2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 "Почти целые" числа
Сообщение10.02.2009, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
Известно, что число 163 обладает замечательным свойством: e^{\pi\sqrt{163}} весьма близко к целому. У Рамануджана есть работа, в которой он описывает это и некоторые другие "почти целые" числа.

Интересно было бы найти эту работу и числа, собранные в ней. Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

Также весьма интересным представляется выражениe \sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5}, которое весьма близко к 4/3. Доказательство без использования калькулятора того факта, что в действительности это выражение чуть меньше, обычно заинтересовывает школьников. Вероятно, впервые близость этого выражения к 4/3 была обнаружена в теории музыки: http://en.wikipedia.org/wiki/Schisma

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:23 
Аватара пользователя


25/03/08
241
http://rus4.livejournal.com/46195.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
Nilenbert, спасибо за ссылку, скачал там работу Грина. Но всё же
Droog_Andrey писал(а):
Есть ли там "почти целые числа", отличные от e^{\pi\sqrt{N}}? Способ получения последних описан здесь: http://mathworld.wolfram.com/j-Function.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть. Спасибо :-)

Моего примера с 4/3 там, однако, нет. Отправить, что ли... 8-)

З.Ы. Помню, (11) я нашёл ещё ребёнком, обнаружив, что 7^{510} начинается с цифр 1000000...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 02:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
Droog_Andrey в сообщении #185256 писал(а):
Ничего себе. Не знал, что там такая статья есть.

Полезно заглядывать в раздел SEE ALSO в конце каждой статьи. В статье j-Function ссылка на Almost Integer идет первой :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 09:01 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
Кое-что здесь уже обсуждалось в соседних темах - вот, например:
http://dxdy.ru/post76438.html#76438

А темы закрывать без особой необходимости у нас не принято. Даже если сегодня заинтересованных не нашлось, завтра они могут появиться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 10:18 
Аватара пользователя


15/11/06
2294
Москва Первомайская
А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 13:49 


04/10/05
272
ВМиК МГУ
Droog_Andrey в сообщении #185272 писал(а):
Тема почти целых, я так понимаю, здесь более никому не интересна? Тогда топик можно закрывать.

Интересна оценка минимального расстояния (ненулевого) до ближайшего целого от длины формулы. Интересно было бы увидеть что-либо существенно лучшее, чем
$$
\frac{1}{\underbrace{2^{2^2{\ldots}}}_{n \text{раз}}},
$$
которая достигается на этой же формуле (почти).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2009, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
geomath писал(а):
А что можете сказать о числах, близких к целым одновременно в нескольких системах счисления, например с основаниями 10 и $\pi$?
Вообще-то близость к целому не зависит от системы счисления :-)

Думаю, Вы имели в виду числа, которые дают почти целые при умножении на разные константы.

Например, число 246.7 даёт почти целое при умножении на $\ln{N}$ для первых десяти $N$. При умножении его на $\ln{2}$ получаем примерно 171, поэтому в музыке темперированный строй со 171 равными делениями октавы (171-РДО) феноменально точно приближает почти все используемые в музыке "чистые" (т.е. рациональные) интервалы и может быть использован для записи любой музыки, в т.ч. микротональной. Все такие числа являются максимумами функции |\zeta(1 + 2 \pi i x)|: например, широко используемый со времён Баха темперированный строй с 12 делениями октавы соответствует $x = 12/\ln2 \approx 17.3$. Максимум около $x = 466$ сам является "почти целым", и при этом при умножении на $\ln{3}$ и $\ln{5}$ получаются круглые "почти целые" числа 512 и 750 соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2009, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1959
Минск, Беларусь
Ещё один пример (журнал "Квант" №7, 1991 г.):

$\pi^4+\pi^5-e^6 \approx 0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2009, 21:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4329
Москва
Любопытное почти равенство, только точность не очень большая, на калькуляторе разница больше $10^{-5}$.

 Профиль  
                  
 
 В поисках филосовского камня
Сообщение21.02.2010, 15:58 


21/02/10
4
e-основание натуральных логарифмов. $\pi$-отношение окружности к диаметру. f-золотое сечение (положительный корень). $\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$ Да не точно, но зато как красиво. Что думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Почти целые" числа
Сообщение21.02.2010, 17:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5241
alexizos в сообщении #290983 писал(а):
$\frac{e^2\sqrt{e^2-e}}{f\pi^2}=0,99999...$

Другое почти целое, полученное из тех же констант, указано под номером (34) в http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: waxtep


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group