Вопрос: почему трансцендентное число
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
так хорошо приближается рациональным числом
![$\frac{355}{113}$ $\frac{355}{113}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/0/ca02449b41006543f523511d1dce05c482.png)
(абсолютная ошибка
![$2.7 \cdot 10^{-7}$ $2.7 \cdot 10^{-7}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/b/70b487bf4bb416358cc9b6543dca6bfb82.png)
)?
Немного теории:Вот допустим, что кто-то взял два целых числа, поделил одно на другое и дал вам результат в виде числа с плавающей точкой. Как найти эти два целых?
Или число с плавающей точкой было получено в результате сложных вычислений (например моделирование Монте-Карло) и хотелось бы проверить, не рациональное ли это число?
Классический ответ тут -
цепные дроби. Раскладываем наше число с плавающей точкой в цепную дробь и смотрим, получился ли текущий остаток очень близким к целому или нет. Если он очень близок к целому, то хвост можно отбросить и получить хорошее приближение в виде дроби.
Другой вопрос. Вот получили мы оценку для нашего
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в виде
![$\alpha=\frac{n}{m}$ $\alpha=\frac{n}{m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d2a9f9871804ef80f52c6f278390d5282.png)
. Насколько эта оценка хороша?
Можно посчитать ошибку оценки
![$err=\alpha - x$ $err=\alpha - x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0fff222a24e915f1254bd65a1166e82.png)
. Но тут понятно, что чем больше
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
, тем меньше будет ошибка.
А тогда насколько хороша наша оценка среди дробей, где
![$m \leq M$ $m \leq M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/2/6324786d7ec7206d526df1c08b24094d82.png)
?
Можно посмотреть на расстояние между двумя дробями. Минимальное будет около
![$\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1} = \frac{n-m}{m^2+m}$ $\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1} = \frac{n-m}{m^2+m}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/7/b976df9f211c1101e34bde3e4443ffbe82.png)
.
Т.е. можно ожидать наименьшую ошибку около
![$\frac{1}{m^2}$ $\frac{1}{m^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/3/0a3ae2afbd37d9a9d6fe8867a457ad4a82.png)
.
Тогда определим качество приближения, как
![$q=err \cdot m^2$ $q=err \cdot m^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/5/f056c1fd1c82e7e4912e814604eab38282.png)
.
Как известно из теории, алгебраические числа хуже приближаются рациональными, чем трансцендентные.
Самое плохое тут - это
золотое сечение ![$\frac{\sqrt 5 -1}{2}$ $\frac{\sqrt 5 -1}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/5/345e1cb594e170c5bd2235ec8655ee8b82.png)
.
Если его попробовать приблизить, то получим:
Код:
1/1, err=0.381966, q=0.381966
1/2, err=-0.118034, q=-0.472136
2/3, err=0.0486327, q=0.437694
3/5, err=-0.018034, q=-0.45085
5/8, err=0.00696601, q=0.445825
8/13, err=-0.00264937, q=-0.447744
13/21, err=0.00101363, q=0.447011
21/34, err=-0.00038693, q=-0.447291
34/55, err=0.000147829, q=0.447184
Видно, что абсолютная величина качества приближения стремится к константе примерно 0.477 и это качество везде не высоко.
Посмотрим на трансцендентное число
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
:
Код:
3/1, err=0.281718, q=0.281718
8/3, err=-0.0516152, q=-0.464536
11/4, err=0.0317182, q=0.507491
19/7, err=-0.00399611, q=-0.19581
87/32, err=0.000468172, q=0.479408
106/39, err=-0.000333111, q=-0.506661
193/71, err=2.80307e-05, q=0.141303
1264/465, err=-2.25857e-06, q=-0.488359
1457/536, err=1.75363e-06, q=0.503811
Лучшее качество было 0.141 для дроби
![$\frac{193}{71}$ $\frac{193}{71}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/f/cdfa7a709cab379c03375e117b360e8e82.png)
.
А теперь посмотрим на трансцендентное число
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
:
Код:
22/7, err=0.00126449, q=0.06196
333/106, err=-8.32196e-05, q=-0.935056
355/113, err=2.66764e-07, q=0.00340631
103993/33102, err=-5.77891e-10, q=-0.633219
104348/33215, err=3.31628e-10, q=0.365864
208341/66317, err=-1.22356e-10, q=-0.538116
312689/99532, err=2.91434e-11, q=0.288712
833719/265381, err=-8.71525e-12, q=-0.61379
1146408/364913, err=1.61071e-12, q=0.214485
Дробь
![$\frac{355}{113}$ $\frac{355}{113}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/0/ca02449b41006543f523511d1dce05c482.png)
имеет аномально высокое качество 0.0034.
Есть ли на то какая-то причина?
PS: Да, вполне возможно, что это просто случайность и никакой причины тут нет. Просьба к этому аспекту в этой ветке не возвращатся. Хотелось бы увидеть гипотезу, почему оно так. Например потому что такой-то вписанный или описанный многоугольник имеет такие-то свойства. Или что имеется такая-то быстро сходящаяся к
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
последовательность, которая выдаёт приближение в виде этой дроби.
-- 02.11.2021, 07:09 --Есть некоторая связь с темой
"Почти целые" числа.
Так
![$113\pi \approx 354.99996986$ $113\pi \approx 354.99996986$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/3/a433f94ea244ba735e5fd4766a72bbd782.png)
.