Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1540563 писал(а):

Понял $w(n)$ равно общему количеству простых делителей на интервале с учетом их кратности.

Забыли что $2$ тоже простое число и тоже является простым делителем. А так да.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1540573 писал(а):

vicvolf в сообщении #1540563 писал(а):

Понял $w(n)$ равно общему количеству простых делителей на интервале с учетом их кратности.

Забыли что $2$ тоже простое число и тоже является простым делителем. А так да.

Да, как раз хотел об этом сказать, что только нечетные простые делители.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1540511 писал(а):

Вы обратили внимание на функцию $w(n)$ Defenition 1.5 и Corollary 1.2

Честно говоря, Предложение 1.5 хотелось бы поподробнее разобрать.
Сначала показалось, что почти всё понятно.
А потом так не показалось

О каких именно перестановках там идет речь?

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1540576 писал(а):

Предложение 1.5 хотелось бы поподробнее разобрать. .....
О каких именно перестановках там идет речь?

Это просто утверждение о существовании такой перестановки. Например, имеется последовательность простых чисел: $3,5,7,11,13,17,19,23$.

Так вот последовательность нечетных простых делителей (без учета кратных) любого интервала максимальной длины для $p_n=23$ может быть получена, как перестановка этой последовательности простых чисел.

Например, первый интервал максимальной длины имеет последовательность нечетных простых делителей (без учета кратных) $3, 5, 11, 13, 17, 7, 19, 23$ который действительно является перестановкой этой последовательности простых чисел $3,5,7,11,13,17,19,23$ и.т.д.

[Dmitriy40]

Банальность какая-то ...

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1540798 писал(а):

Банальность какая-то ...

Нет это не банальность. Это выполняется для всех интервалов наибольшей длины. Кстати это справедливо даже с учетом кратности нечетных простых делителей. Можно указать много других интервалов ПСВ, для которых это не выполняется.

[Dmitriy40]

А по моему банальность: если перевести на нормальный язык, то окажется что утверждается всего лишь, что для максимального интервала обязательно встречаются все простые до простого под примориалом включительно, может быть по нескольку раз. Ну так он же так и строится, чтобы все числа внутри делились на одно из этих простых, т.е. границы на них не делятся. А что именно обязательно все — так ведь если какое-то простое не встретится, то добавив его можно увеличить размер интервала минимум на 2, а значит он не был максимальным. Т.е. это обязательно выполняется всегда просто что называется "по построению" максимального интервала, это его родное свойство.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1540987 писал(а):

А что именно обязательно все — так ведь если какое-то простое не встретится, то добавив его можно увеличить размер интервала минимум на 2, а значит он не был максимальным. Т.е. это обязательно выполняется всегда просто что называется "по построению" максимального интервала, это его родное свойство.

Добавлять нельзя, так как этот простой нечетный делитель не входил в максимальный интервал. Доказать этот факт можно, но не так просто.

[Dmitriy40]

В максимальный интервал для $p_n\#$ обязаны входить все простые делители с $2$ по $p_n$ включительно. Это же очевидно. И легко доказывается "от противного".

-- 29.11.2021, 17:40 --

Интересное наблюдение: для 73# впервые встречается объединение трёх интервалов, а для 79# впервые бывает и два и три интервала, потом последнее повторяется и для 101#, 137#, 139#, 163#, 199#. Объединение четырёх интервалов до 251# так и не встретилось. Ещё забавно что после 71# больше не встречается объединение всегда только двух интервалов.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1540995 писал(а):

В максимальный интервал для $p_n\#$ обязаны входить все простые делители с $2$ по $p_n$ включительно. Это же очевидно. И легко доказывается "от противного".

Просто от противного не доказывается. Надо использовать свойства функции Якобсталя.

-- 29.11.2021, 18:08 --

Dmitriy40 в сообщении #1540995 писал(а):

Интересное наблюдение: для 73# впервые встречается объединение трёх интервалов, а для 79# впервые бывает и два и три интервала, потом последнее повторяется и для 101#, 137#, 139#, 163#, 199#. Объединение четырёх интервалов до 251# так и не встретилось.

Да.

[Dmitriy40]

Очень легко доказывается без всяких функций.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541001 писал(а):

Очень легко доказывается без всяких функций.

Если не использовать свойство строго возрастания функции Якобсталя, то при этом предположении при переходе с $p_n$# на $p_{n+1}$# значение максимального интервала не увеличивается и этот интервал в ПСВ$p_{n+1}$# будет в другом месте и не включать все простые делители.

[Dmitriy40]

Свойство строго возрастания функции Якобсталя не менее тривиально. Для его использования даже не надо вводить саму функцию Якобсталя, достаточно сразу пользоваться этим свойством, доказываемым буквально в одну строчку. Причём всё предыдущее доказательство (про наличие всех простых) на 90% состоит как раз из этой строчки.

[Yury_rsn]

Т.е., возможность полного покрытия интервала, длиной d,

вычетами q всех произвольных перестановок среди всех простых данного праймориала,

имеется только в случае, если эта длина d максимальна для данного праймориала (якобсталевская)?


А для интервалов меньшей длины не все перестановки могут перекрывать эти интервалы?

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1541103 писал(а):

Свойство строго возрастания функции Якобсталя не менее тривиально.

А Вы можете его доказать, не используя утверждение , что максимальный интервал для ПСВ$p_n$# образуется перестановками всех нечетных простых делителей от 3 до $p_n$?