"Почти целые" числа

[Droog_Andrey]

Известно, что число 163 обладает замечательным свойством: e^{\pi\sqrt{163}} весьма близко к целому. У Рамануджана есть работа, в которой он описывает это и некоторые другие "почти целые" числа.

Интересно было бы найти эту работу и числа, собранные в ней. Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

Также весьма интересным представляется выражениe \sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5}, которое весьма близко к 4/3. Доказательство без использования калькулятора того факта, что в действительности это выражение чуть меньше, обычно заинтересовывает школьников. Вероятно, впервые близость этого выражения к 4/3 была обнаружена в теории музыки: http://en.wikipedia.org/wiki/Schisma

[Nilenbert]

http://rus4.livejournal.com/46195.html

[Droog_Andrey]

Nilenbert, спасибо за ссылку, скачал там работу Грина. Но всё же

Droog_Andrey писал(а):

Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

[Droog_Andrey]

Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть. Спасибо

Моего примера с 4/3 там, однако, нет. Отправить, что ли...

З.Ы. Помню, (11) я нашёл ещё ребёнком, обнаружив, что 7^{510} начинается с цифр 1000000...

[maxal]

Droog_Andrey в сообщении #185256 писал(а):

Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть.

Полезно заглядывать в раздел SEE ALSO в конце каждой статьи. В статье j-Function ссылка на Almost Integer идет первой

[Droog_Andrey]

Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

[maxal]

Кое-что здесь уже обсуждалось в соседних темах - вот, например:
http://dxdy.ru/post76438.html#76438

А темы закрывать без особой необходимости у нас не принято. Даже если сегодня заинтересованных не нашлось, завтра они могут появиться.

[geomath]

А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?

[маткиб]

Droog_Andrey в сообщении #185272 писал(а):

Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

Интересна оценка минимального расстояния (ненулевого) до ближайшего целого от длины формулы. Интересно было бы увидеть что-либо существенно лучшее, чем

$$ \frac{1}{\underbrace{2^{2^2{\ldots}}}_{n \text{раз}}}, $$

которая достигается на этой же формуле (почти).

[Droog_Andrey]

geomath писал(а):

А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?

Вообще-то близость к целому не зависит от системы счисления

Думаю, Вы имели в виду числа, которые дают почти целые при умножении на разные константы.

Например, число 246.7 даёт почти целое при умножении на $\ln{N}$ для первых десяти $N$. При умножении его на $\ln{2}$ получаем примерно 171, поэтому в музыке темперированный строй со 171 равными делениями октавы (171-РДО) феноменально точно приближает почти все используемые в музыке "чистые" (т.е. рациональные) интервалы и может быть использован для записи любой музыки, в т.ч. микротональной. Все такие числа являются максимумами функции |\zeta(1 + 2 \pi i x)|: например, широко используемый со времён Баха темперированный строй с 12 делениями октавы соответствует $x = 12/\ln2 \approx 17.3$. Максимум около $x = 466$ сам является "почти целым", и при этом при умножении на $\ln{3}$ и $\ln{5}$ получаются круглые "почти целые" числа 512 и 750 соответственно.

[Droog_Andrey]

Ещё один пример (журнал "Квант" №7, 1991 г.):

$\pi^4+\pi^5-e^6 \approx 0$

[Руст]

Любопытное почти равенство, только точность не очень большая, на калькуляторе разница больше $10^{-5}$.

[alexizos]

e-основание натуральных логарифмов. $\pi$-отношение окружности к диаметру. f-золотое сечение (положительный корень). $\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$ Да не точно, но зато как красиво. Что думаете?

[maxal]

alexizos в сообщении #290983 писал(а):

$\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$

Другое почти целое, полученное из тех же констант, указано под номером (34) в http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html