Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1538731 писал(а):

В этой задаче можно работать с блочной матрицей и привести её к диагональному виду с помощью тождественных преобразований

Так я это и делаю. Разве нет?

-- 12.11.2021, 17:56 --

Sinoid в сообщении #1538723 писал(а):

Здесь $M_{ij}$ - это минор элемента $a_{ij}$.

Тут я имел ввиду, что это минор элемента $c_{ij}$. Сори.

-- 12.11.2021, 18:06 --

Я там пока не заморачивался, что равно 0, а что нет. Тогда получается, глядя на ту выкладку, нужно доказать, между прочим, что, если $c_{11}\neq0$, то и $M_{33}\neq0$.

[lel0lel]

Sinoid
Но только Вы зачем-то явно расписываете блоки $A_i$. К тому же, в общем виде это сделать непросто, ведь мы не знаем где будут возникать нули, то есть, работая в общем виде, возможно деление на ноль. Чтобы его избежать нужно переставлять столбцы. Как переставлять -- никто не знает, нужен конкретный вид матрицы $C$. Но то, что всегда переставить можно -- это известно, так как $C$ невырожденная.

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1538825 писал(а):

Но только Вы зачем-то явно расписывает блоки $A_i$.

Нет-нет-нет. Я же писал:

Sinoid в сообщении #1538723 писал(а):

Пытался нащупать решение в частном случае:

А так-то я понимаю, что для общего случая это не годится. Нужно будет что-то выделить и обобщить.

-- 12.11.2021, 18:19 --

lel0lel в сообщении #1538825 писал(а):

К тому же, в общем виде это сделать непросто, ведь мы не знаем где будут возникать нули, то есть, работая в общем виде, возможно деление на ноль.

Правильно. Поэтому я написал:

Sinoid в сообщении #1538819 писал(а):

Я там пока не заморачивался, что равно 0, а что нет.

[lel0lel]

Sinoid в сообщении #1538819 писал(а):

Тогда получается, глядя на ту выкладку, нужно доказать, между прочим, что, если $c_{11}\neq0$, то и $M_{33}\neq0$.

Нужно доказать, что одновременно нулями не могут быть $M_{3,3}$ и $M_{3,2}$

[Sinoid]

lel0lel в сообщении #1538830 писал(а):

Нужно доказать, что одновременно нулями не могут быть $M_{3,3}$ и $M_{3,2}$

Стоп. Мысля.

Sinoid в сообщении #1538819 писал(а):

Тогда получается, глядя на ту выкладку, нужно доказать, между прочим, что, если $c_{11}\neq0$, то и $M_{33}\neq0$.

Сначала нужно доказать, что в матрице

Sinoid в сообщении #1538723 писал(а):

$C=\left( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{matrix}\right)$

можно так переставить столбцы и матрицы, что в полученной матрице будет $M_{33}\neq0$. Но ведь это очевидно: если бы этого нельзя было сделать, то определитель исходной матрицы $C=\left( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{matrix}\right)$ был бы равен 0, что неверно по условию. И точно такими же рассуждениями, но уже для матрицы $M_{33}$ я могу доказать, что, переставляя строки и столбцы матрицы $C$ соответствующим образом, я могу добиться того, что в $M_{33}$, а, значит, и в матрице $C$ в первом столбце первой строки будет стоять отличное от 0 число.

[Sinoid]

Я аннулировал, так сказать, блок $B_{32}$. В так сказать, блоке $B_{33}$ получился множитель $C_{11}\left|C\right|$ (без учета множителя перед матрицей и при таком условии:

Sinoid в сообщении #1538835 писал(а):

а, значит, и в матрице $C$ в первом столбце первой строки будет стоять отличное от 0 число.

, можно считать, наложенном на матрицу $C$). Да, как раз то, что нужно. Осталось это все обобщить.

[svv]

Sinoid
У Вас две матрицы:
$C=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2k}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\c_{k1} & c_{k2} & \ldots & c_{kk}\end{bmatrix}$ и $A=\begin{bmatrix}c_{11}A_{1} & c_{12}A_{2} & \ldots & c_{1k}A_{k}\\c_{21}A_{1} & c_{22}A_{2} & \ldots & c_{2k}A_{k}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\c_{k1}A_{1} & c_{k2}A_{2} & \ldots & c_{kk}A_{k}\end{bmatrix}$

Матрица $C$ невырождена. Поэтому её можно привести к диагональному виду (достаточно было бы к треугольному, но диагональный красивее) с помощью последовательности преобразований, не меняющих её ранг:
1) вычесть из $j$-й строки $i$-ю строку, умноженную на число $\lambda$ (где $j\neq i$);
2) переставить $j$-ю и $i$-ю строки.
Всякий раз, применяя к $C$ одно из этих преобразований, применяйте его же к $A$, только в блочном варианте:
1) вычесть из $j$-й блочной строки $i$-ю блочную строку, умноженную на число $\lambda$ (где $j\neq i$);
2) переставить $j$-ю и $i$-ю блочные строки.

И когда $C$ станет диагональной, $A$ станет блочно-диагональной.

[Sinoid]

svv
блин, ну, зачем вы так быстро карты раскрыли? Я только вышел на след...

-- 12.11.2021, 21:51 --

svv в сообщении #1538874 писал(а):

Матрица $C$ невырождена. Поэтому её можно привести к диагональному виду

Так вот где используется невырожденность.

[svv]

Тут для Вас остаётся ещё много интересных вопросов. Например, как вот это обосновать? Почему «поэтому»?

svv в сообщении #1538874 писал(а):

Матрица $C$ невырождена. Поэтому её можно привести к диагональному виду

Дальше, зачем вообще нужны перестановки строк? Какие могут возникать случаи в ходе преобразований а) произвольной матрицы и б) квадратной невырожденной?

Я, кстати, лишь усложнил (но сделал более наглядной) процедуру, описанную раньше другими участниками.

[Sinoid]

svv
спасибо. Но я и свой вариант до конца прокручу.

-- 12.11.2021, 21:58 --

svv в сообщении #1538882 писал(а):

Дальше, зачем вообще нужны перестановки строк?

Это, мне кажется, я знаю.

[Sinoid]

Скажите, пожалуйста, навскидку, как вы думаете, выполняется ли следующее соотношение между определителями: $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, n}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, n}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{n\, n-1} & a_{n\, n} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, j}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, j}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, j}\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{i\, n-1} & a_{i\, j} \end{vmatrix}-$

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, j}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, j}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, j}\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \ldots & a_{n\, n-1} & a_{n\, j} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, n}\\ \hdotsfor{5}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, n}\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{i\, n-1} & a_{i\, n} \end{vmatrix}=$

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1}\\ \hdotsfor{4}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, n} & a_{1j}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, n} & a_{2j}\\ \hdotsfor{6}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, n} & a_{n-1\, j}\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{n\, n-1} & a_{n\, n} & a_{n\, j}\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{i\, n-1} & a_{i\, n} & a_{i\, j} \end{vmatrix}$ ? Предположить верность этой формулы мне дало основание выполнение
некоторых довольно объемных вычислений, и, если бы эта формула оказалось верной, это бы сильно упростило конечный вид тех вычислений. Я пытался доказать эту формулу, расписывая это на компе, но формулы оказались настолько громоздкими, что они труднообозримы на моем мониторе: приходится полосу прокрутки крутить в предпросмотрщике. И т. д. Так вот я и думаю: стоит ли прилагать дальнейшие усилия? Если она верна, то я буду пытаться ее доказать, а если нет...

[nnosipov]

Чисто эстетически: глаза б не видели.

[lel0lel]

Да, запись нечитаемая. Но очень похоже, что речь о Desnanot–Jacobi identity.

[Sinoid]

nnosipov
Дык, а делать-то что?

-- 27.11.2021, 01:21 --

lel0lel в сообщении #1540690 писал(а):

Да, запись нечитаемая.

Почему?

[svv]

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1\, n-1} & a_{1\, j}\\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2\, n-1} & a_{2\, j}\\\hdotsfor{5}\\a_{n-1\,1} & a_{n-12} & \ldots & a_{n-1\, n-1} & a_{n-1\, j}\\a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{i\, n-1} & a_{i\, j}\end{vmatrix}$

Это в Вашей формуле второй определитель. А что у него в $j$-м столбце?