2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение01.11.2008, 15:42 
ewert в сообщении #155117 писал(а):
Он не всегда самосопряжён.

А вы думали, что всегда? Ну, что я могу сделать...

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 16:11 
Можете аккуратнее выражаться. Если он не допускает самосопряжённых расширений, то что Вы предлагаете считать собственными числами -- ядро спектра, остаточный спектр или все вместе?

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 20:19 
Если он не допускает самосопряжённых расширений, я предлагаю избегать говорить о собственных числах.
"обычно" -- допускает. Тогда о них говорить можно.

 
 
 
 
Сообщение05.01.2009, 20:08 
Аватара пользователя
В разных источниках встречаю два утверждения:
1) определитель унитарной матрицы равен 1
2) спец. унитарная матрица - унитарная матрица с определителем, равным 1.

Получается, все унитарные матрицы (над полем комплексных чисел) специальные?

 
 
 
 
Сообщение05.01.2009, 21:51 
Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице, и какому чудаку пришло в голову 1-е утв. -- непонятно.

В вещественном случае матрицы с плюс единичным определителем действительно играют выделенную роль -- они отвечают поворотам без отражений. Зачем выделять этот случай в комплексном случае -- опять же не знаю.

 
 
 
 
Сообщение05.01.2009, 22:02 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице, и какому чудаку пришло в голову 1-е утв. -- непонятно.

В вещественном случае матрицы с плюс единичным определителем действительно играют выделенную роль -- они отвечают поворотам без отражений. Зачем выделять этот случай в комплексном случае -- опять же не знаю.

да, конечно по модулю в первом случае. :)
жестоко меня глючило, только сейчас понял разницу :lol:

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 13:45 
Аватара пользователя
кстати, как доказывается что определитель унитарной матрицы по модулю равен единице (сопряжение - эрмитово)?
det(UU*)=det(U*U)=1
detU detU*=detU* detU=1
(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)
тогда
detU detU*=(detU)^2=1
|detU|=1

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 14:24 
alleut в сообщении #174317 писал(а):
(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)
Подозреваю, что $\det U^*=\overline{\det U}$ (комплексное сопряжение). Ну что определитель транспонированной матрицы равен определителю нетранспонированной - это-то Вы знаете?

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 14:58 
Аватара пользователя
AD писал(а):
alleut в сообщении #174317 писал(а):
(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)
Подозреваю, что $\det U^*=\overline{\det U}$ (комплексное сопряжение). Ну что определитель транспонированной матрицы равен определителю нетранспонированной - это-то Вы знаете?

про транспонирование естественно знаю :)
положим A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix}, detA=i
тогда A* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix}, detA*=-i
т. о. в общем случае утверждение неверно.
или же меня очень, очень сильно где-то коротит

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 16:43 
alleut писал(а):
положим A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix}, detA=i
тогда A* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix}, detA=-i
т. о. в общем случае утверждение неверно.
или же меня очень, очень сильно где-то коротит

да, сильно. Какое именно утверждение неверно: что $\overline{(i)}=-i$ ? ...

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 16:50 
Аватара пользователя
спасибо большое :lol: надо научиться читать медленнее

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 16:52 
Аватара пользователя
alleut писал(а):
(здесь, по идее, должно получаться detU=detU*, но как?)

Здесь как раз неправда.
AD писал(а):
$\det U^*=\overline{\det U}$

Поэтому
$\det(UU^*) = \det U \cdot \overline{\det U} = 1$.
Но $|z|^2 = z\overline{z}$ для комплексного числа,
следовательно ,
$|\det U| = 1$.

 
 
 
 
Сообщение06.01.2009, 17:21 
Аватара пользователя
спасибо, я все понял. мне прям стыдно за мой "тупизм" :oops:

 
 
 
 
Сообщение11.01.2009, 20:05 
Аватара пользователя
$$(\mathcal{A}x, y)=(x, \mathcal{A^*}y)$$
Оператору $\mathcal{A}$ соответствует матрица $A$, отператору $$\mathcal{A^*}$$ - $$\overline{A^T}$$, $$a_{ij}\in\mathbb{C}$$.
В общем случае общему собственному вектору (если он есть) этих двух операторов соответствуют комплексно сопряженные собственные числа.
Объясните мне, пожалуйста, почему у нормального (перестановочного со своим сопряженным) оператора и его сопряженного одни и те же собственные векторы. (У Гантмахера есть объяснение, но я его не понимаю :oops: )

И верно ли утверждение: все соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?
Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.

 
 
 
 
Сообщение11.01.2009, 20:19 
alleut в сообщении #176123 писал(а):
Объясните мне, пожалуйста, почему у нормального (перестановочного со своим сопряженным) оператора и его сопряженного одни и те же собственные векторы.

Я лично в двух словах этого объяснить не смогу, факт не вполне тривиальный. В конечном счёте всё сводится к тому, что нормальность эквивалентна диагонализуемости унитарным преобразованием: $A=U^*\Lambda\,U$ (где $\Lambda$ диагональна и $U$ унитарна), откуда $A^*=U^*\Lambda^*U$, ну а дальше уж очевидно.

alleut в сообщении #176123 писал(а):
И верно ли утверждение: у соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?

Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.

Первое утверждение верно безусловно (в конечномерном случае), второе -- совсем неверно.

 
 
 [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group