2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 07:05 


18/09/21
1705
Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?

Немного теории:
Вот допустим, что кто-то взял два целых числа, поделил одно на другое и дал вам результат в виде числа с плавающей точкой. Как найти эти два целых?
Или число с плавающей точкой было получено в результате сложных вычислений (например моделирование Монте-Карло) и хотелось бы проверить, не рациональное ли это число?
Классический ответ тут - цепные дроби. Раскладываем наше число с плавающей точкой в цепную дробь и смотрим, получился ли текущий остаток очень близким к целому или нет. Если он очень близок к целому, то хвост можно отбросить и получить хорошее приближение в виде дроби.

Другой вопрос. Вот получили мы оценку для нашего $x$ в виде $\alpha=\frac{n}{m}$. Насколько эта оценка хороша?
Можно посчитать ошибку оценки $err=\alpha - x$. Но тут понятно, что чем больше $m$, тем меньше будет ошибка.
А тогда насколько хороша наша оценка среди дробей, где $m \leq M$?
Можно посмотреть на расстояние между двумя дробями. Минимальное будет около $\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1} = \frac{n-m}{m^2+m}$.
Т.е. можно ожидать наименьшую ошибку около $\frac{1}{m^2}$.
Тогда определим качество приближения, как $q=err \cdot m^2$.

Как известно из теории, алгебраические числа хуже приближаются рациональными, чем трансцендентные.
Самое плохое тут - это золотое сечение $\frac{\sqrt 5 -1}{2}$.
Если его попробовать приблизить, то получим:
Код:
1/1, err=0.381966, q=0.381966
1/2, err=-0.118034, q=-0.472136
2/3, err=0.0486327, q=0.437694
3/5, err=-0.018034, q=-0.45085
5/8, err=0.00696601, q=0.445825
8/13, err=-0.00264937, q=-0.447744
13/21, err=0.00101363, q=0.447011
21/34, err=-0.00038693, q=-0.447291
34/55, err=0.000147829, q=0.447184
Видно, что абсолютная величина качества приближения стремится к константе примерно 0.477 и это качество везде не высоко.

Посмотрим на трансцендентное число $e$:
Код:
3/1, err=0.281718, q=0.281718
8/3, err=-0.0516152, q=-0.464536
11/4, err=0.0317182, q=0.507491
19/7, err=-0.00399611, q=-0.19581
87/32, err=0.000468172, q=0.479408
106/39, err=-0.000333111, q=-0.506661
193/71, err=2.80307e-05, q=0.141303
1264/465, err=-2.25857e-06, q=-0.488359
1457/536, err=1.75363e-06, q=0.503811
Лучшее качество было 0.141 для дроби $\frac{193}{71}$.

А теперь посмотрим на трансцендентное число $\pi$:
Код:
22/7, err=0.00126449, q=0.06196
333/106, err=-8.32196e-05, q=-0.935056
355/113, err=2.66764e-07, q=0.00340631
103993/33102, err=-5.77891e-10, q=-0.633219
104348/33215, err=3.31628e-10, q=0.365864
208341/66317, err=-1.22356e-10, q=-0.538116
312689/99532, err=2.91434e-11, q=0.288712
833719/265381, err=-8.71525e-12, q=-0.61379
1146408/364913, err=1.61071e-12, q=0.214485
Дробь $\frac{355}{113}$ имеет аномально высокое качество 0.0034.
Есть ли на то какая-то причина?

PS: Да, вполне возможно, что это просто случайность и никакой причины тут нет. Просьба к этому аспекту в этой ветке не возвращатся. Хотелось бы увидеть гипотезу, почему оно так. Например потому что такой-то вписанный или описанный многоугольник имеет такие-то свойства. Или что имеется такая-то быстро сходящаяся к $\pi$ последовательность, которая выдаёт приближение в виде этой дроби.

-- 02.11.2021, 07:09 --

Есть некоторая связь с темой "Почти целые" числа.
Так $113\pi \approx 354.99996986$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 07:29 


21/05/16
4292
Аделаида
Предположу, что это связано с мерой иррациональности, и поэтому показатель степени $m$ в $q$ при сравнивании приближений разных чисел надо менять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 07:32 


18/09/21
1705
Если не ошибаюсь, мера иррациональности - это про приближение при больших $m$. А тут $m$ совсем крохотное, всего 113.
Кроме того там речь про минимум, значит $q$ менять не надо.
Это $q$ характеризует обычный случай, а не минимум. А в обычном случае оно как правило в районе 0.1-0.5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 08:19 
Аватара пользователя


29/04/13
7389
Богородский
zykov в сообщении #1537346 писал(а):
Видно, что абсолютная величина качества приближения стремится к константе примерно 0.477

Стремится к $5^{-0.5}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10564
zykov в сообщении #1537346 писал(а):
Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?
Может быть потому, что это выражение содержит 6 десятичных цифр, что примерно соответствует указанной Вами точности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 08:49 


18/09/21
1705
Но это не объясняет, почему эта дробь имеет качество значительно выше других.
Это предположение просто говорит, что $err \sim 10^{-2\log_{10} m} = m^{-2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1896
Санкт-Петербург
zykov в сообщении #1537352 писал(а):
... крохотное

Критерием оценки качества аппроксимации в цепных дробях можно брать величину последующего знака. Аналог — много/мало нулей или девяток в десятичных дробях. $355/113$ — четвертая дробь, а пятый знак $a_5=292$, тем и хороша. Но есть и лучше: $a_{309}=436, a_{433}=20776.$ На сколько знаю, тут непонятно даже существует ли верхняя граница. Для числа $e$ такой границы нет, и в записи видна ясная закономерность: $2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...$ т.е. на каждом $3k+2$-м шаге получаем всё лучшие и лучшие приближения. Можем ли мы говорить, что знаем "причину" их появления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10564
zykov в сообщении #1537365 писал(а):
Но это не объясняет, почему эта дробь имеет качество значительно выше других.
Это предположение просто говорит, что $err \sim 10^{-2\log_{10} m} = m^{-2}$.
А это нужно как-то объяснять? Выражение из 6 цифр обеспечило точность около 7 цифр. Может же слегка повезти при таком богатстве выбора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:11 


18/09/21
1705
Да, можно ставить вопрос шире, о там как возникают другие хорошие приближения для $\pi$ или для других трансцендентных чисел.
Но для начала разобратся бы в механизме возникновения дроби $\frac{355}{113}$.
Andrey A в сообщении #1537366 писал(а):
Критерием оценки качества аппроксимации в цепных дробях можно брать величину последующего знака.
Да, это эквивалентно высокому качеству дроби ($q \ll 0.1$). Если где-то текущий остаток в цепной дроби стал большим, то далее хвост можно отбросить и получить хорошее приближение. Разница только в том, что это "качество дроби" $q$ можно оценить для любой дроби, независимо от процесса построения цепной дроби.

-- 02.11.2021, 09:12 --

epros в сообщении #1537367 писал(а):
А это нужно как-то объяснять?
Да, именно про это и тема.
Почему у этой дроби аномально высокое качество 0.0034, в то время как у других оно примерно в районе 0.1-0.5. Т.е. в 30-150 раз выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10564
zykov в сообщении #1537369 писал(а):
epros в сообщении #1537367 писал(а):
А это нужно как-то объяснять?
Да, именно про это и тема.
Почему у этой дроби аномально высокое качество 0.0034, в то время как у других оно примерно в районе 0.1-0.5. Т.е. в 30-150 раз выше.
Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего. Сколько вариантов Вы перепробовали? Я что-то не вижу ничего удивительного в том, что один из вариантов дал приближение всего лишь на порядок лучше среднего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:26 


18/09/21
1705
epros в сообщении #1537371 писал(а):
Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего
Ну 100 - это скорее 2 порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1896
Санкт-Петербург
zykov
"На глаз" в разложении алгебраических чисел таких скачков не меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10564
zykov в сообщении #1537372 писал(а):
epros в сообщении #1537371 писал(а):
Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего
Ну 100 - это скорее 2 порядка.
Где Вы видите 100? Абсолютная погрешность $2.7 \cdot 10^{-7}$ соответствует относительной чуть меньше $10^{-7}$, а шесть десятичных цифр в среднем могут выразить число с относительной погрешностью в $10^{-6}$. Я вижу разницу только на один порядок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:41 


18/09/21
1705
epros в сообщении #1537375 писал(а):
Где Вы видите 100?
Если принять типичное качество как $0.3$, то $0.3/0.0034 \approx 100$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пи как 355/113
Сообщение02.11.2021, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10564
zykov в сообщении #1537376 писал(а):
epros в сообщении #1537375 писал(а):
Где Вы видите 100?
Если принять типичное качество как $0.3$, то $0.3/0.0034 \approx 100$.
Я этого не понял, ибо мыслю в категориях относительной погрешности (см. выше).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group