Стандартная топология в R. Определение.

[bayah]

Добрый вечер.

В книжке "Элементарная топология" О. Я Виро и еще трех авторов дается такое определение:

Пусть $X = \mathbb{R}$ - множество всех вещественных чисел, $\Omega$ - совокупность объединений всевозможных семейств открытых интервалов.
Собственно вопрос - что подразумевается под $\Omega$?

Уж больно путанная формулировка для меня.
Если разбирать по словам, то для начала слова "совокупность" и "семейство" заменю на слово "множество". Это ведь тут можно сделать?
Теперь это звучит так: $\Omega$ - множество объединений всевозможных множеств открытых интервалов.
Теперь иду с конца:
$(a; b)$ - это интервал,
$\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\}$ - это множество открытых интервалов,
$\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\} \bigcup \{(a'_1; b'_1), (a'_2; b'_2),..., (a'_n; b'_n)\} $ - это объединение двух множеств открытых интервалов
$\{\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\} \bigcup \{(a'_1; b'_1), (a'_2; b'_2),..., (a'_n; b'_n)\}, ...\}$ - множество объединений всевозможных множеств открытых интервалов, то есть $\Omega$
Так?

Но, что-то мне подсказывает, что тут под $\Omega$ понимается $\{\{(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n)\},...\}$. Что я бы назвал как - множество множеств объединений всевозможных интервалов. Или вообще не пытался бы сформулировать это в одном предложении.

На Википедии вообще пишут, что "Вещественная прямая $\mathbb{R}$ является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов." То есть похоже на второе мое предположение.

Как на самом деле? И как вы оцените формулировку данную в книжке?

[mihaild]

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

$\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\} \bigcup \{(a'_1; b'_1), (a'_2; b'_2),..., (a'_n; b'_n)\} $ - это объединение двух множеств открытых интервалов

Речь об объединениях всевозможных множеств. Т.е. взяли множество, взяли его объединение (т.е. множество, являющееся объединением элементов нашего множества) - получили элемент того что нужно. Взяли следующее множество, проделали ту же операцию, и т.д.
Т.е. взяли множество открытых интервалов, объединили их всех - и получили открытое множество.

Формулировка несколько сложная, но вполне однозначная.

[Sinoid]

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

$\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\}$ - это множество открытых интервалов

Насколько я знаю, подобным образом вообще невозможно записать даже множество

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

$\mathbb{R}$ - множество всех вещественных чисел,

.

[Verkhovtsev]

bayah, по сути, вы дали то же самое определение, что и в книжке. Просто слово "семейство" удобно включать в некоторых контекстах, например, когда рассматриваются покрытия. Так, работают с "семейством интервалов, покрывающем отрезок", но не с "интервалами, покрывающими отрезок". Последняя словесная конструкция выглядит коряво. В отличие от нее, фраза "объединение семейства отрезков" вполне на ходу и, видимо, является хорошим тоном.

[Mikhail_K]

Здесь дело вот в этой фразе.

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

объединений всевозможных множеств

Вы её понимаете так: берутся всевозможные множества (о которых идёт речь дальше) и одни из них объединяются с другими.
Авторы имеют в виду другое: берутся всевозможные множества (о которых идёт речь дальше) и у каждого множества в отдельности берётся объединение.

То есть слово "объединение" используется не в смысле "объединение одного множества с другим множеством", а в смысле "объединение множества", одного множества. А именно, под объединением множества $M$ (не с чем-то другим, а объединением его самого) понимается объединение всех элементов в этом множестве: $\bigcup M=\bigcup\limits_{x\in M}x$. Причём, элементы $x$ сами должны быть множествами, которые и объединяются друг с другом; конкретно, они являются интервалами.

[bayah]

mihaild в сообщении #1538506 писал(а):

Формулировка несколько сложная, но вполне однозначная.

Ну, в том-то и дело, что мне не кажется она однозначной. Вот ниже Mikhail_K, верно описал мое замешательство, я именно в этих двух вариантах значений и запутался.

Sinoid в сообщении #1538507 писал(а):

Насколько я знаю, подобным образом вообще невозможно записать даже множество

Ну почему же нельзя? Если какой-то интервал есть множество, то множество состоящее из таких интервалов вполне себе тоже множество.

Verkhovtsev в сообщении #1538516 писал(а):

bayah, по сути, вы дали то же самое определение, что и в книжке. Просто слово "семейство" удобно включать в некоторых контекстах, например, когда рассматриваются покрытия.

Ну проблема была все таки не в различии смыслов употребления слов "семейство" или "множество".

Mikhail_K в сообщении #1538521 писал(а):

Вы её понимаете так: берутся всевозможные множества (о которых идёт речь дальше) и одни из них объединяются с другими.
Авторы имеют в виду другое: берутся всевозможные множества (о которых идёт речь дальше) и у каждого множества в отдельности берётся объединение.

Да, вы правильно поняли, что я имел ввиду. И да, я понял что имелось ввиду в книжке. Спасибо.
Это в принципе можно было понять из определения топологической структуры вообще. То есть вот этот вариант, который я приводил:

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

$\{\{(a_1; b_1), (a_2; b_2),..., (a_n; b_n)\} \bigcup \{(a'_1; b'_1), (a'_2; b'_2),..., (a'_n; b'_n)\}, ...\}$ - множество объединений всевозможных множеств открытых интервалов, то есть $\Omega$

он не подходит уже по определению топологической структуры. Топологическая структура это множество подмножеств исходного множества. А тут получается множество множеств подмножества исходного множества. Поэтому остается только второй вариант, который я кстати не верно записал формально. Должно быть так:
$\{(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n),...\}$

------------------------------
Всем спасибо, но у меня появились еще вопросы, задам их пожалуй тут же.
Мне не ясно несколько моментов:
1). Интервалы конечные или могут быть и бесконечные? То есть могут быть интервалы вида $(a; +\infty)$?
2). Семейство открытых интервалов конечно или бесконечно? То есть конечно или бесконечно количество элементов объединения? $(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n),...$ То есть может ли их быть бесконечно, например?
3). Количество объединений семейств конечно или бесконечно? То есть, бесконечно ли элементов в таком множестве $\{(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n),...\}$?
4). Ну и главное, влияют ли эти вопросы на то, будет ли $\Omega$ - топологическим пространством или нет?

Попробую и сам ответить. Из формулировки "$\Omega$ - совокупность объединений всевозможных семейств открытых интервалов" следует, что бесконечно именно количество таких объединений (пункт 3)).
Теперь, если доказывать, что $\Omega$ - топология. Докажем:
а). Объединение любого семейства множеств из $\Omega$ есть множество в $\Omega$.
Ну тут все решает слово "всевозможных" из определения $\Omega$. Какое бы подмножество мы не получили в итоге, оно всегда будет в $\Omega$ как это самое "всевозмножное" объединенное с пустым множеством.
b). Пересечение любого конечного семейства множеств из $\Omega$ есть множество в $\Omega$.
Тут кстати сразу вопрос - какова роль требования конечного семейства? Для чего такое ограничение?
Ну тут опять доказательство методом ссылки на слово "всевозможное" в определени.
с). Пустое множество и само множество $\mathbb{R}$ лежит в $\Omega$.
Пустое множество лежит в $\Omega$ всевозможное, опять таки, например, как объединение семейства состоящего из одного интервала вида $(a;a)$.
А множество $\mathbb{R}$ лежит в $\Omega$ так как для любого наперед заданного $n \in \mathbb{R}$ найдется такое объединение в котором содержится $n$. Так? Но что-то тут мне как-то не нравится рассуждение. Какое-то неоднозначное.

Прокомментируйте пожалуйста.
Спасибо.

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

1). Интервалы конечные или могут быть и бесконечные? То есть могут быть интервалы вида $(a; +\infty)$?

Без разницы, потому что любой бесконечный интервал представляется в виде объединения конечных интервалов. В результате, всевозможные объединения конечных и бесконечных интервалов совпадают со всевозможными объединениями только конечных интервалов. Впрочем, под "интервалом" по умолчанию понимается обычно всё-таки конечный интервал.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

2) Семейство открытых интервалов конечно или бесконечно? То есть конечно или бесконечно количество элементов объединения? $(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n),...$ То есть может ли их быть бесконечно, например?

Так как этого не сказано, то бесконечные объединения, конечно, тоже допускаются.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

3) Количество объединений семейств конечно или бесконечно? То есть, бесконечно ли элементов в таком множестве $\{(a_1; b_1) \bigcup (a_2; b_2) \bigcup ... \bigcup (a_n; b_n),...\}$?

Вопрос непонятен. К $\Omega$ относятся всевозможные объединения семейств интервалов. Количество таких объединений, очевидно, бесконечно.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

4). Ну и главное, влияют ли эти вопросы на то, будет ли $\Omega$ - топологическим пространством или нет?

Вопрос 1 не влияет, вопрос 2 важен (если допускать только конечные объединения, нарушится аксиома а) - которая про объединения), вопрос 3 непонятен.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

Тут кстати сразу вопрос - какова роль требования конечного семейства? Для чего такое ограничение?

Вот из-за чего: все множества вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ с любым $\varepsilon>0$ принадлежат $\Omega$ (так как каждое из них является объединением семейства, состоящего из одного интервала), но их пересечение $[-1,1]$ не принадлежит $\Omega$. Дело здесь именно в том, что семейство множеств вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ бесконечное.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

Ну тут опять доказательство методом ссылки на слово "всевозможное" в определени.

Не думаю, что всё так просто.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

Пустое множество лежит в $\Omega$ всевозможное, опять таки, например, как объединение семейства состоящего из одного интервала вида $(a;a)$.

Верно.

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

А множество $\mathbb{R}$ лежит в $\Omega$ так как для любого наперед заданного $n \in \mathbb{R}$ найдется такое объединение в котором содержится $n$. Так?

Не так. Множество $\mathbb{R}$ само должно быть объединением семейства интервалов, чтобы принадлежать $\Omega$. Можно взять, например, вообще все интервалы - их объединение будет как раз $\mathbb{R}$. Или все интервалы вида $(n-1,n+1)$ со всевозможными целыми $n$ - тоже получится $\mathbb{R}$ в объединении.

[bayah]

Mikhail_K в сообщении #1539955 писал(а):

Вопрос непонятен. К $\Omega$ относятся всевозможные объединения семейств интервалов. Количество таких объединений, очевидно, бесконечно.

Да, это я и имел ввиду.

Mikhail_K в сообщении #1539955 писал(а):

Вопрос 1 не влияет, вопрос 2 важен (если допускать только конечные объединения, нарушится аксиома а) - которая про объединения

Нарушится, например, для множества $\mathbb{R}$? То есть не получится получить $\mathbb{R}$ объединением только конечного числа интервалов и следовательно $\mathbb{R}$ не будет принадлежать $\Omega$? Так?

Mikhail_K в сообщении #1539955 писал(а):

Дело здесь именно в том, что семейство множеств вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$ бесконечное.

Тут используется понятие предела? То есть, если взять пересечение бесконечного семейства интервалов вида $(-1-\varepsilon,1+\varepsilon)$, то для любого сколь угодно малого $\varepsilon$ найдется еще меньшее $\varepsilon_2$ и в пределе это $0$? Но с другой стороны, результат пересечения сколь угодного большого числа таких интервалов будет просто наименьший из этих интервалов, а он уже содержится в $\Omega$. Непонятно.

Mikhail_K в сообщении #1539955 писал(а):

Не думаю, что всё так просто.

А почему нет? Берем какое-нибудь конечное число интервалов, берем их объединение и оно по определению $\Omega$ для стандартной топологии уже должно быть в $\Omega$ как объединение семейства из одного этого самого интервала.

[mihaild]

bayah в сообщении #1539992 писал(а):

Нарушится, например, для множества $\mathbb{R}$? То есть не получится получить $\mathbb{R}$ объединением только конечного числа интервалов и следовательно $\mathbb{R}$ не будет принадлежать $\Omega$?

Если разрешить бесконечные интервалы, то получится. Но некоторые другие всё равно не получится - можно придумать бесконечное семейство интервалов, объединение которых отличается от объединения любого конечного семейства. Например $(0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, 3) \ldots $ не получится представить как объединение конечного числа интервалов.

bayah в сообщении #1539992 писал(а):

Тут используется понятие предела?

Нет.

bayah в сообщении #1539992 писал(а):

Но с другой стороны, результат пересечения сколь угодного большого числа таких интервалов будет просто наименьший из этих интервалов, а он уже содержится в $\Omega$.

Пересечение конечного числа интервалов такого вида действительно равно минимальному из них (интервалов, пересечение которых мы брали). А вот какое будет пересечение всех интервалов вида $(-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$ (при $\varepsilon > 0$)?

bayah в сообщении #1539992 писал(а):

Берем какое-нибудь конечное число интервалов, берем их объединение и оно по определению $\Omega$ для стандартной топологии уже должно быть в $\Omega$ как объединение семейства из одного этого самого интервала

Там же речь про пересечение. Вот у нас есть два семейства интервалов $A_1, A_2, \ldots$ и $B_1, B_2, \ldots$. Нужно доказать, что существует еще какое-то семейство интервалов $C_1, C_2, \ldots$ такое что $C_1 \cup C_2 \cup \ldots = (A_1 \cup A_2 \cup \ldots) \cap (B_1 \cup B_2 \cup \ldots)$. А потом еще то же самое когда исходно было не два семейства, а $n$.

И нет никакого "определения $\Omega$" для стандартной топологии. У нас есть множество $\Omega$, состоящее из объединений всевозможных семейств интервалов, и нам нужно доказать, что оно является топологией (удовлетворяет аксиомам).

[мат-ламер]

Казалось бы вопрос элементарный. Однако:

bayah в сообщении #1539952 писал(а):

1). Интервалы конечные или могут быть и бесконечные? То есть могут быть интервалы вида $(a; +\infty)$?

В книге конкретно подчёркивается конечность $a$ и $b$ (пункт 2.3).

Mikhail_K в сообщении #1539955 писал(а):

Без разницы, потому что любой бесконечный интервал представляется в виде объединения конечных интервалов

В определении из книги про объединение интервалов ничего не говорится. Там говорится про объединение семейств интервалов. (Это разные вещи). А это будет новое семейство конечных интервалов, содержащее каждый интервал из каждого семейства.

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

совокупность объединений всевозможных семейств открытых интервалов.

bayah в сообщении #1538502 писал(а):

Уж больно путанная формулировка для меня.

Для меня тоже. Дело в том, что "объединение всевозможных семейств интервалов" не есть подмножество прямой. Это скорее "семейство всевозможных интервалов".

Рискну предположить, что авторы что-то тут напутали.

Для меня под топологией прямой проще понимать совокупность неких подмножеств прямой, которые мы будем называть "открытыми". Открытым мы будем называть множество, которое вместе с каждой своей точкой содержит и некий интервал, причём точка принадлежит этому интервалу. Можно доказать, что открытое множество есть объединение не более чем счётного числа непересекающихся интервалов (возможно бесконечных).

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1540042 писал(а):

В определении из книги про объединение интервалов ничего не говорится. Там говорится про объединение семейств интервалов. (Это разные вещи).

Это уже обсуждалось выше. Под "объединением семейства интервалов" в книге понимается именно объединение всех интервалов из этого семейства, а вовсе не объединение одного семейства с другим семейством. При этом результатом такой операции является именно подмножество прямой, а вовсе не новое семейство интервалов. Ну, такая терминология у авторов.

мат-ламер в сообщении #1540042 писал(а):

Рискну предположить, что авторы что-то тут напутали.

Нет, просто Вы не разобрались в их терминологии.

[мат-ламер]

Mikhail_K . Спасибо за поправку.

Mikhail_K в сообщении #1540043 писал(а):

Под "объединением семейства интервалов" в книге понимается

Я такого термина не употреблял. У меня было (как и в книге) "объединение семейств интервалов". Думаю, что это существенно разные вещи.

Качнул английский перевод: http://library.lol/main/57F513D8C3E61EA3A365446FA8C4CBB5.
Под топологией на прямой они понимают "$\Omega$ the set of unions of all intervals $(a,b)$" - то есть "множество объединений всех интервалов $(a,b)$ " . Мне кажется так стало гораздо понятней.

Пока остаюсь во мнении, что в русском издании авторы допустили ляп, который исправили в английском переводе. Но спорить не буду. Попробую ещё раз перечитать тему.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1540046 писал(а):

Я такого термина не употреблял. У меня было (как и в книге) "объединение семейств интервалов". Думаю, что это существенно разные вещи.

Нет, в книге не "объединение семейств интервалов", а "объединениЯ семейств интервалов". Это множественное число от "объединение семейства интервалов".

Я согласен, что можно было бы при желании сказать более внятно. С другой стороны, "объединение семейства" звучит хотя и менее внятно, но более строго, чем "объединение всех множеств из семейства". Потому что есть семейство $\{M_\alpha\}$, к нему применяется вот эта операция, получается множество $\bigcup_\alpha M_\alpha$. Дальше, как сказать "объединение семейства" во множественном числе? То есть когда у нас есть много семейств, и у каждого из них (в отдельности, а не между собой) берётся объединение? Не приходит в голову ничего другого, кроме как "объединения семейств".

[svv]

Вот как пишет об этой операции Зорич (Математический анализ, т.1, стр.26):

Цитата:

3°. Аксиома объединения. Для любого множества $M$ множеств существует множество $\bigcup M$, называемое объединением множества $M$, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества $M$.
Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств», то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким образом, объединение множества есть множество, причем $x\in\bigcup M\Leftrightarrow \exists X ((X\in M)\wedge (x\in X))$.

[bayah]

mihaild в сообщении #1540004 писал(а):

Если разрешить бесконечные интервалы, то получится. Но некоторые другие всё равно не получится - можно придумать бесконечное семейство интервалов, объединение которых отличается от объединения любого конечного семейства. Например $(0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, 3) \ldots $ не получится представить как объединение конечного числа интервалов.

Да, действительно. Интересно. Спасибо.

mihaild в сообщении #1540004 писал(а):

А вот какое будет пересечение всех интервалов вида $(-1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)$ (при $\varepsilon > 0$)?

Так вот именно, какое оно будет? Если тут не мыслить понятиями предела, то я не знаю как иначе. Я бы сказал, что тут пересечение не определено.
С другой стороны, если взять объединение всевозможных интервалов, то получим $\mathbb{R}$, верно? То есть бесконечность по краям, но тут мне тоже не ясно какое строгое рассуждение стоит за таким выводом.

mihaild в сообщении #1540004 писал(а):

Там же речь про пересечение. Вот у нас есть два семейства интервалов $A_1, A_2, \ldots$ и $B_1, B_2, \ldots$. Нужно доказать, что существует еще какое-то семейство интервалов $C_1, C_2, \ldots$ такое что $C_1 \cup C_2 \cup \ldots = (A_1 \cup A_2 \cup \ldots) \cap (B_1 \cup B_2 \cup \ldots)$. А потом еще то же самое когда исходно было не два семейства, а $n$.

А, да, напутал. Думал речь идет о первой аксиоме, та что про объединение.
Так, ну тут тогда просто применим дистрибутивность операций объединения и пересечения множеств:
$(A_1 \cup A_2 \cup \ldots) \cap (B_1 \cup B_2 \cup \ldots) = A_1 \cap (B_1 \cup B_2 \cup \ldots) \cup A_2 \cap (B_1 \cup B_2 \cup \ldots) \cup \ldots = ((A_1 \cap B_1) \cup (A_1 \cap B_2) \cup \ldots ) \cup ((A_2 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2) \cup \ldots ) \cup \ldots = (A_1 \cap B_1) \cup (A_1 \cap B_2) \cup \ldots \cup (A_2 \cap B_1) \cup (A_2 \cap B_2) \cup \ldots$
То есть, получили объединение пересечений пар интервалов. Пересечение пары интервалов, дает либо пустое множество, либо интервал. То есть, вот мы и получили требуемое $C_1 \cup C_2 \cup \ldots $.Так?

mihaild в сообщении #1540004 писал(а):

И нет никакого "определения $\Omega$" для стандартной топологии. У нас есть множество $\Omega$, состоящее из объединений всевозможных семейств интервалов, и нам нужно доказать, что оно является топологией (удовлетворяет аксиомам).

Ну это оно и есть. Называя его тут я просто ссылаюсь на определение $\Omega$ в этой задаче, а не использую как доказательство, что это топология.)

svv в сообщении #1540049 писал(а):

Вот как пишет об этой операции Зорич (Математический анализ, т.1, стр.26):

Ну тоже такое себе, по-моему. Пока вот это определение понятней всех:

мат-ламер в сообщении #1540046 писал(а):

"$\Omega$ the set of unions of all intervals $(a,b)$"