2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Медленное изменение длины маятника
Сообщение23.09.2021, 21:26 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Мы рассмотрим математический маятник -- груз массы $m$, подвешенный на нити длины $l$. Ускорение свободного падения $g$. Угловую амплитуду колебаний маятника обозначим $\alpha$ и будем всюду считать малой $\alpha \ll 1$.

Пусть теперь длину нити маятника медленно изменяют, так что относительное изменение длины за один период колебаний мало.

В начальный момент времени длина равна $l_0$, а энергия колебаний $W_0$. Найдите энергию колебаний $W_1$, когда длина нити станет равной $l_1$. Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.


Пусть за один период длина нити изменяется на длину $\Delta l \ll l$. Работа совершенная на это будет $A = - \left\langle T \right\rangle \Delta l$ где $T$ - натяжение нити, и берем среднее натяжение нити за период.

Тогда получим $A = - m g \Delta l (1 + \frac{\alpha^2}{4})$

А дальше сложности. Вроде как сохранение энергии должен написать, но непонятно как это правильно сделать с учетом меняющейся точки отсчета потенциальной энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение23.09.2021, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
Вроде как сохранение энергии должен написать
Энергия сохраняется в замкнутой системе. Ваша система замкнута? Видимо, надо написать как работа связана с изменением энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 03:12 
Заслуженный участник


18/09/21
1765
Мне кажется, что усреднённое натяжение не правильно вышло.
У меня выходит $\frac{dW}{dl}=-\frac{W}{l}$. Значит $W=W_0 \frac{l_0}{l}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 08:32 
Заслуженный участник


28/12/12
7946
Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты. Для гармонического осциллятора $I=W/\omega$, что дает формулу, приведенную zykov.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 09:42 


27/08/16
10455
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 11:43 


30/01/18
645
realeugene в сообщении #1532520 писал(а):
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
Зачем такое делать? Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. У вас же эта константа совсем не константа.
На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.

Предлагаю немного изменённую, упрощённую формулировку этой задачи:

Маятник изначально имел длину $l_0$. Потом мы начали передвигать вертикально вниз, вдоль нити маятника невесомую шайбу, тем самым изменяя длину маятника до $l$. При этом нижнее положение маятника не меняется, как и изначальная точка подвеса ($l_0$) не меняется. Как изменится энергия маятника? Изменение энергии маятника равно работе при вертикальном перемещении этой невесомой шайбы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532535 писал(а):
На мой взгляд немного не понятно сформулирована задача.
Чего непонятного? Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?
DimaM в сообщении #1532507 писал(а):
Как раз для подобных задач придуманы адиабатические инварианты.
Можно и через инвариант, но решается и без оного. Кроме того, при решении через инвариант есть мелкие грабли, на которые, по моему опыту, наступают почти все поголовно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 13:59 


30/01/18
645
amon в сообщении #1532549 писал(а):
Чего непонятного?
Непонятно вот что: Не является ли фраза:
profilescit в сообщении #1532482 писал(а):
Потенциальная энергия при этом все время отсчитывается от нижнего положения груза, то есть с изменением длины нити нуль потенциальной энергии смещается.
излишней в формулировке задачи ТС?


amon в сообщении #1532549 писал(а):
Поднимаем ведро из глубокого колодца. Внизу ведро слегка качается. Что будет происходить дальше?
Так и будет слегка качаться. С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532557 писал(а):
Так и будет слегка качаться.
Видно, что ведер из колодцев Вы не поднимали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:13 


30/01/18
645
Уважаемый amon Вы по все видимости считаете, что мой ответ:
rascas в сообщении #1532557 писал(а):
С той же амплитудой. (Амплитуда - это максимальное расстояние отклонения ведра от положения равновесия)
неправильным?

А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
rascas в сообщении #1532562 писал(а):
А каков Ваш ответ на задачу про ведро в колодце?
А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:35 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
amon в сообщении #1532564 писал(а):
А это - экспериментальный факт. В глубоком колодце новое ведро быстро теряет свою первоначальную форму от ударов о стенки.

Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
Emergency в сообщении #1532566 писал(а):
Но амплитуда остается постоянной, так как ограничена диаметром колодца.
Является квазипериодической функцией, поскольку удар неупругий ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 14:44 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
amon
Ага.
У нас в школе были парты с откидной передней частью (чтобы можно было вставать), а между частями была щель. Если вставить в щель линейку, чтобы большая часть торчала вверх, а снизу можно было только взяться пальцами, отогнуть верхнюю часть посильнее и при отпускании резко потянуть линейку через щель вниз, то раздавался душераздирающий звук, нарастающий по громкости и частоте. Учителей это заставляло подпрыгивать от неожиданности, а потом озираться, пытаясь найти источник и причину звука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Медленное изменение длины маятника
Сообщение24.09.2021, 15:14 


17/10/16
4915
Emergency
Я тоже этим занимался. Познавательный и увлекательный опыт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group