Стандартная топология в R. Определение.

[Someone]

bayah в сообщении #1540056 писал(а):

Так вот именно, какое оно будет? Если тут не мыслить понятиями предела, то я не знаю как иначе. Я бы сказал, что тут пересечение не определено.

А Вы вообще определение пересечения семейства множеств знаете? Не двух множеств, а произвольного семейства.

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1540056 писал(а):

mihaild в сообщении #1540004 писал(а):

А вот какое будет пересечение всех интервалов вида $(-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$ (при $\varepsilon > 0$)?

Так вот именно, какое оно будет? Если тут не мыслить понятиями предела, то я не знаю как иначе. Я бы сказал, что тут пересечение не определено.

Ну почему же не определено. Пересечение определено всегда и содержит в точности те точки, которые принадлежат сразу всем множествам (у которых берётся пересечение). Так вот, какие точки принадлежат сразу всем множествам вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, с любым $\varepsilon>0$?

[svv]

bayah в сообщении #1540056 писал(а):

Ну тоже такое себе, по-моему. Пока вот это определение понятней всех:

мат-ламер в сообщении #1540046 писал(а):

"$\Omega$ the set of unions of all intervals $(a,b)$"

Берём один такой union of all intervals $(a,b)$ with $a,b\in\mathbb R$ (именно так в книге) и получаем $\mathbb R$. Видимо, я совсем слаб в английском.

Я не оправдываю авторов «Элементарной топологии». Можно было пояснить смысл слова «семейство» и уточнить, что понимается под объединением множества/семейства (в ед.ч.).

[мат-ламер]

svv в сообщении #1540061 писал(а):

Видимо, я совсем слаб в английском.

Я тоже слаб. Но мне электронный словарик подсказывает, что слово "all" можно перевести как "всякий" или "всевозможный". Наверное, это будет точнее.

[мат-ламер]

bayah в сообщении #1540056 писал(а):

Так вот именно, какое оно будет? Если тут не мыслить понятиями предела, то я не знаю как иначе. Я бы сказал, что тут пересечение не определено.

Попробуйте мыслить так. Берёте очень конкретную точку и смотрите, принадлежит ли она пересечению интервалов или нет. Возьмите, например, три точки: $1.001$ , $1.000001$ и $1.0$ . Сразу станет всё понятно.

-- Вс ноя 21, 2021 23:04:05 --

мат-ламер в сообщении #1540042 писал(а):

Для меня под топологией прямой проще понимать совокупность неких подмножеств прямой, которые мы будем называть "открытыми". Открытым мы будем называть множество, которое вместе с каждой своей точкой содержит и некий интервал, причём точка принадлежит этому интервалу.

Может для топик-стартера понятней будет так. Открытым множеством на прямой будем называть множество, которое является объединением открытых интервалов. Это будет в духе определения базы топологии. То есть совокупность открытых интервалов составляют базу топологии прямой.

[bayah]

Someone в сообщении #1540058 писал(а):

А Вы вообще определение пересечения семейства множеств знаете? Не двух множеств, а произвольного семейства.

Mikhail_K в сообщении #1540059 писал(а):

Ну почему же не определено. Пересечение определено всегда и содержит в точности те точки, которые принадлежат сразу всем множествам (у которых берётся пересечение). Так вот, какие точки принадлежат сразу всем множествам вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, с любым $\varepsilon>0$?

мат-ламер в сообщении #1540073 писал(а):

Попробуйте мыслить так. Берёте очень конкретную точку и смотрите, принадлежит ли она пересечению интервалов или нет. Возьмите, например, три точки: $1.001$ , $1.000001$ и $1.0$ . Сразу станет всё понятно.

Да я понимаю эту аргументацию. Да, какое бы сколь угодно малое $\varepsilon$ мы не взяли, никакой интервал вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ не может быть пересечением всех интервалов такого вида, потому что можно взять еще меньшее значение $\varepsilon$. Получается что пересечением таких интервалов будет интервал в котором $\varepsilon = 0$. То есть интервал $[-1;1]$. Это все понятно.
Но с другой стороны, мы изначально взялись рассматривать интервалы вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, где $\varepsilon>0$. То есть именно все такие интервалы отличны от $[-1;1]$. Так каким образом у нас он получается в пересечении пусть даже бесконечного интервалов? Чем это второе рассуждение не верно?

Я не говорю, что мое рассуждение верно, скорее мне кажется оба рассуждения не верны, потому что противоречивы. Вообще эти вопросы где возникают умозаключения с использованием бесконечности всегда для меня не были убедительны. Или я постоянно что-то не могу ухватить в таких рассуждениях, чтобы наконец понять их)

[mihaild]

bayah, попробуйте всё-таки спуститься на уровень ниже, и рассуждать из определения пересечения: точка принадлежит пересечению семейства интервалов тогда и только тогда когда она принадлежит каждому интервалу этого семейства.
Пользуясь этим определением, проверьте, какие из следующих точек принадлежат $\bigcap\limits_{\varepsilon > 0} (-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$: $-2$, $-1.1$, $-1$, $0.5$, $0$, $\frac{1}{3}$, $1$, $42$. Не думайте пока, что там будет в пересечении - интервал, отрезок или желтые ботинки, просто формально проверьте для нескольких точек, попадут ли они в это пересечение.

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

Получается что пересечением таких интервалов будет интервал в котором $\varepsilon = 0$.

Это что-то странное, если подставить $\varepsilon = 0$ в $(-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$ то получится интервал $(-1, 1)$ а не отрезок $[-1, 1]$.

[eugensk]

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

Я не говорю, что мое рассуждение верно, скорее мне кажется оба рассуждения не верны, потому что противоречивы. Вообще эти вопросы где возникают умозаключения с использованием бесконечности всегда для меня не были убедительны. Или я постоянно что-то не могу ухватить в таких рассуждениях, чтобы наконец понять их)

Извиняюсь, всё же вы чуть-чуть рановато берётесь за общую топологию.
Позвольте порекомендовать лекции, которые на этом этапе объективно полезнее https://www.youtube.com/playlist?list=P ... mO3IANGRZv
по всяком случае мне они очень помогли.

Если вынесете из них два момента "Смотрим на определение до просветления" и "Я не думаю, я следую определению"
- это уже будет для вас огромным подспорьем :)

[Someone]

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

То есть интервал $[-1;1]$.

$[-1;1]$ — не интервал, а отрезок.

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

Так каким образом у нас он получается в пересечении пусть даже бесконечного интервалов?

По определению пересечения. Что получается, то мы и должны принять.

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

То есть именно все такие интервалы отличны от $[-1;1]$.

А почему, собственно говоря, тут должно быть какое-то равенство? Кто Вам его обещал?

Обратите внимание, что в определении топологии нет требования, чтобы пересечение любого семейства открытых множеств было открытым множеством. Там не случайно речь идёт о пересечении конечного семейства открытых множеств.

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1540150 писал(а):

Чем это второе рассуждение не верно?

Тем, что надо опираться на определение пересечения. Что такое пересечение - определяется одинаково хоть для конечного, хоть для бесконечного количества множеств. Это определение уже даже выписано выше, посмотрите. И воспользуйтесь им. Не надо никаких "правдоподобных рассуждений", не надо никакого "понятия предела", просто тупо определение и всё.

[Lia]

bayah
Ответьте на вопрос. Вам его неоднократно задали.

Someone в сообщении #1540058 писал(а):

А Вы вообще определение пересечения семейства множеств знаете? Не двух множеств, а произвольного семейства.

[bayah]

Lia в сообщении #1540173 писал(а):

Ответьте на вопрос. Вам его неоднократно задали.

mihaild в сообщении #1540153 писал(а):

Пользуясь этим определением, проверьте, какие из следующих точек принадлежат $\bigcap\limits_{\varepsilon > 0} (-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$: $-2$, $-1.1$, $-1$, $0.5$, $0$, $\frac{1}{3}$, $1$, $42$.

По определению элемент принадлежит пересечению множеств, если он принадлежит всем множествам пересечения. Поэтому, если элемент не принадлежит хоть какому-нибудь множеству, то он не принадлежит и пересечению. $-2$ не принадлежит пересечению, потому, что есть множество $(-1 - 0.5; 1 + 0.5)$. Для $-1.1$ есть $(-1 - 0.01; 1 + 0.01)$, ... А для $-1$ нет такого множества, потому что нет такого $\varepsilon > 0$, чтобы $-1-\varepsilon > -1$. Поэтому $-1$ уже лежит в пересечении всех этих множеств.

mihaild в сообщении #1540153 писал(а):

Это что-то странное, если подставить $\varepsilon = 0$ в $(-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$ то получится интервал $(-1, 1)$ а не отрезок $[-1, 1]$.

Ну кстати, да. Чисто формально. Но как как раз писал выше $-1$ уже принадлежит пересечению, а потому не может быть концом интервала, потому что концы интервала не принадлежат множеству им обозначаемому. Ну а видимо никакую другую границу в виде отрезка указать не удается. Получается, что первый входящий в пересечение элемент слева это $-1$. Поэтому и отрезок. Так?

eugensk в сообщении #1540157 писал(а):

Позвольте порекомендовать лекции, которые на этом этапе объективно полезнее https://www.youtube.com/playlist?list=P ... mO3IANGRZv

Спасибо. Интересное оглавление. Так-то я вроде бы с этими понятиями знаком, но не в объеме целого курса, вероятно. Буду знакомиться параллельно.

Someone в сообщении #1540169 писал(а):

$[-1;1]$ — не интервал, а отрезок.

Я путаюсь в терминах. Тут я имел ввиду то, что более общо и называется промежутком.

Someone в сообщении #1540169 писал(а):

По определению пересечения. Что получается, то мы и должны принять.

Ну вот у меня и не получается. Тут мы принимаем за получающееся пересечение промежуток $[-1;1]$ потому, что не можем указать какое-нибудь $\varepsilon$ отличное от $0$ удовлетворяющее пересечению. Как бы то, что получается как пересечение, получается как-то не конструктивным образом что-ли. Ну это ладно. Может быть тут у меня сложности в понимании еще на этапе что мы не можем указать следующую точку на числовой прямой. То есть $-1$, например, какая следующая? Никакая. Какую бы ни указали, всегда найдется точка еще ближе. Непрерывность, вот это все.)

Someone в сообщении #1540169 писал(а):

А почему, собственно говоря, тут должно быть какое-то равенство? Кто Вам его обещал?

Ну смотрите. Тут у нас множества заданные вложенными друг в друга интервалами. Логично, что пересечение таких интервалов должно быть одним из таких интервалов?

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1540175 писал(а):

Логично, что пересечение таких интервалов должно быть одним из таких интервалов?

Ещё раз: не надо думать, что логично, что нелогично. Надо пользоваться определением!

В математике много контринтуитивного, в ней нельзя полагаться на то, что кажется Вам "логичным".

bayah в сообщении #1540175 писал(а):

По определению элемент принадлежит пересечению множеств, если он принадлежит всем множествам пересечения.

Вот это верно. Точки $-1$ и $1$, согласно этому определению, входят в пересечение наших интервалов.

bayah в сообщении #1540175 писал(а):

Поэтому, если элемент не принадлежит хоть какому-нибудь множеству, то он не принадлежит и пересечению. $-2$ не принадлежит пересечению, потому, что есть множество $(-1 - 0.5; 1 + 0.5)$. Для $-1.1$ есть $(-1 - 0.01; 1 + 0.01)$, ... А для $-1$ нет такого множества, потому что нет такого $\varepsilon > 0$, чтобы $-1-\varepsilon > -1$. Поэтому $-1$ уже лежит в пересечении всех этих множеств.

Я бы сказал проще: точка $-1$, очевидно, принадлежит всем интервалам вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, где $\varepsilon>0$, а поэтому принадлежит и их пересечению. Что тут "неконструктивного"?

[bayah]

Mikhail_K в сообщении #1540178 писал(а):

Ещё раз: не надо думать, что логично, что нелогично. Надо пользоваться определением!

Вот это заявление. Нет, ну как не надо? В математике не надо думать?) Разве сами эти определения не результат рассуждений, да и вообще. Как же внутренняя непротиворечивость? Если не брать во внимание какие либо другие рассуждения, то так и противоречий никогда не будет, потому что не чему противоречить.
Применительно к примеру я же не говорю только о интуиции. Я привожу вполне корректное, как мне кажется, рассуждение в тех же понятиях о которых идет речь в примере:

bayah в сообщении #1540175 писал(а):

Тут у нас множества заданные вложенными друг в друга интервалами. Логично, что пересечение таких интервалов должно быть одним из таких интервалов?

Если у нас имеется какая-то непротиворечивая система, то значит в моем утверждении должна быть ошибка. Нельзя же просто сказать - не делай таких утверждений, верно?

Mikhail_K в сообщении #1540178 писал(а):

Я бы сказал проще: точка $-1$, очевидно, принадлежит всем интервалам вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, где $\varepsilon>0$, а поэтому принадлежит и их пересечению. Что тут "неконструктивного"?

Вопроса принадлежит ли точка пересечению множеств не возникает. Вопрос в понимании какое именно множество будет являться пересечением. "Неконструктивного" тут как мне кажется, что это пересечение множеств не является ни одним из множеств входящих в пересечение. Ну это снова то, что я писал выше. Мы не можем назвать какое из множеств будет являться пересечением в силу их бесконечности и предлагаем то, которое уж точно будет входить в пересечение. Вот в этом мне видится "неконструктивность".

[eugensk]

bayah

Речь только о том, как вам проверять себя самостоятельно. Следуйте определению. Вопросы восклицания "ведь логично?" "так?" могут быть уместны по отношению к элементарным шагам типа если А или В и В неверно значит А, тогда вы сами на них и ответите, но бесполезны если идти сразу к заключению.

По поводу пересечения. Сперва вы догадываетесь, какое это может быть множество, потом доказываете утверждение о равенстве двух множеств, доказываете, а не демонстрируете на примерах. Чтобы научиться этому, нужно решать задачи.