (в конечномерном случае), второе -- совсем неверно.