Медленное изменение длины маятника

[profilescit]

Мы рассмотрим математический маятник -- груз массы $m$, подвешенный на нити длины $l$. Ускорение свободного падения $g$. Угловую амплитуду колебаний маятника обозначим $\alpha$ и будем всюду считать малой $\alpha \ll 1$.

Пусть теперь длину нити маятника медленно изменяют, так что относительное изменение длины за один период колебаний мало.

В начальный момент времени длина равна $l_0$, а энергия колебаний $W_0$. Найдите энергию колебаний $W_1$, когда длина нити станет равной $l_1$. Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.


Пусть за один период длина нити изменяется на длину $\Delta l \ll l$. Работа совершенная на это будет $A = - \left\langle T \right\rangle \Delta l$ где $T$ - натяжение нити, и берем среднее натяжение нити за период.

Тогда получим $A = - m g \Delta l (1 + \frac{\alpha^2}{4})$

А дальше сложности. Вроде как сохранение энергии должен написать, но непонятно как это правильно сделать с учетом меняющейся точки отсчета потенциальной энергии.

[amon]

profilescit в сообщении #1532482 писал(а):

Вроде как сохранение энергии должен написать

Энергия сохраняется в замкнутой системе. Ваша система замкнута? Видимо, надо написать как работа связана с изменением энергии.

[zykov]

Мне кажется, что усреднённое натяжение не правильно вышло.
У меня выходит $\frac{dW}{dl}=-\frac{W}{l}$. Значит $W=W_0 \frac{l_0}{l}$.

[DimaM]

Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты. Для гармонического осциллятора $I=W/\omega$, что дает формулу, приведенную zykov.

[realeugene]

profilescit в сообщении #1532482 писал(а):

то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.

Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

[rascas]

realeugene в сообщении #1532520 писал(а):

profilescit в сообщении #1532482 писал(а):

то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.

Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.

Предлагаю немного изменённую, упрощённую формулировку этой задачи:

Маятник изначально имел длину $l_0$. Потом мы начали передвигать вертикально вниз, вдоль нити маятника невесомую шайбу, тем самым изменяя длину маятника до $l$. При этом нижнее положение маятника не меняется, как и изначальная точка подвеса ($l_0$) не меняется. Как изменится энергия маятника? Изменение энергии маятника равно работе при вертикальном перемещении этой невесомой шайбы.

[amon]

rascas в сообщении #1532535 писал(а):

На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.

Чего непонятного? Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?

DimaM в сообщении #1532507 писал(а):

Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты.

Можно и через инвариант, но решается и без оного. Кроме того, при решении через инвариант есть мелкие грабли, на которые, по моему опыту, наступают почти все поголовно.

[rascas]

amon в сообщении #1532549 писал(а):

Чего непонятного?

Непонятно вот что: Не является ли фраза:

profilescit в сообщении #1532482 писал(а):

Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.

излишней в формулировке задачи ТС?

amon в сообщении #1532549 писал(а):

Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?

Так и будет слегка качаться. С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)

[amon]

rascas в сообщении #1532557 писал(а):

Так и будет слегка качаться.

Видно, что ведер из колодцев Вы не поднимали.

[rascas]

Уважаемый amon Вы по все видимости считаете, что мой ответ:

rascas в сообщении #1532557 писал(а):

С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)

неправильным?

А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?

[amon]

rascas в сообщении #1532562 писал(а):

А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?

А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

[Emergency]

amon в сообщении #1532564 писал(а):

А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца. :)

[amon]

Emergency в сообщении #1532566 писал(а):

Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца.

Является квазипериодической функцией, поскольку удар неупругий ;)

[Emergency]

amon
Ага.
У нас в школе были парты с откидной передней частью (чтобы можно было вставать), а между частями была щель. Если вставить в щель линейку, чтобы большая часть торчала вверх, а снизу можно было только взяться пальцами, отогнуть верхнюю часть посильнее и при отпускании резко потянуть линейку через щель вниз, то раздавался душераздирающий звук, нарастающий по громкости и частоте. Учителей это заставляло подпрыгивать от неожиданности, а потом озираться, пытаясь найти источник и причину звука.

[sergey zhukov]

Emergency
Я тоже этим занимался. Познавательный и увлекательный опыт.