Координатная особенность в ОТО

[Someone]

zykov в сообщении #1548504 писал(а):

Наверно, материя будет бесконечно долго падать и само формирование ЧД займёт бесконечно долгое время с точки зрения удалённого наблюдателя.

Формально это так. А фактически при коллапсе звезды, спустя стотысячные доли секунды с того момента, когда эффекты ОТО становятся существенными, образуется объект, который внешний наблюдатель никак не может отличить от чёрной дыры. Надо только учесть, что для внешнего наблюдателя процесс выглядит как взрыв сверхновой, и ему придётся ждать, возможно, несколько столетий, пока сброшенные оболочки разлетятся достаточно далеко, чтобы не загораживать коллапсар.

То же самое — при падении массивного тела на чёрную дыру. Тело своим гравитационным полем искажает поле чёрной дыры. Это вызывает гравитационное излучение, а при наличии электрического заряда — и электромагнитное излучение. Опять чрезвычайно быстро всё заканчивается, и, хотя формально для удалённого наблюдателя процесс занимает бесконечное время, фактически он спустя малые доли секунды будет наблюдать объект, неотличимый от чёрной дыры чуть большего радиуса.

Вложение:

OTO-KrSh-6.gif [ 6.91 Кб | Просмотров: 2207 ]

На картинке показано свободное падение пробного тела на так называемую вечную чёрную дыру в координатах Крускала–Секереша (изображена только правая половина пространства-времени; $u$ — пространственная координата, $v$ — временна́я; нижняя часть рисунка с $v<0$ — это белая дыра). Чёрная гипербола наверху — это сингулярность, красные прямые изображают горизонт событий (они образуют с осями углы в $45^{\circ}$), зелёная линия — мировая линия падающего тела. Мировые линии световых сигналов в этих координатах представляют собой прямые, образующие с осями координат углы в $45^{\circ}$. Синие линии — мировые линии световых сигналов, падающих в чёрную дыру; один из них догоняет падающее тело в момент пересечения горизонта, другой — в момент падения в сингулярность. Пунктирная линия — это мировая линия светового сигнала, распространяющегося навстречу падающему телу и достигающая его в момент падения в сингулярность.

Предположим, что падающее тело снабжено передатчиком, который с некоторой постоянной частотой (по собственному времени) излучает сигналы, которые принимает внешний наблюдатель.
Падение продолжается конечное время по собственным часам падающего тела, поэтому до момента пересечения горизонта передатчик испустит конечное сигналов. Внешний наблюдатель будет принимать сигналы с частотой, уменьшающейся до $0$ по мере приближения тела к горизонту, и в некоторый момент примет последний сигнал. После этого никаких сигналов он принимать не будет. Догнать падающее тело после этого он не сможет, несмотря на то, что формально с его "точки зрения" тело всё ещё "висит" над горизонтом. Если наблюдатель попытается догнать тело, свободно падая вслед за ним, то он в момент пересечения горизонта увидит, что тело тоже пересекает горизонт, и начнёт принимать от него сигналы, испущенные передатчиком после пересечения горизонта. Принимать сигналы он будет вплоть до момента, когда сам попадёт в сингулярность, но не сможет увидеть, как туда попадёт падающее впереди тело.

Если у нас не вечная чёрная дыра, а сколлапсировавшая звезда, то левой половины и нижней части этого пространства-времени нет, а примыкающие к ним области заняты веществом звезды.

Также нужно иметь в виду, что нарисованная идеальная картинка реально должна быть другой. Внешние области в силу теоремы Биркогфа никуда не денутся, но внутреннее решение чёрной дыры неустойчиво, и в процессе коллапса, скорее всего, процесс "сваливается" в режим хаотических колебаний (с неизбежным уходом в сингулярность), описанный Белинским, Лифшицем и Халатниковым. Но снаружи это увидеть нельзя, а внутрь лучше не соваться, никакие "червоточины" нас там не ждут.

zykov в сообщении #1548504 писал(а):

И сингулярности там нет, она будет только после "бесконечного времени".

Ну, например, в книге Новикова и Фролова "Физика чёрных дыр" есть предположение, что, возможно, с учётом эффекта испарения чёрных дыр, сингулярность может не успеть образоваться. Что с этим предположением стало к настоящему времени, я не знаю.
Однако нам это пока должно быть не очень интересно, потому что снаружи мы всё равно ничего этого не увидим, а для корректного описания финальных стадий коллапса в окрестности сингулярности ОТО явно не годится.

[sergey zhukov]

zykov
А вот, например, космологический горизонт. Если смотреть все глубже вдаль, то видишь все более и более молодые объекты. Если бы непрозрачность ранней Вселенной не мешала нам видеть до самого предела, то мы могли бы увидеть объекты вплоть до нулевого возраста. Очевидно, дальше ничего увидеть уже нельзя (это будет космологическим горизонтом). Правильно ли будет считать, что Вселенная за пределами горизонта "еще не создана и будет создана через бесконечное время?". Или все же правильнее считать, что это просто ограниченность наших наблюдательных возможностей?

По моему, второй вариант более правильный. Могут быть вещи, просто недоступные наблюдению.

[manul91]

upgrade в сообщении #1548499 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1548496 писал(а):

Так что, та, вторая частица, котороц посылают сигнал, так и будет вечно находиться на фиксированном расстоянии от сингулярности? Она разве не падает? Если не падает, то действительно - у первой частицы нет способа послать ей сигнал.

Возьмите обычный световой конус в обычном пространстве и попробуйте передать сигнал из вершины конуса за пределы конуса будущего, манипулируя мировыми линиями, скоростями или ускорениями, Ваш вопрос, по-моему об этом.

Ничего подобного.
Диаграмма внизу расчетена в координат Леметра (которые связаны со свободно падающих наблюдателей; в смысле свободно падающие "друг за другом" наблюдатели в таких координат "неподвижны").

Черные вертикальные линии: мировые падающих наблюдателей. (для всех свободно падающих наблюдателей в этих координат, их мировые линии будут строго вертикальными; направление собственного времени строго вверх).
Пунктирные наклонные линии под 45 градусов отвечают постоянным значением шварцшильдовской координатой r. Горизонт на линии r=2m, сингулярность на линии r=0.
Синие и красные линии - пара семей изотропных геодезических, по которых растпространяется свет (образующих световых конусов; по них и передаются сигналы).
Хотя и линии сигналов возможной коммуникации не нарисованы (и мировые наблюдателей здесь не взяты "достаточно близко"); должно быть понятно что если мировые падающих наблюдателей будут достаточно близко друг к другом, ничего не мешает им общаться и под горизонтом (линии таких сигналов, будут принадлежать двух семей изотропных, и зигзагом циркулировать между близких мировых падающих наблюдателей).

[upgrade]

manul91 в сообщении #1548658 писал(а):

Синие и красные линии - пара семей изотропных геодезических, по которых растпространяется свет (образующих световых конусов; по них и передаются сигналы).

На горизонте наблюдатели будут видеть друг друга на одинаковом расстоянии от горизонта. Под горизонтом, тот кто ближе к горизонту будет видеть (может видеть) что он дальше от горизонта чем первый, разве нет (геодезическая света наклонена к сингулярности)?

[manul91]

upgrade в сообщении #1548668 писал(а):

На горизонте наблюдатели будут видеть друг друга на одинаковом расстоянии от горизонта. Под горизонтом, тот кто ближе к горизонту будет видеть (может видеть) что он дальше от горизонта чем первый, разве нет (геодезическая света наклонена к сингулярности)?

Нет.
Те объекты что наблюдатель "видит", находятся на образующим его ПРОШЛОГО конуса.
Т.е. надо взять событие (точку) X на мировой линии наблюдателя, и через направление изотропной в ПРОШЛОЕ (косо вниз) через X, пересечь ее с мировой линии "наблюдаемого объекта" (чтобы получить наблюдаемого события Y у "наблюдаемого объекта", на момент события Х наблюдателя).

Тот наблюдатель чья мировая линия "левее" (кому остается меньшее время до пересечения с сингулярности), видит "правого" через семью синих изотропных.
Тот наблюдатель чья мировая линия "правее" (кому остается большее время до пересечения с сингулярности), видит "левого" через семью красных изотропных.

Это продолжается и под горизонтом. (на картинке мировые наблюдателей взяты неподходяще "далеко" друг от друга, надо представить/дорисовать еще одну вертикальную линию находящейся только чуть-чуть в сторону от первой. И "уплотнить" семей изотропных с дополнительных между ними настолько, насколько необходимо.)

За исключением "кривизны линий изотропных", 4-d окрестности в области горизонта и под ним, ничем топологически не отличаются от картинку двух наблюдателей в плоском минковском. Горизонт - просто одна из изотропных.

[upgrade]

manul91 в сообщении #1548672 писал(а):

Тот наблюдатель чья мировая линия "правее" (кому остается большее время до пересечения с сингулярности), видит "левого" через семью красных изотропных.

На горизонте красная линия "правого" совпадает с линией горизонта = он "видит" вперед летящего набюдателя там ж где сам находится - на горизонте, это верно?

[manul91]

upgrade в сообщении #1548681 писал(а):

На горизонте красная линия "правого" совпадает с линией горизонта = он "видит" вперед летящего набюдателя

Впервых, мировая линия правого - это вертикальная черная линия (она пересекается с красной линии горизонта точно так же, как и со всех других изотропных из красной семьи; горизонт - просто одна из них).
Потом да, в событии когда "правый" пересекает горизонт, он видит "левого" (вперед летящего наблюдателя) в тот его прошлый момент, когда "левый" пересекал горизонт. Свет запаздывает, и поэтому мы всегда "видим" вещи в их прошлом.
Но это отнюдь не в "одном и том же месте" (как видно, они пересекают горизонт в разных точек т.е. в разных времен; и также в разных мест для их локально-сопутствующей системой; хотя это "одно и то же место" $r=2m$ в шварцшильдовксих координат). Две разные во времени события могут происходить "в одном и том же месте" относно какой-то СО, и те же самые две события могут происходить в "разных мест" относно другой СО (это так и в Ньютоне). Так что "одно и то же место" это относительное понятие (если только события не совпадают полностью т.е. это по сути не одно и то же событие). Например, я дважды щелкнул пальцем - для меня эти щелчки произошли "в одном и том же месте" а для вас (мчащийся мимо меня) события тех же моих щелчков будут происходить "в разных мест".
И тем более, наблюдателя который "удерживался бы на горизонте неподвижным" (для которого две события на горизонте происходили бы "в одном и том же месте") вообще быть не может, ибо горизонт изотропная линия.

upgrade в сообщении #1548681 писал(а):

Там ж где сам находится - на горизонте, это верно?

Нет (см. выше), "правый" пересекая горизонт, видит "левого" в тот его момент в его прошлом, когда "левый" пересекал горизонт. Это не "там же где сам находится" поскольку понятное дело свет запаздывает.
Разберитесь с простейших диаграмм в плоском Минковском, когда два покоящихся наблюдателя пересекают какой-либо изотропной (аналогично горизонту); происходит то же самое.
Горизонт (в данном 2d сечении где угловые координаты опущены) - это изотропная (а не времениподобная, как может быть с непривычку кажется) линия; наподобии поверхности причинного светового конуса в обычном минковском.
Если "сильно увеличить" (рассмотреть "вблизи") малую область вокруг (и под) горизонта, "кривизны линий" будут незаметны, и область будет неотличимой "на глаз" от обычном плоском минковском

[upgrade]

manul91 в сообщении #1548694 писал(а):

Потом да, в событии когда "правый" пересекает горизонт, он видит "левого" (вперед летящего наблюдателя) в тот его прошлый момент, когда "левый" пересекал горизонт.

И я о том же: когда "левый" (впереди летящий) при пересечении горизонта отправляет сигнал "я пересекаю горизонт", "правый" принимает этот сигнал в момент пересечение им горизонта. Далее "левый", пролетев $1$ метр после пересечения горизонта, отправляет сигнал "я пролетел $1$ метр после пересечения горизонта". "Правый" должен принять этот сигнал дальше, чем через $1$ метр после пересечения горизонта, например, через $2$ метра, верно?

[manul91]

upgrade в сообщении #1548712 писал(а):

Далее "левый", пролетев $1$ метр после пересечения горизонта, отправляет сигнал "я пролетел $1$ метр после пересечения горизонта". "Правый" должен принять этот сигнал дальше, чем через $1$ метр после пересечения горизонта, например, через $2$ метра, верно?

Что вы (и ваши наблюдатели) понимают под "1 метр после пересечения горизонта"? Если это расстояние в их локально падающих систем отсчета до абстрактной точки $r=2m$, то да это примерно так (из-за кривизны).
В такой временно-локальной СО падающего наблюдателя, при пересечении "горизонт" $r=2m$ убегает от него со световой скоростью а далее и вовсе со сверхсветовой (наподобие "зайчика" которого даже светом не догнать).

Но пунктирную линию постоянного шварцшильдовского $r=\operatorname{const}$ при $\operatorname{const}=2m-1$ нельзя называть "местом" - хотя и эти линии времениподобны при $r>2m$ ("снаружи" горизонта); но они изотропны при $r=2m$ (на горизонте) и пространственноподобны при $r<2m$ ("под" горизонтом). Так что про линий $r=\operatorname{const}<2m$ правильнее думать как про "моментом времени", а не "местом" (как снаружи).
Существенно тут то, что они и под горизонте смогут общаться (хотя из-за приливных сил, "физическое расстояние" м/у ними будет увеличиваться и они будут удаляться друг от друга в смысле, что время "отсылки-приема" до партнера по их собственных часов будет увеличиваться по мере падения. Но это так и над горизонтом, и по Ньютоне также).

[upgrade]

manul91 в сообщении #1548725 писал(а):

Что вы (и ваши наблюдатели) понимают под "1 метр после пересечения горизонта"? Если это расстояние в их локально падающих систем отсчета до абстрактной точки $r=2m$, то да это примерно так (из-за кривизны).

Я хочу подвести к тому, что второй наблюдатель может поймать сигнал от первого, если "догонит" этот сигнал.
Сигналы первого наблюдателя до горизонта распространяются от горизонта и от сингулярности, а под горизонтом - от горизонта, но к сингулярности (красная линия не параллельна горизонту под ним, а наклонена к сингулярности). А так как сигнал первого наблюдателя распространяется со скоростью света, второму наблюдателю надо будет "догонять" этот сигнал быстрее скорости света (они же летят друг за другом, а не параллельными курсами). То есть первый наблюдатель впереди будет видеть всё ту же черную дыру, а позади - второго и звёзды.

[manul91]

upgrade в сообщении #1548729 писал(а):

Я хочу подвести к тому, что второй наблюдатель может поймать сигнал от первого, если "догонит" этот сигнал.

Наоборот, хотя и уклониться от сигнала первого возможно, второй наблюдатель должен принять специальные меры чтобы "не встретится" с сигналом первого.
А к чему бы ему "уклоняться", ведь по условию они падают свободно друг за другом (и траектории именно таких свободно падающих наблюдателей, представлены черными вертикальными линиями на диаграмме).
Вот в обычном Минковском вы посветили ко мне фонариком; чтобы этот сигнал ко мне не дошел я должен сразу начать разгоняться в противоположном направлении, "убегая" от вашего сигнала.
Точно также если "первый" посветит фонариком "назад" к второму, сигнал его достигнет если он просто падает и ничего не делает (что и нарисовано).

upgrade в сообщении #1548729 писал(а):

Сигналы первого наблюдателя до горизонта распространяются от горизонта и от сингулярности, а под горизонтом - от горизонта, но к сингулярности (красная линия не параллельна горизонту под ним, а наклонена к сингулярности).

Все верно.

upgrade в сообщении #1548729 писал(а):

А так как сигнал первого наблюдателя распространяется со скоростью света, второму наблюдателю надо будет "догонять" этот сигнал быстрее скорости света (они же летят друг за другом, а не параллельными курсами).

Это неверно (и само "рассуждение" невнятно). Рассмотрите внимательно световые конусы которые красные и синие линии образуют.
Каждый конус (пересечение красной и синей линии) делит свою окрестность на четыре области - "левая","правая","верхняя","нижняя". Если мировая линия переходит "из нижней к верхней" (типа "вертикально") она обычная (времениподобная). Если мировая линия переходит из "левой к правой" (или наоборот); типа "горизонтально" - она пространственноподобная (сверхсветовая).
Вертикальные черные линии - мировые линии свободно падающих друг за другом наблюдателей, везде времениподобны - как над, так и под горизонтом - так что никому двигаться со сверхсветовыми скоростями ненужно.

Свой "характер" над и под горизонтом меняют пунктирные линии постоянной шварцшильдовской координатой $r=\operatorname{const}$, но это без значения ибо никто не требует чтобы они были мировыми линиями каких-нибудь тел.

Пришлось дорисовывать:
Еще одной черной линии дорисован второй наблюдатель достаточно близкий к первому.
Зигзаг световой коммуникации наблюдателей (по изотропных) под горизонтом помечен фиолетовом. (также в окрестности дорисованы дополнительные кусочки изотропных из красной и синей семьи, чтобы было ясно видно что мировые линии падающих наблюдателей заведомо времениподобны).

[sergey zhukov]

В своей книжке "Битва при черной дыре" Леонард Сасскинд говорит интересную вещь:

Цитата:

Новые представления о физическом мире, сформировавшиеся чуть более чем за десятилетие, включали новый тип релятивизма и новый тип квантовой дополнительности. Объективный смысл понятия одновременности (двух событий) был утрачен в 1905 году, но сама концепция события оставалась твердой как скала. Если внутри Солнца идет ядерная реакция, все наблюдатели согласятся, что это происходит именно внутри Солнца. Никто не зарегистрирует, что она протекает на Земле. Но в мощном гравитационном поле черной дыры происходит нечто новое, подрывающее саму объективность событий.
События, которые падающий наблюдатель сочтет произошедшими глубоко внутри огромной черной дыры, другой наблюдатель зарегистрирует вне горизонта растворенными в шуме фотонов хокинговского излучения. Событие не может быть сразу и за горизонтом, и перед ним. Одно и то же событие располагается или за горизонтом, или перед ним в зависимости от того, какой эксперимент ставит наблюдатель.

В этой книжке он обсуждает в основном проблему утраты информации в черной дыре. Если $A$ остается снаружи, а $B$ падает в ЧД, то $A$ не может узнать, что делал $B$ под горизонтом. Если черная дыра не испаряется, то вроде бы и нет проблем: рано или поздно $A$ тоже в нее упадет и все узнает. Но если ЧД испаряется, то $A$ может так и не упасть в нее до ее полного испарения, и тогда получается странный результат: информация о действиях $B$ под горизонтом событий просто исчезает для $A$.

Согласно классической ОТО информация о мировой линии $B$ под горизонтом совершенно недоступна для $A$ снаружи. Все, что может наблюдать $A$ - это часть мировой линии $B$ до момента пересечения им горизонта, но не дальше. Остальную часть мировой линии $B$ можно наблюдать, только находясь под горизонтом, т.е. падая в ЧД вслед за $B$. В этом нет никаких противоречий.

Но если учитывать испарение ЧД, то получается нечто странное: с точки зрения $B$ он свободно падает под горизонт и попадает в сингулярность. А с точки зрения $A$ этот же $B$ падает на горизонт ЧД, где подвергается хогинговскому испарению и переизлучению вовне. Т.е. с $B$ как будто происходят разные события с точки зрения разных наблюдателей. Сасскинд выдвинул принцип дополнительности ЧД: наблюдатель, падающий под горизонтом ЧД, и наблюдатель, оставшийся снаружи, могут видеть разные события, т.к. они уже никогда не смогут сравнить свои наблюдения и парадокс не возникает. Дополнительность ЧД означает, что есть два взаимоисключающих способа провести наблюдения (остаться снаружи или прыгнуть внутрь), и поэтому они могут давать два взаимоисключающих результата наблюдения. Здесь нет парадокса.

Интересный вывод из всего этого делается. Информация о действиях $B$ под горизонтом не теряется в ЧД. $B$ получил информацию (недоступную для $A$) о том, что он делал под горизонтом ЧД, но $A$ получил информацию о том, как $B$ "растворился" и переизлучился на горизонте (эта информация недоступна для $B$). В некотором смысле это одна и та же информация.

[zykov]

sergey zhukov в сообщении #1548796 писал(а):

Если $A$ остается снаружи, а $B$ падает в ЧД, то $A$ не может узнать, что делал $B$ под горизонтом.

С точки зрения A до горизонта B будет падать бесконечно долго. Никогда не достигнет горизонта, и тем более не будет под горизонтом.
Значит для A вообще нет никаких событий с B под горизонтом.
С точки зрения B, он за конечное время проходит горизонт, падает под горизонтом и достигает сингулярности. Но для A всё это "прошел горизонт", "падал под горизонтом", "достиг сингулярности" - это уже всё "после бесконечности по времени".

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1548796 писал(а):

Если черная дыра не испаряется, то вроде бы и нет проблем: рано или поздно $A$ тоже в нее упадет и все узнает.

А это вот с какой стати "рано или поздно $A$ тоже в нее упадет"?

[sergey zhukov]

zykov
"С точки зрения $A$ эти события не происходят" - это можно понимать двумя разными способами, по моему.

Первый способ - $A$ никогда не увидит этих событий, т.е. они никогда не окажутся на поверхности светового конуса его прошлого. Это буквальное понимание выражения "с точки зрения $A$". Но то, что мы не можем чего-то наблюдать, совершенно не значит, что этого что-то не происходит сейчас (одновременно). Одновременность событий определяется не поверхностью конуса прошлого, а поверхностью одновременности $t=const$, которая в общем выбирается в значительной степени произвольно при построении системы отсчета $A$.

Второй способ - эти события не попадают ни на одну поверхность одновременности $t=const$ системы отсчета $A$, т.е. они не являются одновременными ни с одной точкой мировой линии $A$ ни в одной системе отсчета $A$.

Является ли система отсчета $A$ единственной, т.е. определяется ли эта система отсчета для $A$ единственным образом по мировой линии $A$? Нет. Она однозначно определена для $A$ только локально, но глобально ее можно продолжать произвольно. Есть некоторые особенно простые системы отсчета. Например, радарная. Для ее построения требуется послать импульс света и получить отражение от события. Такая система координат просто не может покрыть область, лежащую за горизонтом событий от $A$, т.к. отражение никогда не будет получено. В такой системе координат события за горизонтом никогда не будут одновременными с $A$. Но можно построить и другие системы координат для $A$, которые покрывают и область под горизонтом событий. Тогда события за горизонтом будут одновременными с $A$.

manul91
В том смысле, что такая возможность всегда сохраняется. Никогда не будет поздно это сделать. "Запись" событий с $B$ "ждет на паузе" неограничено долго. Если же учитывать испарение, то эта "запись" со временем как будто бы деградирует до полного исчезновения. Я так понял, что принцип дополнительности ЧД утверждает, что вместо этой "записи" падения $B$ (которую в классической ОТО всегда можно "просмотреть") внешний наблюдатель $A$ может увидеть совсем другую историю, которая происходила с $B$ (если учитывать испарение). В этом смысле информация об одних событиях заменяется на информацию о других событиях, и потери информации при испарении не происходит. Происходит другая странная вещь: два разных наблюдателя видят не просто одни и те же точки событий в разное время и разном месте, но и сами точки событий у них разные.
Скажем, когда доказывают, что поперечные размеры тел в СТО не зависят от скорости, то приводят такой пример. Допустим, поперечный размер движущихся тел сокращается. Возьмем кольцо и шар, равный по диаметру внутреннему диаметру кольца. Заставим шар пролететь сквозь кольцо. В системе отсчета кольца шар сожмется и пролетит. Но в системе отсчета шара кольцо сожмется и они столкнутся. Если предположить, что размеры тел увеличиваются, получаем то же самое. Далее утверждается: не может быть так, чтобы один наблюдатель увидел, что столкновение было, а другой - что его не было. Значит, поперечные размеры тел остаются неизменными.

Здесь доказательство основано на том, что наблюдатели сравнят результаты и противоречия при этом возникнуть не должно. Принцип дополнительности, похоже, утверждает, что противоречие возникает именно в момент сверки результатов. Если сверить их принципиально невозможно, то один может наблюдать столкновение, а другой может его не наблюдать. Это нормально, противоречия тут нет.