Пи как 355/113

[zykov]

Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?

Немного теории:
Вот допустим, что кто-то взял два целых числа, поделил одно на другое и дал вам результат в виде числа с плавающей точкой. Как найти эти два целых?
Или число с плавающей точкой было получено в результате сложных вычислений (например моделирование Монте-Карло) и хотелось бы проверить, не рациональное ли это число?
Классический ответ тут - цепные дроби. Раскладываем наше число с плавающей точкой в цепную дробь и смотрим, получился ли текущий остаток очень близким к целому или нет. Если он очень близок к целому, то хвост можно отбросить и получить хорошее приближение в виде дроби.

Другой вопрос. Вот получили мы оценку для нашего $x$ в виде $\alpha=\frac{n}{m}$. Насколько эта оценка хороша?
Можно посчитать ошибку оценки $err=\alpha - x$. Но тут понятно, что чем больше $m$, тем меньше будет ошибка.
А тогда насколько хороша наша оценка среди дробей, где $m \leq M$?
Можно посмотреть на расстояние между двумя дробями. Минимальное будет около $\frac{n}{m}-\frac{n+1}{m+1} = \frac{n-m}{m^2+m}$.
Т.е. можно ожидать наименьшую ошибку около $\frac{1}{m^2}$.
Тогда определим качество приближения, как $q=err \cdot m^2$.

Как известно из теории, алгебраические числа хуже приближаются рациональными, чем трансцендентные.
Самое плохое тут - это золотое сечение $\frac{\sqrt 5 -1}{2}$.
Если его попробовать приблизить, то получим:

1/1, err=0.381966, q=0.381966
1/2, err=-0.118034, q=-0.472136
2/3, err=0.0486327, q=0.437694
3/5, err=-0.018034, q=-0.45085
5/8, err=0.00696601, q=0.445825
8/13, err=-0.00264937, q=-0.447744
13/21, err=0.00101363, q=0.447011
21/34, err=-0.00038693, q=-0.447291
34/55, err=0.000147829, q=0.447184

Видно, что абсолютная величина качества приближения стремится к константе примерно 0.477 и это качество везде не высоко.

Посмотрим на трансцендентное число $e$:

3/1, err=0.281718, q=0.281718
8/3, err=-0.0516152, q=-0.464536
11/4, err=0.0317182, q=0.507491
19/7, err=-0.00399611, q=-0.19581
87/32, err=0.000468172, q=0.479408
106/39, err=-0.000333111, q=-0.506661
193/71, err=2.80307e-05, q=0.141303
1264/465, err=-2.25857e-06, q=-0.488359
1457/536, err=1.75363e-06, q=0.503811

Лучшее качество было 0.141 для дроби $\frac{193}{71}$.

А теперь посмотрим на трансцендентное число $\pi$:

22/7, err=0.00126449, q=0.06196
333/106, err=-8.32196e-05, q=-0.935056
355/113, err=2.66764e-07, q=0.00340631
103993/33102, err=-5.77891e-10, q=-0.633219
104348/33215, err=3.31628e-10, q=0.365864
208341/66317, err=-1.22356e-10, q=-0.538116
312689/99532, err=2.91434e-11, q=0.288712
833719/265381, err=-8.71525e-12, q=-0.61379
1146408/364913, err=1.61071e-12, q=0.214485

Дробь $\frac{355}{113}$ имеет аномально высокое качество 0.0034.
Есть ли на то какая-то причина?

PS: Да, вполне возможно, что это просто случайность и никакой причины тут нет. Просьба к этому аспекту в этой ветке не возвращатся. Хотелось бы увидеть гипотезу, почему оно так. Например потому что такой-то вписанный или описанный многоугольник имеет такие-то свойства. Или что имеется такая-то быстро сходящаяся к $\pi$ последовательность, которая выдаёт приближение в виде этой дроби.

-- 02.11.2021, 07:09 --

Есть некоторая связь с темой "Почти целые" числа.
Так $113\pi \approx 354.99996986$.

[kotenok gav]

Предположу, что это связано с мерой иррациональности, и поэтому показатель степени $m$ в $q$ при сравнивании приближений разных чисел надо менять.

[zykov]

Если не ошибаюсь, мера иррациональности - это про приближение при больших $m$. А тут $m$ совсем крохотное, всего 113.
Кроме того там речь про минимум, значит $q$ менять не надо.
Это $q$ характеризует обычный случай, а не минимум. А в обычном случае оно как правило в районе 0.1-0.5.

[Yadryara]

zykov в сообщении #1537346 писал(а):

Видно, что абсолютная величина качества приближения стремится к константе примерно 0.477

Стремится к $5^{-0.5}$

[epros]

zykov в сообщении #1537346 писал(а):

Вопрос: почему трансцендентное число $\pi$ так хорошо приближается рациональным числом $\frac{355}{113}$ (абсолютная ошибка $2.7 \cdot 10^{-7}$)?

Может быть потому, что это выражение содержит 6 десятичных цифр, что примерно соответствует указанной Вами точности?

[zykov]

Но это не объясняет, почему эта дробь имеет качество значительно выше других.
Это предположение просто говорит, что $err \sim 10^{-2\log_{10} m} = m^{-2}$.

[Andrey A]

zykov в сообщении #1537352 писал(а):

... крохотное

Критерием оценки качества аппроксимации в цепных дробях можно брать величину последующего знака. Аналог — много/мало нулей или девяток в десятичных дробях. $355/113$ — четвертая дробь, а пятый знак $a_5=292$, тем и хороша. Но есть и лучше: $a_{309}=436, a_{433}=20776.$ На сколько знаю, тут непонятно даже существует ли верхняя граница. Для числа $e$ такой границы нет, и в записи видна ясная закономерность: $2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...$ т.е. на каждом $3k+2$-м шаге получаем всё лучшие и лучшие приближения. Можем ли мы говорить, что знаем "причину" их появления?

[epros]

zykov в сообщении #1537365 писал(а):

Но это не объясняет, почему эта дробь имеет качество значительно выше других.
Это предположение просто говорит, что $err \sim 10^{-2\log_{10} m} = m^{-2}$.

А это нужно как-то объяснять? Выражение из 6 цифр обеспечило точность около 7 цифр. Может же слегка повезти при таком богатстве выбора?

[zykov]

Да, можно ставить вопрос шире, о там как возникают другие хорошие приближения для $\pi$ или для других трансцендентных чисел.
Но для начала разобратся бы в механизме возникновения дроби $\frac{355}{113}$.

Andrey A в сообщении #1537366 писал(а):

Критерием оценки качества аппроксимации в цепных дробях можно брать величину последующего знака.

Да, это эквивалентно высокому качеству дроби ($q \ll 0.1$). Если где-то текущий остаток в цепной дроби стал большим, то далее хвост можно отбросить и получить хорошее приближение. Разница только в том, что это "качество дроби" $q$ можно оценить для любой дроби, независимо от процесса построения цепной дроби.

-- 02.11.2021, 09:12 --

epros в сообщении #1537367 писал(а):

А это нужно как-то объяснять?

Да, именно про это и тема.
Почему у этой дроби аномально высокое качество 0.0034, в то время как у других оно примерно в районе 0.1-0.5. Т.е. в 30-150 раз выше.

[epros]

zykov в сообщении #1537369 писал(а):

epros в сообщении #1537367 писал(а):

А это нужно как-то объяснять?

Да, именно про это и тема.
Почему у этой дроби аномально высокое качество 0.0034, в то время как у других оно примерно в районе 0.1-0.5. Т.е. в 30-150 раз выше.

Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего. Сколько вариантов Вы перепробовали? Я что-то не вижу ничего удивительного в том, что один из вариантов дал приближение всего лишь на порядок лучше среднего.

[zykov]

epros в сообщении #1537371 писал(а):

Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего

Ну 100 - это скорее 2 порядка.

[Andrey A]

zykov
"На глаз" в разложении алгебраических чисел таких скачков не меньше.

[epros]

zykov в сообщении #1537372 писал(а):

epros в сообщении #1537371 писал(а):

Ну не в 150, а всего лишь на порядок лучше среднего

Ну 100 - это скорее 2 порядка.

Где Вы видите 100? Абсолютная погрешность $2.7 \cdot 10^{-7}$ соответствует относительной чуть меньше $10^{-7}$, а шесть десятичных цифр в среднем могут выразить число с относительной погрешностью в $10^{-6}$. Я вижу разницу только на один порядок.

[zykov]

epros в сообщении #1537375 писал(а):

Где Вы видите 100?

Если принять типичное качество как $0.3$, то $0.3/0.0034 \approx 100$.

[epros]

zykov в сообщении #1537376 писал(а):

epros в сообщении #1537375 писал(а):

Где Вы видите 100?

Если принять типичное качество как $0.3$, то $0.3/0.0034 \approx 100$.

Я этого не понял, ибо мыслю в категориях относительной погрешности (см. выше).