Найти норму функционала

[Red_Herring]

Цитата:

Red_Herring в сообщении #1543599 писал(а):

Стоит уточнить, поскольку непонятно, почему все три максимума идут с одним и тем же весом.

А что тут странного-то?

Ну хотя бы то, что при растяжении отрезка веса перестают быть равными. Если говорить о топологии, то это неважно. А в задачах на экстремум это важно

[Markus228]

Red_Herring в сообщении #1543656 писал(а):

Ну хотя бы то, что при растяжении отрезка веса перестают быть равными. Если говорить о топологии, то это неважно. А в задачах на экстремум это важно

Ну да, это нефизично, потому у производных разные размерности же

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Markus228 в сообщении #1543646 писал(а):

А вам за ваш "юмор" IRL случаем не прилетало?

Markus228 в сообщении #1543648 писал(а):

А вам и за ваши "диагнозы" IRL случаем не прилетало?

А вам за ваши "вопросы" IRL случаем не прилетало?

[Lia]

Отставить разборки, а то щас всем прилетит, кого достану.

[thething]

marie-la
Стоило начать с уточнения определения пространства. Во всех виденных мною курсах $C_2$ означает непрерывные функции с нормой $L_2$, т.е. интеграл от квадрата модуля под корнем. А вот $C^2$ -- уже так, как Вы указали (в различных вариантах).

[Red_Herring]

thething в сообщении #1543725 писал(а):

Во всех виденных мною курсах $C_2$ означает непрерывные функции с нормой $L_2$

Я бы назвал такое обозначение странным. Гораздо разумнее было бы $C[0,\pi]\cap L_2[0,\pi]$. Не говоря уже о том, что использовать неполные пространства ...

Или лучше просто словами...

[novichok2018]

Мне кажется, это с учебника Треногина началось, такое обозначение.

[thething]

Red_Herring в сообщении #1543760 писал(а):

Гораздо разумнее было бы $C[0,\pi]\cap L_2[0,\pi]$.

С точки зрения "понятности" по умолчанию -- наверное Вы правы. Но пересечение множества, состоящего из функций с множеством, состоящим из классов, по-моему, смотрится странно. Где-то встречалось ещё такое обозначение -- $CL_2[0,\pi]$. Но в приличном обществе все обозначения должны расшифровываться при постановке задачи.

[Red_Herring]

thething в сообщении #1543775 писал(а):

Но пересечение множества, состоящего из функций с множеством, состоящим из классов,

Это как раз нет: это те фунцкции (классы) из $L_2$, в которых есть элементы из $C$. Что плохо в пересечении: не указано что норма из $L_2$. Но тогда задача становится тривиальной, поскольку оно плотно в $L_2$.

[novichok2018]

Кстати, эль два тоже можно по-разному определять. При определении через классы хорошо, что это Банахово пространство, плохо, что напрямую используется несчётная аксиома выбора вместе с теоремой о разбиении по отношению эквивалентности, кому-то это не нравится (то есть тогда курицу можно разрезать на 4 части и потом попарно сложить в две новые такие же курицы). Тяжеловато для элементарного базового определения, если об этом задумываться, конечно. При определении через функции получается псевдобанахово пространство, или как там называется, когда есть нетривиальные элементы с нулевой нормой. Они образуют линейное подпространство. Интересно, как сам Рисс определял в оригинальной работе.

[marie-la]

thething
Похоже, что да, непрерывные с нормой $L_2$. Тогда просто, конечно.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1543791 писал(а):

плохо, что напрямую используется несчётная аксиома выбора

Где, например?

novichok2018 в сообщении #1543791 писал(а):

вместе с теоремой о разбиении по отношению эквивалентности

Это какая?

[novichok2018]

Я как-то даже растерялся. А как Вы вводите пространство эль два с классами? Равенство интегралов Лебега - это отношение эквивалентности. Что оно разбивает множество на классы - теорема о разбиении по отношению эквивалентности. Что потом из каждого класса можно выбрать по одному представителю - аксиома выбора. Обычно просто об этом не задумываются.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1543841 писал(а):

Равенство интегралов Лебега - это отношение эквивалентности.

Ну только отношение эквивалентности для $L_2$ всё-таки другое:)

novichok2018 в сообщении #1543841 писал(а):

Что оно разбивает множество на классы - теорема о разбиении по отношению эквивалентности.

А как формулируется? "Если на множестве есть отношение эквивалентности, то существует множество, состоящее из классов эквивалентности"? ИМХО как-то громко называть это "теоремой".

novichok2018 в сообщении #1543841 писал(а):

Что потом из каждого класса можно выбрать по одному представителю - аксиома выбора

А зачем нам одновременно выбирать из класса по представителю? Всю арифметику, операторы и т.д. можно определять сразу на классах (доказывая, что соответствующие преобразования уважают классы, но это в любом случае придется делать).

[novichok2018]

Про отношение эквивалентности: хорошо, пусть будет равенство почти всюду, согласен.
Про эквивалентность разбиения множества и отношения эквивалентности - по-моему, это настоящая теорема в обе стороны. Разбиение - это не просто слово, нужно его свойства доказывать. Да, у Колмогорова/Фомина формулировка теоремы заменена рассуждением в обе стороны, два приличных абзаца, полстраницы. А, например, в английской вике с несколькими ссылками называется: Fundamental theorem of equivalence relations (с рядом ссылок). Теорема напрямую используется, например, при доказательстве существования неизмеримых множеств на окружности (точнее: из континуальной аксиомы выбора следует существование неизмеримых множеств, из некоторых других разумных аксиом не следует). Потом надо говорить честно каждый раз, что мы имеем дело с факторпространством, а не пространством в обычном смысле. Поэтому написано в вике: "Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами L^{p} называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль»." Если задуматься, то не такое простое это определение и подход. Например, обессмысливаются все теоремы единственности для ДУ, какая единственность, когда решений бесконечно много. Или в численном методе схема сходится к решению. К какому решению, ко всем сразу из класса? Но можно и не задумываться, конечно.
На самом деле тут есть о чём задуматься.